Análise de contingência usando R

A análise de contingência é um teste de hipótese usado para verificar se duas variáveis categóricas são independentes ou não. Em outras palavras, estamos perguntando: "Dá para prever o valor de uma variável se soubermos o valor da outra?". Se a resposta for sim, dizemos que as variáveis em questão não são independentes. Se a resposta for não, dizemos que elas são independentes. O teste utiliza tabelas de contingência e, por isso, é conhecido como "análise de contingência". Ele também é chamado de "teste qui-quadrado de independência", pois a estatística de teste segue uma distribuição qui-quadrado e o objetivo é verificar se duas variáveis categóricas são independentes ou não.

A hipótese nula do teste afirma que as duas variáveis são independentes, e a hipótese alternativa afirma que elas não são independentes.

Vamos entender a "análise de contingência" ou o "teste qui-quadrado de independência" com um exemplo.

Suponha que queremos saber se a preferência por esporte é independente de gênero. Para isso, perguntamos a cem mulheres e cem homens qual esporte preferem praticar entre arco e flecha, boxe e ciclismo, e resumimos os dados na tabela de dupla entrada a seguir.

A tabela acima é chamada de tabela observada, pois contém as contagens observadas.

O teste qui-quadrado de independência compara as contagens observadas com as contagens esperadas. Portanto, nossa próxima tarefa é derivar a tabela esperada, contendo as contagens esperadas com base na tabela observada. A tabela esperada representa como esperamos que a tabela de dupla entrada seja caso as duas variáveis categóricas sejam independentes. Pela teoria das probabilidades, sabemos que dois eventos são independentes se a probabilidade conjunta é igual ao produto das probabilidades marginais. Vamos usar esse conceito para calcular as contagens esperadas em cada uma das seis células. Vamos calcular a contagem esperada da primeira célula. Primeiro, calculamos a probabilidade conjunta multiplicando a probabilidade de ser mulher (100/200) pela probabilidade de preferir arco e flecha (45/200). Tendo a probabilidade conjunta (100/200 * 45/200), multiplicamos pelo tamanho da amostra (200) e obtemos a contagem esperada da primeira célula, que é 22,5. Da mesma forma, calculamos as contagens esperadas para as outras cinco células. A tabela a seguir é a que esperaríamos ver se gênero e preferência esportiva fossem independentes.

Agora que temos as contagens esperadas e observadas, nossa próxima tarefa é verificar o quanto as contagens observadas diferem das esperadas. Para isso, calculamos uma estatística de teste conhecida como qui-quadrado, pois ela segue a distribuição qui-quadrado. A seguir está a fórmula para calcular o valor da estatística qui-quadrado.

Pela fórmula acima, vemos que o valor da estatística qui-quadrado pode ser 0 (quando não há diferença alguma entre as contagens observadas e esperadas), mas nunca pode ser negativo. Isso torna o teste qui-quadrado de independência unilateral (cauda à direita).

Usando a fórmula, vamos calcular o valor da estatística qui-quadrado para o nosso exemplo. Esse é o valor observado da estatística de teste.

Agora é hora de decidir se rejeitamos ou não a hipótese nula. Tomamos a decisão comparando o valor observado da estatística de teste com seu valor crítico ou analisando o p-valor. Se o valor observado exceder o valor crítico, ou se o p-valor for menor ou igual ao nível de significância, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que existe uma relação estatisticamente significativa entre as duas variáveis categóricas — ou seja, elas não são independentes. Sabendo o nível de significância (geralmente 0,05) e os graus de liberdade, obtemos o valor crítico na tabela qui-quadrado. O nível de significância é a probabilidade de rejeitar uma hipótese nula verdadeira. Para uma tabela com r linhas e c colunas, os graus de liberdade podem ser calculados pela fórmula a seguir.

Portanto, no nosso exemplo, temos 2 graus de liberdade.

Pela tabela abaixo, vemos que o valor crítico da estatística de teste é 5,99 para nível de significância de 0,05 e 2 graus de liberdade.

Como o valor observado da estatística de teste é maior que o seu valor crítico (19,798 > 5,99), podemos rejeitar a hipótese nula e concluir que a preferência por esporte não é independente de gênero.

Vamos ver agora como executar o teste qui-quadrado de independência na linguagem R

É muito fácil realizar o teste qui-quadrado de independência usando a função nativa chisq.test().

A seguir, a tabela observada.

observed_table <- matrix(c(35, 15, 50, 10, 30, 60), nrow = 2, ncol = 3, byrow = T)
rownames(observed_table) <- c('Female', 'Male')
colnames(observed_table) <- c('Archery', 'Boxing', 'Cycling')
observed_table

##        Archery Boxing Cycling
## Female      35     15      50
## Male        10     30      60

Para realizar o teste, aplicamos a função chisq.test() à tabela observada.

X <- chisq.test(observed_table)
X

##
##  Pearson's Chi-squared test
##
## data:  observed_table
## X-squared = 19.798, df = 2, p-value = 5.023e-05

Pelo resultado acima, vemos que o p-valor é menor que o nível de significância (0,05). Portanto, podemos rejeitar a hipótese nula e concluir que as duas variáveis (gênero e preferência esportiva) não são independentes.

Se quisermos ver a tabela esperada, também é possível.

X$expected

##        Archery Boxing Cycling
## Female    22.5   22.5      55
## Male      22.5   22.5      55

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