R का उपयोग करके आकस्मिकता विश्लेषण

आकस्मिकता विश्लेषण एक परिकल्पना परीक्षण है जिसका उपयोग यह जाँचने के लिए किया जाता है कि क्या दो श्रेणीबद्ध चर एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं या नहीं। सरल शब्दों में, हम यह प्रश्न पूछ रहे हैं: "यदि हमें दूसरे चर का मान पता हो, तो क्या हम पहले चर का मान भविष्यवाणी कर सकते हैं?" यदि उत्तर हाँ है, तो हम कह सकते हैं कि विचाराधीन चर स्वतंत्र नहीं हैं। यदि उत्तर नहीं है, तो हम कह सकते हैं कि विचाराधीन चर स्वतंत्र हैं। यह परीक्षण आकस्मिकता सारणियों का उपयोग करता है, जिसके कारण इसे 'आकस्मिकता विश्लेषण' कहा जाता है। इसे 'स्वतंत्रता का काइ-स्क्वायर परीक्षण' भी कहा जाता है क्योंकि परीक्षण सांख्यिकी काइ-स्क्वायर वितरण का अनुसरण करती है और यह परीक्षण जाँचता है कि क्या दो श्रेणीबद्ध चर स्वतंत्र हैं या नहीं।

इस परीक्षण की शून्य परिकल्पना यह है कि दोनों चर स्वतंत्र हैं और वैकल्पिक परिकल्पना यह है कि दोनों चर स्वतंत्र नहीं हैं।

आइए एक उदाहरण की मदद से 'आकस्मिकता विश्लेषण' या 'स्वतंत्रता का काइ-स्क्वायर परीक्षण' को समझने की कोशिश करें।

मान लीजिए हम यह जानना चाहते हैं कि खेल का चुनाव लिंग से स्वतंत्र है या नहीं। इसके लिए, हमने सौ पुरुषों और सौ महिलाओं से पूछा कि वे तीरंदाजी, मुक्केबाजी और साइक्लिंग में से कौन-सा खेल खेलना पसंद करते हैं, और प्राप्त डेटा को निम्नलिखित द्वि-मार्ग सारणी में संक्षेपित किया।

ऊपर दी गई सारणी को प्रेक्षित (observed) सारणी कहा जाता है क्योंकि इसमें प्रेक्षित गणनाएँ (counts) होती हैं।

स्वतंत्रता का काइ-स्क्वायर परीक्षण, प्रेक्षित गणनाओं की तुलना अपेक्षित (expected) गणनाओं से करके काम करता है। इसलिए, हमारा अगला कार्य प्रेक्षित सारणी से अपेक्षित गणनाएँ वाली अपेक्षित सारणी निकालना है। अपेक्षित सारणी वह है, जैसी हम द्वि-मार्ग सारणी को देखना अपेक्षा करते हैं यदि दोनों श्रेणीबद्ध चर स्वतंत्र हों। प्रायिकता सिद्धांत से हम जानते हैं कि दो घटनाएँ स्वतंत्र तब कही जाती हैं जब उनकी संयुक्त प्रायिकता, उनकी सीमांत प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर हो। हम प्रत्येक छह कोशिकाओं के लिए अपेक्षित गणना निकालने में इसी अवधारणा का उपयोग करेंगे। आइए पहली कोशिका की अपेक्षित गणना निकालें। सबसे पहले, हम संयुक्त प्रायिकता निकालेंगे: महिला होने की प्रायिकता (100/200) को तीरंदाजी पसंद करने की प्रायिकता (45/200) से गुणा करेंगे। संयुक्त प्रायिकता (100/200 * 45/200) मिलने के बाद, यदि हम इसे नमूना आकार (200) से गुणा करें तो हमें पहली कोशिका की अपेक्षित गणना 22.5 मिलेगी। इसी प्रकार, हम शेष पाँच कोशिकाओं की अपेक्षित गणनाएँ निकालेंगे। निम्नलिखित सारणी वह है जो हम देखना चाहेंगे यदि लिंग और खेल वरीयता स्वतंत्र हों।

अब जबकि हमारे पास अपेक्षित और प्रेक्षित दोनों गणनाएँ हैं, हमारा अगला कार्य यह जाँचना है कि प्रेक्षित गणनाएँ अपेक्षित गणनाओं से कितनी भिन्न हैं। इसके लिए, हमें एक परीक्षण सांख्यिकी गणना करनी होगी जिसे काइ-स्क्वायर परीक्षण सांख्यिकी कहा जाता है, क्योंकि यह काइ-स्क्वायर वितरण का अनुपालन करती है। काइ-स्क्वायर परीक्षण सांख्यिकी का मान निकालने का सूत्र निम्नलिखित है।

ऊपर दिए गए सूत्र से हम देख सकते हैं कि काइ-स्क्वायर परीक्षण सांख्यिकी का मान 0 हो सकता है (जब प्रेक्षित और अपेक्षित गणनाओं में बिल्कुल भी अंतर न हो) परंतु यह नकारात्मक नहीं हो सकता। यही कारण है कि स्वतंत्रता का काइ-स्क्वायर परीक्षण एक-पूंछ (one-tailed) परीक्षण है।

उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके आइए अपने उदाहरण के लिए काइ-स्क्वायर परीक्षण सांख्यिकी का मान निकालते हैं। इसे परीक्षण सांख्यिकी का प्रेक्षित मान कहा जाता है।

अब यह तय करने का समय है कि शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करना है या नहीं। हम निर्णय या तो परीक्षण सांख्यिकी के प्रेक्षित मान की तुलना उसके सन्निर्णायक (critical) मान से करके या p-मूल्य देखकर लेते हैं। यदि परीक्षण सांख्यिकी का प्रेक्षित मान उसके सन्निर्णायक मान से अधिक है या यदि p-मूल्य महत्व स्तर से कम या उसके बराबर है, तो हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार कर सकते हैं और निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दोनों श्रेणीबद्ध चर के बीच सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण संबंध है, अर्थात वे स्वतंत्र नहीं हैं। यदि हमें महत्व स्तर (आम तौर पर 0.05) और स्वतंत्रता की डिग्री (degrees of freedom) पता हो तो हम काइ-स्क्वायर सारणी से सन्निर्णायक मान प्राप्त कर सकते हैं। महत्व स्तर एक सत्य शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने की प्रायिकता है। r पंक्तियों और c स्तंभों वाली सारणी के लिए, स्वतंत्रता की डिग्री निम्नलिखित सूत्र से निकाली जा सकती है।

अतः, हमारे उदाहरण में स्वतंत्रता की डिग्री 2 है।

नीचे दी गई सारणी से हम देख सकते हैं कि महत्व स्तर 0.05 और स्वतंत्रता की डिग्री 2 के लिए परीक्षण सांख्यिकी का सन्निर्णायक मान 5.99 है।

चूँकि परीक्षण सांख्यिकी का प्रेक्षित मान उसके सन्निर्णायक मान से अधिक है (19.798 > 5.99), हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार कर सकते हैं और निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि खेल का चुनाव लिंग से स्वतंत्र नहीं है।

अब देखते हैं कि R प्रोग्रामिंग भाषा का उपयोग करके स्वतंत्रता का काइ-स्क्वायर परीक्षण कैसे करें

अंतर्निर्मित फ़ंक्शन chisq.test() का उपयोग करके स्वतंत्रता का काइ-स्क्वायर परीक्षण करना बहुत आसान है।

नीचे प्रेक्षित सारणी दी गई है।

observed_table <- matrix(c(35, 15, 50, 10, 30, 60), nrow = 2, ncol = 3, byrow = T)
rownames(observed_table) <- c('Female', 'Male')
colnames(observed_table) <- c('Archery', 'Boxing', 'Cycling')
observed_table

##        Archery Boxing Cycling
## Female      35     15      50
## Male        10     30      60

परीक्षण करने के लिए, हमें chisq.test() फ़ंक्शन को प्रेक्षित सारणी पर लागू करना होगा।

X <- chisq.test(observed_table)
X

##
##  Pearson's Chi-squared test
##
## data:  observed_table
## X-squared = 19.798, df = 2, p-value = 5.023e-05

ऊपर दिए गए परिणाम से हम देख सकते हैं कि p-मूल्य महत्व स्तर (0.05) से कम है। इसलिए, हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार कर सकते हैं और निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दोनों चर (लिंग और खेल वरीयता) स्वतंत्र नहीं हैं।

यदि हम अपेक्षित सारणी देखना चाहें, तो वह भी कर सकते हैं।

X$expected

##        Archery Boxing Cycling
## Female    22.5   22.5      55
## Male      22.5   22.5      55

आशा है आपको यह लेख पसंद आया होगा। यदि आप R में और सीखना चाहते हैं, तो DataCamp का Statistical Modeling in R (Part 1) पाठ्यक्रम देखें।