Claude hat sich an die Riemann-Vermutung gewagt. Das ist passiert.

Heute, am 10. August, hat Anthropic eine Forschungsnotiz veröffentlicht, in der beschrieben wird, was geschah, als ein Teammitglied Claude bat, sich an der Riemann-Vermutung zu versuchen – vermutlich das bekannteste offene Problem der Mathematik. (Mit Blick auf die Investoren betont Anthropic, dass dieses Projekt mit einer noch unveröffentlichten Version eines Claude-Modells durchgeführt wurde.)

Claude hat die Vermutung nicht bewiesen. Damit hat auch niemand gerechnet. Aber im Zuge des Versuchs, bei der Arbeit an einer Seitenfrage aus demselben Themenfeld, gelang Claude eine echte Verbesserung einer langjährigen unteren Schranke: des Anteils der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion, von denen bekannt ist, dass sie auf der von der Vermutung vorhergesagten „kritischen Geraden“ liegen. Zuvor lag dieser Wert bei 41,6% – das Ergebnis jahrzehntelanger Arbeit. Claudes Resultat hebt ihn auf 67,2%.

Zwei Mathematiker bei Anthropic prüften die Arbeit intern, und zwei externe Expert:innen, Brian Conrey und Dan Goldston, wurden hinzugezogen. Claude erzeugte außerdem eine maschinenprüfbare Lean-Formalisierung des Beweises, sodass die logischen Schritte mechanisch verifiziert werden konnten. Das Ergebnis besteht, ist bedeutend und interessant. 

Was ist die Riemann-Vermutung überhaupt?

Keine Sorge, du musst nicht wegklicken: Die Riemannsche Zetafunktion ist eine mathematische Funktion, die auf indirektem Weg Informationen über die Verteilung der Primzahlen kodiert.

Was hat es mit Primzahlen auf sich?

Primzahlen sind nicht zufällig im Sinne von einzeln unvorhersagbar.

Ob eine gegebene Zahl prim ist, ist vollständig determiniert. Gleichzeitig folgen Primzahlen aber keiner einfachen Formel, denn es gibt keine Gleichung, die dir direkt die hundertmillionste Primzahl ausspuckt.

Es gibt zwar Formeln, die Primzahlen finden, aber im Kern sind sie nur verkappte Varianten davon, Zahlen einzeln zu prüfen. Im großen Blick jedoch dünnen Primzahlen in einem Tempo aus, das sich ziemlich gut vorhersagen lässt: In der Nähe einer großen Zahl n ist grob jede 1/ln(n)-te Zahl prim, und dieses Verhältnis hält, wenn n wächst.

Was ist die Zetafunktion, und wie hängt sie mit Primzahlen zusammen?

Wie viele Funktionen hat die Zetafunktion „Nullstellen“, also Punkte, an denen ihr Wert genau null ist, und bei der Zetafunktion gibt es unendlich viele davon. Einige dieser Nullstellen sind trivial und gut verstanden; die interessanten sind die übrigen, und die Riemann-Vermutung besagt, dass jede einzelne dieser nichttrivialen Nullstellen exakt auf einer bestimmten vertikalen Linie liegt, der sogenannten kritischen Geraden.

So siehst du den Bezug zu Primzahlen: Die Zetafunktion ist in ihrer einfachsten Form eine Summe: 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + 1/5ˢ + ... über alle ganzen Zahlen, jeweils hoch s im Exponenten. Von Primzahlen ist hier noch keine Rede. Es ist einfach das Aufaddieren von Brüchen.

Eulers Kunstgriff im 18. Jahrhundert war zu zeigen, dass dieselbe unendliche Summe exakt einem unendlichen Produkt entspricht, das nur Primzahlen verwendet: eine Kette von Termen wie 1/(1 − 1/2ˢ) × 1/(1 − 1/3ˢ) × 1/(1 − 1/5ˢ) × 1/(1 − 1/7ˢ) × ..., ein Faktor pro Primzahl, ohne irgendeine zusammengesetzte Zahl. Der Grund dafür liegt in der eindeutigen Primfaktorzerlegung: Jede ganze Zahl zerfällt auf genau eine Weise in Primzahlen, sodass das Aufsummieren über alle ganzen Zahlen und das Multiplizieren über alle Primzahlen am Ende dieselbe Information kodiert. Diese Gleichheit ist die ganze Verbindung. Sie bedeutet: Die Zetafunktion ist nicht nur irgendwie mit Primzahlen assoziiert, sie ist tatsächlich eine Umverpackung derselben.

Noch ein Punkt: Riemann zeigte, dass diese Nullstellen den Fehlerterm bei der Ausdünnung der Primzahlen steuern (jene frühere Schätzung „etwa jede 1/ln(n)-te Zahl“). Die Nullstellen wirken wie das Kleingedruckte, das die grobe Schätzung korrigiert: Sie sind der Ort, an dem die Abweichungen zwischen den tatsächlichen Positionen der Primzahlen und dem glatten Mittelwert auftreten. Die Riemann-Vermutung behauptet, dass jede der interessanten (der „nichttrivialen“) Nullstellen genau auf einer bestimmten vertikalen Linie liegt, der kritischen Geraden. Wäre das wahr, blieben diese Abweichungen so klein und gleichmäßig wie möglich, und Primzahlen verteilten sich so vorhersehbar, wie es nur geht.

Was bedeuten die 41,6% und 67,2%?

Die Riemann-Vermutung sagt, dass 100% der nichttrivialen Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen. Das hat niemand bewiesen, aber auch niemand widerlegt. Was Mathematiker:innen wohl bewiesen haben – mit völlig anderen Methoden – ist eine Untergrenze: ein garantiertes Mindestmaß an Nullstellen, die auf dieser Geraden liegen müssen, ganz gleich was passiert. 

Das ist nicht dasselbe wie Computer, die Nullstellen einzeln prüfen. Billionen einzelner Nullstellen wurden berechnet, und jede einzelne lag bisher auf der kritischen Geraden – aber das ist nur eine endliche Stichprobe. Wie groß sie auch ist, sie kann nicht ausschließen, dass weit draußen eine Nullstelle das Muster bricht. Zweitens – und das ist der wichtige Teil – sind die 41,6%- und 67,2%-Werte keine Stichprobenergebnisse. Es sind Aussagen über die gesamte unendliche Menge der Nullstellen: eine strenge Garantie, dass mindestens dieser Anteil – wenn man immer mehr Nullstellen betrachtet – stets auf der Geraden liegen wird. Das ist eine harte mathematische Untergrenze, keine Schätzung und keine Wahrscheinlichkeit.

Wenn der Wert also von 41,6% auf 67,2% steigt, wurde nichts „gefunden“. Geändert hat sich die Höhe der garantierten Untergrenze selbst – durch neue Beweistechniken, die aus derselben unendlichen Menge mehr Gewissheit herausholen. Diese Untergrenze auch nur ein wenig anzuheben, ist historisch langsame, technische Arbeit. Sie in einem Schritt um 25 Prozentpunkte zu erhöhen, macht dieses Ergebnis zu einer Nachrichtensache.

Also ist die Riemann-Vermutung weiterhin ungelöst?

Selbst eine Untergrenze, die irgendwann 99% erreicht, wäre kein Beweis. Die Vermutung ist eine Alles-oder-nichts-Aussage über jede einzelne Nullstelle, sodass schon eine einzige Ausreißer-Nullstelle außerhalb der Geraden irgendwo in der unendlichen Menge sie widerlegen würde. 

Worum es hier geht: eine echte, verifizierte Verbesserung zu einer spezifischen quantitativen Frage, an der Mathematiker:innen seit Montgomerys Techniken von 1973 arbeiten. Claudes Ergebnis knüpft genau daran an: jene Techniken von 1973, später von Baluyot, Goldston, Suriajaya und Turnage-Butterbaugh so angepasst, dass sie nicht mehr die Gültigkeit der Vermutung voraussetzen, kombiniert mit einem Paper von Enrico Bombieri aus dem Jahr 2000. Claude fand einen Weg, das zusammenzuführen, indem ein gewisser Funktionsraum mit positiv- und negativ-definiten Anteilen gleichzeitig statt getrennt behandelt wurde. Das hat die Untergrenze von 41,6% auf 67,2% verschoben.

Wie Claude dahin kam

Laut Anthropic forderte ein Anthropic-Mitarbeiter, Jarred Sumner, Claude schlicht dazu auf, innerhalb von Claude Code die Riemann-Vermutung anzugehen, und überließ dem Modell die mathematischen Entscheidungen.

Der erste Anlauf scheiterte: Claude generierte und testete 650 verschiedene Ideen, von denen keine funktionierte. Auf erneute Aufforderung verbrachte Claude rund anderthalb Tage damit, etwa 60 Subagenten zu koordinieren, die zusammen etwa 2.400 Shell-Kommandos ausführten und Hunderte Python-Skripte schrieben, numerische Aussagen mit bekannten Zeta-Nullstellen abglichen und gegenseitig ihre Argumentationen prüften. Von diesen 60 Subagenten entwickelten nur zwei die mathematischen Kernideen, die zählten; dreizehn steuerten unterstützende Ideen bei, dreißig verfolgten Ansätze, die ins Leere liefen, dreizehn arbeiteten als Prüfer, und die letzten zwei halfen beim Verfassen des Papers.

Der gesamte Lauf verbrauchte in zwei Sessions etwa 31 Millionen Ausgabe-Token. Bemerkenswert: Der menschliche Beitrag bestand währenddessen vor allem aus Ermutigung („Weiter so!“, in der Art), was laut Anthropic geholfen haben könnte, dass Claude seine anfängliche Skepsis überwand, das Problem sei nicht handhabbar.

Nachdem Claude auf das Ergebnis gestoßen war, blieb es nicht dabei: Subagenten suchten nach Gegenbeispielen, zogen 54 Papers von arXiv heran, um sicherzustellen, dass das Resultat nicht bereits veröffentlicht worden war, und leiteten den Befund als Plausibilitätscheck unabhängig erneut her. Anschließend schlug es vor, das Resultat als Paper auszuarbeiten und empfahl, dass eine menschliche Zahlentheoretikerin oder ein Zahlentheoretiker die Arbeit prüft – was dann auch geschah: intern durch die Anthropic-Mathematiker Levent Alpöge und Ralph Furman, extern durch Conrey und Goldston, und zusätzlich mit einer separaten Lean-Formalisation, erstellt mit Anthropics Eric Easley.

Was noch offen ist

Zwei Punkte stechen für mich heraus: 

• Das klassische Peer-Review steht noch aus, auch wenn eine informelle Expert:innenprüfung bereits stattgefunden hat. 
• Die Technik gilt als Sackgasse für die vollständige Vermutung. Anthropic macht klar, dass diese Angriffsrichtung voraussichtlich nicht zu einem echten Beweis der Riemann-Vermutung verallgemeinert werden kann.

Abschließende Gedanken

Das ist kein Durchbruch zur Riemann-Vermutung, und niemand behauptet das. Aber es ist eine echte, formal verifizierte Verbesserung zu einer speziellen, technischen, jahrzehntealten Frage, die aus einem Anlauf auf das eigentliche Ziel hervorging. 

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