Claude ha provato con l'Ipotesi di Riemann. Ecco com'è andata.

Oggi, 10 agosto, Anthropic ha pubblicato una nota di ricerca in cui racconta cosa è successo quando un membro del team ha chiesto a Claude di cimentarsi con l'ipotesi di Riemann, probabilmente il singolo problema matematico aperto più famoso. (Con un occhio agli investitori, Anthropic ci ha tenuto a ricordare che il progetto è stato condotto su una versione di Claude non ancora rilasciata.)

Claude non ha dimostrato l'ipotesi. Nessuno se lo aspettava. Ma durante il tentativo, lavorando su una domanda collaterale nello stesso ambito, Claude è approdato a un reale miglioramento di un limite inferiore di lunga data: la proporzione degli zeri della funzione zeta di Riemann che si sa giacciano sulla "retta critica" prevista dall'ipotesi. Prima, quel numero era del 41,6%, frutto di decenni di sforzi. Il risultato di Claude lo porta al 67,2%.

Due matematici di Anthropic hanno revisionato il lavoro internamente e due esperti esterni, Brian Conrey e Dan Goldston, sono stati coinvolti per esaminarlo. Claude ha anche prodotto una formalizzazione in Lean verificabile automaticamente della dimostrazione, così da poter controllare meccanicamente i passaggi logici. Il risultato regge, è significativo e interessante. 

Ma che cos'è, in fondo, l'ipotesi di Riemann?

Non ti farò cliccare altrove per capirlo: la funzione zeta di Riemann è una funzione matematica che, per vie traverse, codifica informazioni sulla distribuzione dei numeri primi.

Che storia è quella dei numeri primi?

I primi non sono casuali nel senso di imprevedibili uno per uno.

Se un dato numero è primo è del tutto determinato. Ma non seguono neppure una formula semplice, perché non esiste un'equazione che sputi fuori il centomilionesimo primo.

Esistono formule che trovano numeri primi, ma in realtà sono versioni mascherate del controllare ogni numero uno per uno. Se allarghi lo sguardo, però, i primi si diradano a un ritmo che puoi prevedere piuttosto bene: intorno a un grande numero n, circa 1 ogni ln(n) numeri è primo, e quel rapporto si mantiene man mano che n cresce.

Cos'è la funzione zeta e come si collega ai primi?

Come molte funzioni, la funzione zeta ha degli "zeri", punti in cui il suo valore è esattamente zero, e nel suo caso ce ne sono infiniti. Alcuni di questi zeri sono banali e ben compresi; gli interessanti sono gli altri, e l'ipotesi di Riemann afferma che ognuno di questi zeri non banali giace esattamente su una specifica retta verticale, chiamata retta critica.

Ecco un modo per vedere il legame con i primi. La funzione zeta, nella forma più semplice, è una somma: 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + 1/5ˢ + ... che scorre su ogni numero intero, elevato a un certo esponente s. Niente primi, per ora. È solo sommare frazioni.

Il trucco di Eulero, nel Settecento, fu mostrare che quella stessa somma infinita è esattamente uguale a un prodotto infinito che usa solo numeri primi: una catena di termini come 1/(1 − 1/2ˢ) × 1/(1 − 1/3ˢ) × 1/(1 − 1/5ˢ) × 1/(1 − 1/7ˢ) × ..., un fattore per ogni primo, senza alcun numero composto. Il motivo per cui funziona sta nella fattorizzazione unica: ogni numero intero si scompone in primi in un solo modo, quindi sommare su tutti gli interi e moltiplicare su tutti i primi finisce per codificare la stessa identica informazione. Questa uguaglianza è il legame. Significa che la funzione zeta non è solo associata ai primi, è in realtà un loro reimpacchettamento.

Ultima cosa qui: Riemann mostrò che questi zeri controllano il termine d'errore nel modo in cui i primi si diradano (quella stima "circa 1 ogni ln(n)" di prima). Gli zeri agiscono come le note in piccolo che correggono una stima grezza: è lì che compaiono le deviazioni tra le posizioni effettive dei primi e la media liscia. L'ipotesi di Riemann afferma che ognuno degli zeri interessanti (i "non banali" di cui sopra) giace esattamente su una specifica retta verticale, la retta critica, il che, se vero, significa che quelle deviazioni restano piccole e regolari quanto più possibile, e che i primi sono distribuiti nel modo più prevedibile che si possa sperare.

Quindi cosa significano il 41,6% e il 67,2%?

L'ipotesi di Riemann dice che il 100% degli zeri non banali sta sulla retta critica. Nessuno l'ha dimostrato, e nessuno l'ha nemmeno smentito. Quello che i matematici sono riusciti a dimostrare, con metodi del tutto diversi, è un pavimento: una frazione minima garantita di quegli zeri che deve stare sulla retta, a prescindere. 

Non è la stessa cosa che far controllare gli zeri a un computer uno per uno. Sono stati calcolati trilioni di zeri individuali, e finora ognuno è caduto sulla retta critica, ma è solo un campione finito. Per quanto grande, non può escludere che qualche zero lontanissimo rompa lo schema. In secondo luogo, e questo è il punto importante, le cifre del 41,6% e 67,2% non sono affatto risultati campionari. Sono affermazioni dimostrate sull'intero insieme infinito degli zeri: una garanzia rigorosa che almeno quella frazione, man mano che consideri sempre più zeri, starà sempre sulla retta. È un pavimento matematico solido, non una stima e non una probabilità.

Quindi, quando il numero passa dal 41,6% al 67,2%, non è stato "trovato" nulla. È cambiata la dimensione del pavimento garantito, grazie a nuove tecniche dimostrative che spremono più certezza dallo stesso insieme infinito. Far salire quel pavimento anche solo di poco è storicamente un lavoro lento e tecnico. Vederlo balzare di 25 punti percentuali in un colpo solo è ciò che ha reso questo risultato degno di un articolo.

Quindi, l'ipotesi di Riemann è ancora irrisolta?

Anche un pavimento che arrivasse fino al 99% non sarebbe una dimostrazione. L'ipotesi è un'affermazione tutto-o-niente su ogni zero, quindi un singolo zero fuori retta, ovunque in un insieme infinito, la manderebbe comunque in frantumi. 

Che cos'è, allora: un miglioramento reale e verificato su una specifica questione quantitativa su cui i matematici lavorano senza sosta da quando Montgomery introdusse le sue tecniche nel 1973. Il risultato di Claude attinge proprio a quel filone: quelle tecniche del 1973, in seguito adattate da Baluyot, Goldston, Suriajaya e Turnage-Butterbaugh per non assumere più vera l'ipotesi, combinate con un articolo del 2000 di Enrico Bombieri. Claude ha trovato il modo di cucirle insieme, trattando uno spazio di funzioni con parti sia definite positive sia definite negative contemporaneamente anziché separatamente. È questo che ha spinto il pavimento dal 41,6% al 67,2%.

Come ci è arrivato Claude

Secondo Anthropic, un membro del team, Jarred Sumner, ha semplicemente chiesto a Claude, in esecuzione dentro Claude Code, di tentare l'ipotesi di Riemann, lasciando al modello le decisioni matematiche vere e proprie.

Il primo tentativo è andato a vuoto: Claude ha generato e provato 650 idee diverse, nessuna delle quali ha funzionato. Invitato a riprovarci, Claude ha passato circa un giorno e mezzo a coordinare una sessantina di sottoagenti che, nel complesso, hanno eseguito circa 2.400 comandi shell e scritto centinaia di script Python, incrociando affermazioni numeriche con zeri della zeta noti e revisionando a vicenda i propri ragionamenti. Di quei 60 sottoagenti, solo due hanno finito per sviluppare le idee matematiche centrali; tredici hanno contribuito con idee di supporto, trenta hanno tentato approcci che non hanno dato frutti, tredici hanno lavorato come validatori e gli ultimi due hanno aiutato a redigere l'articolo.

L'intera esecuzione ha usato circa 31 milioni di token di output in due sessioni. Da notare che il contributo umano durante il processo è stato per lo più di incoraggiamento ("continua così!"—cose del genere), che secondo Anthropic potrebbe aver aiutato Claude a superare il suo scetticismo iniziale sulla trattabilità del problema.

Una volta ottenuto il risultato, Claude non si è fermato: ha incaricato sottoagenti di cercare controesempi, ha recuperato 54 articoli da arXiv per verificare che il risultato non fosse già stato pubblicato e ha ri-derivato la scoperta in modo indipendente come controllo di sanità. Ha poi proposto di scrivere il risultato come un paper e ha raccomandato che un teorico dei numeri umano ne verificasse il lavoro, cosa che è esattamente successa: i matematici di Anthropic Levent Alpöge e Ralph Furman lo hanno esaminato internamente, Conrey e Goldston esternamente, e poi è seguita una formalizzazione separata in Lean, prodotta con Eric Easley di Anthropic.

Cosa resta in sospeso

Due cose principali saltano all'occhio: 

• La peer review in senso tradizionale è ancora in corso, anche se una revisione informale da parte di esperti è avvenuta. 
• La tecnica è ritenuta un vicolo cieco per l'ipotesi completa. Anthropic è esplicita nel dire che questa linea d'attacco non dovrebbe generalizzarsi in una vera dimostrazione dell'ipotesi di Riemann.

Considerazioni finali

Questo non è un progresso sull'ipotesi di Riemann, e nessuno dei coinvolti afferma il contrario. Ma è un miglioramento reale, formalmente verificato, su una specifica questione tecnica vecchia di decenni, emerso da un tentativo diretto al vero obiettivo. 

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