Claude thử giả thuyết Riemann. Đây là những gì đã xảy ra.

Hôm nay, ngày 10 tháng 8, Anthropic đã công bố một ghi chú nghiên cứu mô tả những gì xảy ra khi một nhân viên yêu cầu Claude thử giải giả thuyết Riemann, có lẽ là bài toán mở nổi tiếng nhất trong toán học. (Luôn nghĩ đến nhà đầu tư, Anthropic nhấn mạnh rằng dự án này được thực hiện trên một phiên bản mô hình Claude chưa phát hành.)

Claude không chứng minh được giả thuyết. Không ai mong đợi điều đó. Nhưng ở đâu đó trong quá trình thử, khi làm việc trên một câu hỏi phụ cùng lĩnh vực, Claude đã đạt được một cải thiện thực sự đối với một chặn dưới lâu năm: tỷ lệ các điểm không của hàm zeta Riemann được biết là nằm trên “đường tới hạn” như giả thuyết dự đoán. Trước đây, con số đó là 41,6%, đại diện cho nhiều thập kỷ nỗ lực. Kết quả của Claude nâng nó lên 67,2%.

Hai nhà toán học của Anthropic đã rà soát nội bộ công trình, và hai chuyên gia bên ngoài là Brian Conrey và Dan Goldston được mời xem xét. Claude cũng tạo ra một bản hình thức hóa bằng Lean có thể máy kiểm tra, để các bước suy luận được xác minh tự động. Kết quả đứng vững, có ý nghĩa và thú vị. 

Vậy rốt cuộc giả thuyết Riemann là gì?

Tôi sẽ không bắt bạn phải mở bài khác để hiểu phần này: Hàm zeta Riemann là một hàm toán học mà theo một cách vòng vo, mã hóa thông tin về phân bố các số nguyên tố.

Số nguyên tố có gì đáng nói?

Số nguyên tố không ngẫu nhiên theo nghĩa không thể dự đoán từng số một.

Việc một số cho trước có nguyên tố hay không là hoàn toàn xác định. Nhưng chúng cũng không theo một công thức đơn giản nào, vì không có phương trình nào “nhả ra” số nguyên tố thứ 100 triệu.

Có một số công thức tìm được số nguyên tố, nhưng thực chất chỉ là các phiên bản ngụy trang của việc kiểm tra từng số một. Tuy nhiên, nếu nhìn tổng thể, số nguyên tố thưa dần theo một tốc độ bạn có thể dự đoán khá tốt: Quanh một số lớn n, xấp xỉ 1 trong mỗi ln(n) số là nguyên tố, và tỷ lệ đó giữ vững khi n tăng.

Hàm zeta là gì và liên quan gì đến số nguyên tố?

Giống nhiều hàm khác, hàm zeta có “điểm không”, là những điểm mà đầu ra bằng đúng không, và với hàm zeta thì có vô số điểm như vậy. Một số điểm không là tầm thường và đã hiểu rõ; phần thú vị là số còn lại, và giả thuyết Riemann khẳng định rằng mọi điểm không không tầm thường đó đều nằm chính xác trên một đường thẳng đứng cụ thể, gọi là đường tới hạn.

Đây là một cách để thấy mối liên hệ với số nguyên tố. Ở dạng đơn giản nhất, hàm zeta là một tổng: 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + 1/5ˢ + ... chạy qua mọi số tự nhiên, đưa vào một số mũ s nào đó. Chưa có gì về số nguyên tố cả. Chỉ là cộng các phân số lại.

Mẹo của Euler vào những năm 1700 là chỉ ra tổng vô hạn đó bằng đúng với một tích vô hạn chỉ dùng số nguyên tố: một chuỗi các hạng như 1/(1 − 1/2ˢ) × 1/(1 − 1/3ˢ) × 1/(1 − 1/5ˢ) × 1/(1 − 1/7ˢ) × ..., mỗi thừa số ứng với một số nguyên tố, không có số hợp nào. Lý do điều này hoạt động là do phân tích thừa số duy nhất: mỗi số tự nhiên phân tích thành các số nguyên tố theo đúng một cách, nên việc cộng qua tất cả số tự nhiên và nhân qua tất cả số nguyên tố rốt cuộc mã hóa cùng một thông tin. Sự bằng nhau đó chính là mối gắn kết. Nó có nghĩa là hàm zeta không chỉ “liên quan” đến số nguyên tố, mà thực ra là một cách “đóng gói” lại chúng.

Điểm cuối cùng ở đây: Riemann chỉ ra rằng các điểm không này điều khiển sai số trong cách số nguyên tố thưa dần (ước lượng “xấp xỉ 1 trong mỗi ln(n)” ở trên). Các điểm không hoạt động như phần “chú thích” điều chỉnh một ước lượng thô: chúng là nơi những sai lệch giữa vị trí thực tế của các số nguyên tố và giá trị trung bình trơn tru xuất hiện. Giả thuyết Riemann khẳng định mọi điểm không thú vị (những điểm “không tầm thường” ta đã nói) đều nằm đúng trên một đường thẳng đứng cụ thể, gọi là đường tới hạn, mà nếu đúng, đồng nghĩa các sai lệch đó nhỏ và cư xử đều đặn hết mức có thể, và số nguyên tố được phân bố gần như dự đoán được tối đa.

Vậy 41,6% và 67,2% có ý nghĩa gì?

Giả thuyết Riemann nói rằng 100% các điểm không không tầm thường nằm trên đường tới hạn. Chưa ai chứng minh được điều đó, và cũng chưa ai bác bỏ được. Điều mà các nhà toán học đã chứng minh được, bằng các phương pháp hoàn toàn khác, là một “sàn”: một tỷ lệ tối thiểu được đảm bảo của các điểm không đó phải nằm trên đường, dù thế nào đi nữa. 

Điều này không giống với việc máy tính kiểm tra từng điểm không một. Hàng nghìn tỷ điểm không riêng lẻ đã được tính và cho đến nay tất cả đều nằm trên đường tới hạn, nhưng đó chỉ là một mẫu hữu hạn. Dù lớn đến đâu, nó không thể loại trừ việc có một điểm không nào đó rất xa trên trục số phá vỡ khuôn mẫu. Thứ hai, và đây là phần quan trọng, các con số 41,6% và 67,2% hoàn toàn không phải là kết quả mẫu. Chúng là các mệnh đề đã được chứng minh về toàn bộ tập vô hạn các điểm không: một bảo đảm chặt chẽ rằng ít nhất tỷ lệ đó, khi xét ngày càng nhiều điểm không, sẽ luôn nằm trên đường. Đó là một “sàn” toán học cứng, không phải ước lượng cũng không phải xác suất.

Vì vậy, khi con số chuyển từ 41,6% lên 67,2%, không có gì được “tìm thấy” cả. Điều thay đổi là kích thước của chính sàn đảm bảo, thông qua các kỹ thuật chứng minh mới vắt thêm độ chắc chắn từ cùng một tập vô hạn. Kéo sàn này tăng dù chỉ một chút vốn dĩ là công việc chậm rãi, kỹ thuật và kéo dài lịch sử. Việc nó nhảy vọt 25 điểm phần trăm trong một bước là lý do khiến kết quả này đáng để viết thành bài.

Khoan đã, vậy giả thuyết Riemann vẫn chưa được giải?

Ngay cả một sàn cuối cùng đạt 99% cũng không phải là một chứng minh. Giả thuyết là một mệnh đề “tất cả hoặc không gì cả” về mọi điểm không, nên chỉ cần một điểm lạc ra khỏi đường ở bất kỳ đâu trong một tập vô hạn cũng đủ làm nó sụp đổ. 

Điều này là gì: một cải thiện thực sự, đã được kiểm chứng, cho một câu hỏi định lượng cụ thể mà các nhà toán học đã miệt mài từ khi Montgomery giới thiệu kỹ thuật của ông vào năm 1973. Kết quả của Claude dựa đúng mạch đó: các kỹ thuật năm 1973, sau này được Baluyot, Goldston, Suriajaya và Turnage-Butterbaugh điều chỉnh để không còn giả định giả thuyết là đúng, kết hợp với một bài báo năm 2000 của Enrico Bombieri. Claude tìm ra cách ghép chúng lại, xử lý một không gian hàm nhất định với cả phần xác định dương và âm đồng thời thay vì tách rời. Đó là điều đã đẩy sàn từ 41,6% lên 67,2%.

Claude đã làm thế nào

Theo Anthropic, một nhân viên Anthropic, Jarred Sumner, chỉ đơn giản nhắc Claude, chạy trong Claude Code, thử giải giả thuyết Riemann và để các quyết định toán học thực sự cho mô hình.

Lần thử đầu thất bại: Claude tạo và thử 650 ý tưởng khác nhau, không cái nào hiệu quả. Khi được bảo thử lại, Claude dành khoảng một ngày rưỡi điều phối khoảng 60 “tiểu tác tử”, giữa họ chạy khoảng 2.400 lệnh shell và viết hàng trăm script Python, đối chiếu các khẳng định số học với các điểm không zeta đã biết và rà soát lập luận của nhau. Trong số 60 tiểu tác tử đó, chỉ hai tác tử cuối cùng phát triển các ý tưởng toán học cốt lõi; mười ba đóng góp ý tưởng hỗ trợ, ba mươi thử các hướng tiếp cận không đi đến đâu, mười ba đóng vai trò thẩm định, và hai tác tử cuối giúp thảo bản thảo bài báo.

Toàn bộ lần chạy dùng khoảng 31 triệu token đầu ra trong hai phiên. Đáng chú ý, đóng góp của con người trong quá trình này chủ yếu là động viên (“cứ tiếp tục!” — kiểu như vậy) mà Anthropic cho rằng có thể đã giúp Claude vượt qua hoài nghi ban đầu của chính nó rằng bài toán có thể xử lý được hay không.

Khi đạt được kết quả, Claude không dừng lại: nó cho các tiểu tác tử tìm phản ví dụ, lấy 54 bài trên arXiv để kiểm tra xem kết quả đã được công bố chưa, và tự suy ra kết quả lại một cách độc lập như một phép kiểm tra lý trí. Sau đó, nó đề xuất viết kết quả thành một bài báo và khuyến nghị một nhà số học con người kiểm tra lại, và đó chính là những gì diễn ra tiếp theo, với các nhà toán học Anthropic Levent Alpöge và Ralph Furman xem xét nội bộ, Conrey và Goldston rà soát bên ngoài, rồi một bản hình thức hóa Lean riêng, thực hiện cùng Eric Easley của Anthropic.

Những điều vẫn chưa ngã ngũ

Hai điều chính nổi bật với tôi: 

• Phản biện đồng cấp theo nghĩa truyền thống vẫn đang chờ, dù đã có rà soát không chính thức từ chuyên gia. 
• Kỹ thuật này được hiểu là ngõ cụt đối với toàn bộ giả thuyết. Anthropic nói rõ rằng hướng tiếp cận này không kỳ vọng sẽ khái quát thành một chứng minh thực sự cho chính giả thuyết Riemann.

Một vài suy nghĩ cuối

Đây không phải là một đột phá về giả thuyết Riemann, và không ai liên quan tuyên bố khác đi. Nhưng nó là một cải thiện thực sự, được xác minh chính thức, cho một câu hỏi kỹ thuật, cụ thể, đã tồn tại hàng thập kỷ nảy sinh từ một cú vung vào mục tiêu thật. 

Đọc thêm: Chúng tôi đã viết về những tin tức thú vị khác liên quan đến AI và toán học: