使用 R 进行列联分析

列联分析是一种假设检验，用于检验两个分类变量是否相互独立。通俗地说，我们在问：“如果已知一个变量的取值，能否预测另一个变量的取值？”如果答案是可以，则说明所讨论的变量并不独立；如果答案是不可以，则可以认为它们是独立的。该检验使用列联表，因此称为“列联分析”。它也被称为“卡方独立性检验”，因为其检验统计量服从卡方分布，且用于检验两个分类变量是否独立。

该检验的原假设为两个变量相互独立，备择假设为两个变量不独立。

让我们通过一个示例来理解“列联分析”或“卡方独立性检验”。

假设我们想知道运动偏好是否与性别独立。于是，我们分别询问了一百名男性和一百名女性，在射箭、拳击和自行车这三项运动中更喜欢玩哪一项，并将得到的数据汇总在下表这个双向表中。

上表称为观测表，因为其中包含的是实际观测到的频数。

卡方独立性检验通过比较观测频数与期望频数来进行。因此，我们的下一步任务是由观测表推导出包含期望频数的期望表。期望表表示在两个分类变量彼此独立时，我们预期该双向表应呈现的样子。根据概率论，若两个事件独立，则其联合概率等于各自边际概率的乘积。我们将用这一思想计算六个单元格各自的期望频数。先来计算第一个单元格的期望频数。首先，通过“女性的概率（100/200）×偏好射箭的概率（45/200）”得到联合概率。得到联合概率（100/200 × 45/200）后，再乘以样本量（200），即可得到第一个单元格的期望频数，即 22.5。其余五个单元格的期望频数可用同样方法计算。下表即为在性别与运动偏好相互独立时我们希望看到的表。

现在我们既有期望频数，也有观测频数，接下来要做的是检查观测频数与期望频数的差异有多大。为此，我们需要计算一个称为卡方检验统计量的量，因为它服从卡方分布。下面给出了计算卡方检验统计量的公式。

从上式可以看出，卡方检验统计量的取值可以为 0（当观测频数与期望频数完全一致时），但不可能为负。因此，卡方独立性检验是单尾检验。

利用上述公式，让我们计算本例的卡方检验统计量，这也称为检验统计量的观测值。

现在需要决定是否拒绝原假设。我们可以通过将检验统计量的观测值与其临界值比较，或查看 p 值来作出决策。如果检验统计量的观测值超过其临界值，或 p 值小于等于显著性水平，则可拒绝原假设，并认为两个分类变量之间存在统计学意义上的关系，即它们不独立。若已知显著性水平（通常为0.05）和自由度，我们可以从卡方分布表中查到临界值。显著性水平是拒绝真实原假设的概率。对于具有 r 行、c 列的表，自由度可按以下公式计算。

因此，在本例中，我们的自由度为2。

从下表可以看到，当显著性水平为0.05且自由度为2时，检验统计量的临界值为5.99。

由于检验统计量的观测值大于其临界值（19.798 > 5.99），我们可以拒绝原假设，得出结论：运动偏好不独立于性别。

现在来看看如何使用 R 编程语言进行卡方独立性检验

使用内置函数chisq.test()即可非常轻松地完成卡方独立性检验。

以下为观测表。

observed_table <- matrix(c(35, 15, 50, 10, 30, 60), nrow = 2, ncol = 3, byrow = T)
rownames(observed_table) <- c('Female', 'Male')
colnames(observed_table) <- c('Archery', 'Boxing', 'Cycling')
observed_table
技术支持

##        Archery Boxing Cycling
## Female      35     15      50
## Male        10     30      60技术支持

要进行检验，我们需要将chisq.test()函数应用于观测表。

X <- chisq.test(observed_table)
X
技术支持

##
##  Pearson's Chi-squared test
##
## data:  observed_table
## X-squared = 19.798, df = 2, p-value = 5.023e-05技术支持

从上述结果可以看到，p 值小于显著性水平（0.05）。因此，我们可以拒绝原假设，得出结论：这两个变量（性别与运动偏好）不独立。

如果我们想查看期望表，也可以这样做。

X$expected
技术支持

##        Archery Boxing Cycling
## Female    22.5   22.5      55
## Male      22.5   22.5      55技术支持

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