电子表格中的马尔可夫分析教程

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现实中的商业系统具有很强的动态性。市场研究人员很难设计出能够包罗万象的概率模型。这意味着，随着业务流程的演进，研究人员需要更复杂的模型来理解客户行为。用于描述随时间推移而演化的业务流程的概率模型称为随机过程。随机过程用于描述一段时间内的消费者行为。马尔可夫链是执行随机过程的一种技术，它基于当前状态来预测客户的未来状态。

马尔可夫分析技术以俄罗斯数学家安德烈·安德烈耶维奇·马尔可夫命名，他引入了对随机过程的研究，即涉及机遇运行的过程（来源）。这种分析有助于生成一系列新的、随机但相关的事件，使其看起来与原始序列相似。它对于分析相互依赖的随机事件很有用，即仅取决于上一次发生情况的事件。马尔可夫分析是一种概率技术，通过对各种结果给出概率性的描述，帮助进行决策。

什么是马尔可夫分析？

马尔可夫模型是一种基于随机性的模型，用于刻画随机变化的系统。它假设未来事件只取决于当前事件，而不取决于过去事件。该模型为决策提供未来事件的概率。

马尔可夫模型的假设：

• 从某一状态转移到所有其他状态的概率之和为 1。
• 这些概率适用于系统中的所有参与者。
• 这些概率随时间保持不变；以及
• 各状态在时间上相互独立。

您有一组状态 S= {S_1, S_2, S_3……S_r }。过程从其中一个状态开始，并依次从一个状态转到另一个状态。如果系统当前处于 Si，那么下一步以概率 Pij 转移到状态 Sj，且该概率不取决于当前状态之前系统所处的状态。

来源：https://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/Chapter11.pdf

术语

• 随机过程（Stochastic Processes）：处理由某个指标集索引的一组随机变量，以便研究系统的动态。

• 独立事件（Independent Events）：理解独立事件的一个好方法是抛硬币的例子。每次抛硬币都不记得上一次的结果。正反面的序列彼此无关，因此它们是独立事件。

• 相关事件（Dependents Events）：如果一个事件的结果会影响另一个事件的结果，则称这两个事件相互依赖。

• 随机变量（Random Variables）：其取值取决于随机试验/现象结果的变量。

• 稳态概率（Steady-State Probabilities）：随着马尔可夫过程的持续进行，系统在大量时期后处于某一特定状态的概率与系统起始状态无关。经过若干次转移后得到的这些概率称为稳态概率。

来源：David R. Anderson、Dennis J. Sweeney、Thomas A. Williams、Jeffrey D. Camm、R. Kipp Martin 著《管理科学导论：决策的定量方法》

马尔可夫分析示例

我们来分析 Murphy’s Foodliner 和 Ashley’s Supermarket 两家杂货店的市场份额与客户忠诚度。我们的主要关注点是检查客户的购物行程序列。您可以假设客户每周只能去一次 Murphy’s Foodline 或 Ashley’s Supermarket 购物，不能两者兼去。

使用马尔可夫过程的术语，您可以将每周的时期或购物行程视为该过程的试验。在每次试验中，客户可以选择在 Murphy’s Foodliner 或 Ashley’s Supermarket 购物。某一周选定的具体商店称为该周系统的状态，因为在每次试验中，客户都有两个购物选项或状态。由于状态数量有限，您可以如下标识这些状态：

• 状态 1：客户在 Murphy’s Foodliner 购物。

• 状态 2：客户在 Ashley’s Supermarket 购物。给定的转移概率如下：

同理，

因此，两周后 Murphy’s 的概率可以通过将当前状态概率矩阵与转移概率矩阵相乘来计算，从而得到下一状态的概率。

一般化公式：

其中 P1、P2、…、Pr 表示过程状态中的系统概率，n 表示状态。

来源：David R. Anderson、Dennis J. Sweeney、Thomas A. Williams、Jeffrey D. Camm、R. Kipp Martin 著《管理科学导论：决策的定量方法》

在电子表格中进行马尔可夫分析

我们用 Microsoft Excel 来解决同样的问题——

步骤 1：假设一开始有些客户在 Murphy’s 购物，有些在 Ashley’s 购物。这可以用单位矩阵来表示，因为在 Murphy’s 的客户不可能同时在 Ashley’s，反之亦然。

步骤 2：同时创建一个转移概率矩阵的表。

步骤 3：现在，您想要计算第一期在两家商店的概率：首先，设计一张需要计算数值的表：

步骤 4：现在，计算从最初为 Murphy’s 客户开始的未来各期的状态概率。可以使用 Excel 函数 =MMULT(array1, array2) 来计算。为使用该函数，先选中 Murphy’s 客户表中第 1 周后的两个单元格。

输入公式后，合上括号，同时按下 Control+Shift+Enter。随后您将看到概率值。

步骤 5：在已计算状态 1 与第 1 周概率的基础上，以同样方式计算状态 2。唯一改变的是当前状态概率。将第 1 周的概率用于计算未来状态概率。

现在，您可以直接从 Murphy’s 和 Ashley’s 的周单元格复制公式，并粘贴到您需要的期间。

如果您从 1000 名 Murphy 客户开始——也就是说，最近一次在 Murphy’s 购物的 1000 名客户——我们的分析表明，在第 5 个每周购物期，预计有 723 名客户会去 Murphy’s，277 名客户会去 Ashley’s。而在第 10 个购物期，预计有 676 名客户会去 Murphy’s，324 名客户会去 Ashley’s。

来源：David R. Anderson、Dennis J. Sweeney、Thomas A. Williams、Jeffrey D. Camm、R. Kipp Martin 著《管理科学导论：决策的定量方法》

步骤 6：同样地，现在计算从最初为 Murphy’s 客户开始的未来各期状态概率。

第 1 周：

第 2 周：

将第 2 周的公式向后拖拽到您需要的期间。

在第 5 个购物期，客户在 Murphy’s 购物的概率为 0.555，在 Ashley’s 购物的概率为 0.445。在第 10 个购物期，客户在 Murphy’s 购物的概率为 0.648，在 Ashley’s 购物的概率为 0.352。

来源：David R. Anderson、Dennis J. Sweeney、Thomas A. Williams、Jeffrey D. Camm、R. Kipp Martin 著《管理科学导论：决策的定量方法》

您还可以通过图形查看，最近一次在 Murphy’s 购物的客户中，Murphy’s 的份额如何下降而 Ashley’s 的份额如何上升。

优缺点

优点：

• 由于其分析性，具有速度快、准确度高的优势。
• 与蒙特卡罗模拟相比更快且更精确。
• 马尔可夫模型相对容易根据连续数据推导。
• 转移矩阵汇总了动态变化的所有关键参数。
• 能够深入洞察系统随时间的变化。

缺点：

• 马尔可夫性质的假设可能不适用于被建模的系统，因此需要谨慎进行模型设计。
• 客户可随时进入或离开市场，因此市场从未真正稳定。
• 在缺少早期结果信息的情况下，马尔可夫分析无法预测未来结果。

结论

恭喜您读到本教程的最后！

在本教程中，您系统了解了马尔可夫分析的诸多细节。您学习了什么是马尔可夫分析、马尔可夫分析中使用的术语、马尔可夫分析的示例，以及如何在电子表格中求解马尔可夫分析示例，并讨论了其优缺点。

希望您现在能够在营销分析中运用马尔可夫分析的相关概念。感谢您的阅读！

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