R kullanarak Bağıntı (Contingency) Analizi

Bağıntı analizi, iki kategorik değişkenin bağımsız olup olmadığını kontrol etmek için kullanılan bir hipotez testidir. Basitçe söylemek gerekirse, şu soruyu soruyoruz: "Bir değişkenin değerini, diğer değişkenin değerini biliyorsak tahmin edebilir miyiz?". Yanıt evet ise, ele alınan değişkenlerin bağımsız olmadığını söyleyebiliriz. Yanıt hayır ise, ele alınan değişkenlerin bağımsız olduğunu söyleyebiliriz. Test, bağıntı tablolarını kullandığı için 'Bağıntı Analizi' olarak bilinir. Ayrıca, test istatistiği kikare dağılımını izlediği ve test iki kategorik değişkenin bağımsız olup olmadığını kontrol etmek için kullanıldığından 'Kikare bağımsızlık testi' olarak da bilinir.

Testin sıfır hipotezi iki değişkenin bağımsız olduğu, alternatif hipotez ise iki değişkenin bağımsız olmadığıdır.

'Bağıntı Analizi'ni ya da 'Kikare bağımsızlık testi'ni bir örnek yardımıyla anlamaya çalışalım.

Diyelim ki spor seçiminin cinsiyetten bağımsız olup olmadığını bilmek istiyoruz. Bu yüzden, yüz erkek ve yüz kadına üç spor arasından (okçuluk, boks ve bisiklet) hangisini oynamayı tercih ettiklerini sorduk ve elde edilen verileri aşağıdaki iki yönlü tabloda özetledik.

Yukarıdaki tablo, gözlenen sayıları içerdiği için gözlem tablosu olarak bilinir.

Kikare bağımsızlık testi, gözlenen sayıları beklenen sayılarla karşılaştırarak çalışır. Bu nedenle, bir sonraki görevimiz gözlem tablosundan beklenen sayıları içeren beklenen tabloyu türetmektir. Beklenen tablo, eğer iki kategorik değişken bağımsız ise iki yönlü tablonun nasıl görünmesini beklediğimiz tablodur. Olasılık kuramından biliyoruz ki, iki olayın bağımsız olduğu, ortak olasılıklarının marjinal olasılıklarının çarpımına eşit olması durumunda söylenir. Her bir altı hücre için beklenen sayıları hesaplamak üzere bu kavramı kullanacağız. İlk hücre için beklenen sayıyı hesaplayalım. Önce, kadın olma olasılığını (100/200) okçuluğu tercih etme olasılığıyla (45/200) çarparak ortak olasılığı hesaplayacağız. Ortak olasılığı (100/200 * 45/200) bulduktan sonra, bunu örneklem büyüklüğüyle (200) çarparsak, ilk hücre için beklenen sayı olan 22,5’i elde ederiz. Benzer şekilde, kalan beş hücre için de beklenen sayıları hesaplayacağız. Aşağıdaki tablo, cinsiyet ve spor tercihi bağımsız ise görmek istediğimiz tablodur.

Artık elimizde beklenen ve gözlenen sayılar olduğuna göre, bir sonraki görevimiz gözlenen sayıların beklenen sayılardan ne kadar farklı olduğunu kontrol etmektir. Bunun için, kikare dağılımını izlediği için kikare test istatistiği olarak bilinen bir test istatistiği hesaplamamız gerekir. Aşağıda kikare test istatistiğinin değerini hesaplamak için kullanılan formül verilmiştir.

Yukarıdaki formülden, kikare test istatistiğinin değerinin 0 olabileceğini (gözlenen ve beklenen sayılar arasında hiçbir fark olmadığında) ancak asla negatif olamayacağını görebiliriz. Bu da Kikare bağımsızlık testini tek kuyruklu bir test yapar.

Yukarıdaki formülü kullanarak, örneğimiz için kikare test istatistiğinin değerini hesaplayalım. Buna test istatistiğinin gözlenen değeri denir.

Şimdi sıfır hipotezini reddedip reddetmeyeceğimize karar verme zamanı. Kararı, ya test istatistiğinin gözlenen değerini kritik değeriyle karşılaştırarak ya da p-değerine bakarak veririz. Eğer test istatistiğinin gözlenen değeri kritik değerini aşıyorsa veya p-değeri anlamlılık düzeyinden küçük ya da ona eşitse, sıfır hipotezini reddedebilir ve iki kategorik değişken arasında istatistiksel olarak anlamlı bir ilişki olduğunu, yani bağımsız olmadıklarını söyleyebiliriz. Anlamlılık düzeyini (genellikle 0,05) ve serbestlik derecelerini biliyorsak, kritik değeri kikare tablosundan alabiliriz. Anlamlılık düzeyi, doğru bir sıfır hipotezini reddetme olasılığıdır. r satır ve c sütundan oluşan bir tablo için serbestlik dereceleri aşağıdaki formülle hesaplanabilir.

Dolayısıyla, örneğimiz için serbestlik derecesi 2’dir.

Aşağıdaki tablodan, anlamlılık düzeyi 0,05 ve serbestlik derecesi 2 için test istatistiğinin kritik değerinin 5,99 olduğunu görebiliriz.

Test istatistiğinin gözlenen değeri kritik değerinden büyük olduğuna göre (19,798 > 5,99), sıfır hipotezini reddedebilir ve spor seçiminin cinsiyetten bağımsız olmadığını söyleyebiliriz.

Şimdi Kikare bağımsızlık testini R programlama diliyle nasıl uygulayacağımıza bakalım

Dahili chisq.test() fonksiyonunu kullanarak Kikare bağımsızlık testini gerçekleştirmek çok kolaydır.

Aşağıda gözlem tablosu yer almaktadır.

observed_table <- matrix(c(35, 15, 50, 10, 30, 60), nrow = 2, ncol = 3, byrow = T)
rownames(observed_table) <- c('Female', 'Male')
colnames(observed_table) <- c('Archery', 'Boxing', 'Cycling')
observed_table

##        Archery Boxing Cycling
## Female      35     15      50
## Male        10     30      60

Testi gerçekleştirmek için, chisq.test() fonksiyonunu gözlem tablosuna uygulamamız gerekir.

X <- chisq.test(observed_table)
X

##
##  Pearson's Chi-squared test
##
## data:  observed_table
## X-squared = 19.798, df = 2, p-value = 5.023e-05

Yukarıdaki sonuçtan, p-değerinin anlamlılık düzeyinden (0,05) küçük olduğunu görebiliriz. Bu nedenle, sıfır hipotezini reddedebilir ve iki değişkenin (cinsiyet ve spor tercihi) bağımsız olmadığını söyleyebiliriz.

Beklenen tabloyu görmek istersek, bunu da yapabiliriz.

X$expected

##        Archery Boxing Cycling
## Female    22.5   22.5      55
## Male      22.5   22.5      55

Umarım bu yazıyı beğenmişsinizdir. R konusunda daha fazla bilgi edinmek isterseniz, DataCamp'in R ile İstatistiksel Modellemenin Temelleri (Bölüm 1) kursuna göz atın.