Claude Riemann Varsayımını Denedi. İşte Olanlar.

Bugün, 10 Ağustos’ta, Anthropic bir araştırma notu yayımladı: Bir çalışan, muhtemelen tek başına en ünlü açık matematik problemi olan Riemann varsayımını denemesi için Claude’a görev verdiğinde neler olduğunu anlattılar. (Yatırımcılarını da düşünerek, Anthropic bu çalışmanın henüz yayımlanmamış bir Claude model sürümüyle yapıldığını özellikle belirtti.)

Claude varsayımı kanıtlamadı. Kimse de bunu beklemiyordu. Ancak deneme sırasında, aynı alandan doğan bir yan sorunu çalışırken, Claude uzun süredir bilinen bir alt sınıra gerçek bir iyileştirme getirdi: Riemann zeta fonksiyonunun varsayımın öngördüğü “kritik doğru” üzerinde yer aldığı bilinen sıfırların oranı. Daha önce bu sayı onlarca yıllık emeğin ürünü olarak %41,6 idi. Claude’un sonucu bunu %67,2’ye yükseltiyor.

İki Anthropic matematikçisi çalışmayı kurum içinde inceledi, ayrıca Brian Conrey ve Dan Goldston adlı iki dış uzman değerlendirme için davet edildi. Claude, mantıksal adımların mekanik olarak doğrulanabilmesi için ispatın makineyle denetlenebilir bir Lean biçimlemesini de üretti. Sonuç geçerli, anlamlı ve ilginç.

Peki Riemann Varsayımı Nedir?

Bu kısmı anlamak için başka bir yazıya tıklamanızı istemiyorum: Riemann zeta fonksiyonu, dolambaçlı bir yoldan asal sayıların dağılımına dair bilgiyi kodlayan bir matematiksel fonksiyondur.

Asal sayılarla mesele nedir?

Asallar, tek tek öngörülemezlik anlamında rastgele değildir.

Verilen bir sayının asal olup olmadığı bütünüyle belirlenmiştir. Ama aynı zamanda basit bir formülü de takip etmezler; 100 milyonuncu asalı çıkaran bir denklem yoktur.

Asal bulan bazı formüller vardır, ama bunlar özünde sayıları tek tek kontrol etmenin kılık değiştirmiş hâlleridir. Uzakta ise, asallar azalma hızını epey iyi öngörebilirsiniz: Belli bir büyük n sayısının civarında, yaklaşık her ln(n) sayıda 1’i asaldır ve n büyüdükçe bu oran korunur.

Zeta fonksiyonu nedir ve asallarla nasıl ilişkilidir?

Pek çok fonksiyon gibi, zeta fonksiyonunun da çıktısının tam olarak sıfır olduğu “sıfırlar”ı vardır ve zeta fonksiyonu söz konusu olduğunda bunlardan sonsuz tane bulunur. Bazı sıfırlar önemsizdir ve iyi anlaşılmıştır; ilginç olanlar geri kalanlardır ve Riemann varsayımı, bu önemsiz olmayan sıfırların her birinin tam olarak kritik doğru denilen tek bir düşey doğru üzerinde yattığı iddiasıdır.

Bağlantıyı şöyle görebilirsiniz. Zeta fonksiyonu en basit hâliyle bir toplamdır: 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + 1/5ˢ + ... tüm doğal sayılar üzerinden, bir üs s’ye yerleştirilerek. Henüz asallarla ilgili bir şey yok. Sadece kesirler toplanıyor.

Euler’in 1700’lerdeki numarası, aynı sonsuz toplamın yalnızca asal sayıları kullanan sonsuz bir çarpıma tam olarak eşit olduğunu göstermesiydi: 1/(1 − 1/2ˢ) × 1/(1 − 1/3ˢ) × 1/(1 − 1/5ˢ) × 1/(1 − 1/7ˢ) × ... gibi terimlerden oluşan bir zincir; her asal için bir çarpan ve içinde hiçbir bileşik sayı yok. Bunun nedeni tekil çarpanlara ayırmaya dayanır: Her doğal sayı tam olarak bir tek şekilde asal çarpanlarına ayrılır; dolayısıyla tüm doğal sayılar üzerinden toplamakla tüm asallar üzerinden çarpmak özünde aynı bilgiyi kodlar. Eşitlik tüm bağın kendisidir. Bu, zeta fonksiyonunun asallarla yalnızca ilişkili olmadığını, aslında onların yeniden paketlenmiş hâli olduğunu gösterir.

Son bir nokta: Riemann, bu sıfırların asalların nasıl inceldiğine dair hata terimini kontrol ettiğini gösterdi (az önceki “yaklaşık her ln(n)’de 1” tahmini). Sıfırlar, kaba bir tahmini düzelten dipnotlar gibi davranır: Asalların gerçek konumları ile düzgün ortalama arasındaki sapmaların göründüğü yerlerdir. Riemann varsayımı, ilginç (az önce sözünü ettiğimiz “önemsiz olmayan”) tüm sıfırların kritik doğru denilen tek bir düşey doğru üzerinde tam olarak yattığı iddiasıdır ki bu doğruysa, bu sapmalar mümkün olduğunca küçük ve düzenli kalır ve asallar olabilecekleri kadar öngörülebilir biçimde dağılır.

Peki %41,6 ve %67,2 Ne Anlama Geliyor?

Riemann varsayımı, önemsiz olmayan sıfırların %100’ünün kritik doğru üzerinde oturduğunu söyler. Bunu kimse ne ispatladı ne de çürüttü. Matematikçilerin kanıtlamayı başardığı şey, tamamen farklı yöntemlerle bir tabandır: Ne olursa olsun, bu sıfırların en azından belli bir kesrinin doğru üzerinde bulunmak zorunda olduğuna dair bir alt sınır.

Bu, bilgisayarların sıfırları tek tek kontrol etmesiyle aynı şey değildir. Trilyonlarca bireysel sıfır hesaplandı ve şimdiye dek her biri kritik doğru üzerinde yer aldı; ancak bu sadece sonlu bir örneklem. Ne kadar büyük olursa olsun, sayı doğrusu üzerinde çok uzakta kalıbı bozan bir sıfırı dışlayamaz. İkincisi, ve bu önemli olan kısım, %41,6 ve %67,2 rakamları hiç de örneklem sonuçları değildir. Bunlar, tüm sonsuz sıfırlar kümesi hakkında kanıtlanmış ifadelerdir: Daha fazla sıfır dikkate alındıkça, en az bu kesrin her zaman doğru üzerinde kalacağını garanti eden katı bir güvence. Bu zor bir matematiksel tabandır; tahmin ya da olasılık değil.

Dolayısıyla sayı %41,6’dan %67,2’ye çıktığında, “bir şey bulunmuş” değildir. Değişen, aynı sonsuz kümeden daha fazla kesinlik çıkaran yeni ispat teknikleri sayesinde bizzat garantili tabanın boyutudur. Bu tabanı azıcık bile yükseltmek tarihsel olarak yavaş ve teknik bir iştir. Onu tek adımda 25 puan artırmak ise bu sonucu yazıya değer kılan şeydir.

Yani Riemann Varsayımı Hâlâ Çözülemedi mi?

%99’a ulaşan bir taban bile ispat sayılmaz. Varsayım, her bir sıfır hakkında ya hep ya hiç türünde bir ifadedir; sonsuz bir kümede doğru dışında tek bir başıboş sıfır bile onu bozar.

Olan şey şu: Montgomery’nin 1973’te ortaya koyduğu tekniklerden beri matematikçilerin üzerinde çalıştığı belirli bir nicel soruya yönelik gerçek ve doğrulanmış bir iyileştirme. Claude’un sonucu özellikle o çizgiye dayanıyor: 1973 teknikleri, daha sonra Baluyot, Goldston, Suriajaya ve Turnage-Butterbaugh tarafından varsayımın doğru olduğu farz edilmeksizin uyarlanmış biçimleri ve Enrico Bombieri’nin 2000 tarihli bir makalesiyle birleştirildi. Claude, belirli bir fonksiyon uzayını pozitif ve negatif tanımlı kısımlarıyla ayrı ayrı değil, eşzamanlı ele alacak bir yol buldu. İşte bu, tabanı %41,6’dan %67,2’ye itti.

Claude Oraya Nasıl Vardı?

Anthropic’e göre, Anthropic çalışanı Jarred Sumner, Claude’u Claude Code içinde çalıştırarak Riemann varsayımını denemesi için basitçe yönlendirdi ve gerçek matematiksel kararları modele bıraktı.

İlk deneme başarısız oldu: Claude 650 farklı fikir üretti ve denedi, hiçbirisi işe yaramadı. Tekrar denemesi söylendiğinde Claude, yaklaşık bir buçuk gün boyunca 60 kadar alt ajanı koordine etti; bu ajanlar toplamda yaklaşık 2.400 kabuk komutu çalıştırdı ve yüzlerce Python betiği yazdı, sayısal iddiaları bilinen zeta sıfırlarına karşı çapraz kontrol etti ve birbirlerinin akıl yürütmesini gözden geçirdi. Bu 60 alt ajandan yalnızca ikisi kritik matematiksel fikirleri geliştirdi; on üçü destekleyici fikirler sağladı, otuzu sonuç vermeyen yaklaşımlar denedi, on üçü doğrulayıcı olarak çalıştı ve son ikisi makalenin yazımına yardımcı oldu.

Tüm çalışma iki oturumda yaklaşık 31 milyon çıktı belirteci kullandı. Dikkat çekici olan, süreç boyunca insan katkısının çoğunlukla teşvik niteliğinde olmasıydı (“devam!”, bu türden) ve Anthropic bunun, Claude’un sorun çözülebilirliğine dair erken kuşkularını aşmasına yardımcı olmuş olabileceğini öne sürüyor.

Claude sonuca ulaştığında orada durmadı: alt ajanlara karşı örnek arattı, sonucun zaten yayımlanmadığını denetlemek için arXiv’den 54 makale çekti ve bir sağlamlık kontrolü olarak bulguyu bağımsız biçimde yeniden türetti. Ardından sonucu bir makale olarak yazmayı önerdi ve bir insan sayı kuramcısının çalışmayı kontrol etmesini tavsiye etti; nitekim tam da bu oldu: Anthropic matematikçileri Levent Alpöge ve Ralph Furman iç inceleme yaptı, Conrey ve Goldston dışarıdan değerlendirdi ve ayrıca Anthropic’ten Eric Easley ile birlikte ayrı bir Lean biçimlemesi üretildi.

Hâlâ Çözülemeyenler

İki temel nokta öne çıkıyor:

• Geleneksel anlamda hakemli değerlendirme hâlâ beklemede, her ne kadar gayriresmî uzman incelemesi yapılmış olsa da.
• Tekniğin, varsayımın tamamı için çıkmaz olduğu anlaşılıyor. Anthropic, bu saldırı hattının Riemann varsayımının bizzat ispatına genelleşmesinin beklenmediğini açıkça belirtiyor.

Son Düşünceler

Bu bir Riemann varsayımı atılımı değil ve hiç kimse aksini iddia etmiyor. Ancak asıl hedefe atılan bir hamleden doğan, belirli, teknik ve onlarca yıllık bir soruya yönelik gerçek ve biçimsel olarak doğrulanmış bir iyileştirme.

Daha fazla okuma için: Başka ilgi çekici yapay zekâ ve matematik haberleri hakkında da yazdık: