स्प्रेडशीट्स में मार्कोव विश्लेषण ट्यूटोरियल

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वास्तविक जीवन के व्यावसायिक तंत्र बहुत गतिशील होते हैं। मार्केट शोधकर्ताओं के लिए ऐसा प्रायिकतामूलक मॉडल बनाना सरल नहीं है जो सब कुछ समेट ले। इसका अर्थ है कि ग्राहक व्यवहार को समझने के लिए, जैसे-जैसे व्यवसाय विकसित होता है, शोधकर्ता को अधिक परिष्कृत मॉडल की आवश्यकता होती है। समय के साथ बढ़ने वाली व्यावसायिक प्रक्रिया के लिए प्रायिकता मॉडल को स्टोकेस्टिक प्रक्रिया कहा जाता है। स्टोकेस्टिक प्रक्रिया समय के साथ उपभोक्ता के व्यवहार का वर्णन करती है। मार्कोव चेन ऐसी ही एक तकनीक है जो वर्तमान अवस्था के आधार पर ग्राहक की भविष्य की अवस्था का पूर्वानुमान लगाने हेतु स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को अंजाम देती है।

मार्कोव विश्लेषण तकनीक का नाम रूसी गणितज्ञ Andrei Andreyevich Markov के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का अध्ययन प्रस्तुत किया—ऐसी प्रक्रियाएँ जिनमें संयोग का संचालन शामिल होता है (स्रोत)। यह विश्लेषण यादृच्छिक किंतु संबंधित घटनाओं की एक नई शृंखला उत्पन्न करने में सहायक होता है, जो मूल जैसी दिखेगी। यह परस्पर निर्भर यादृच्छिक घटनाओं का विश्लेषण करने में उपयोगी है, यानी ऐसी घटनाएँ जो केवल पिछली घटित घटना पर निर्भर करती हैं। मार्कोव विश्लेषण एक प्रायिकतामूलक तकनीक है जो विभिन्न परिणामों का प्रायिकतात्मक विवरण देकर निर्णय-निर्माण में सहायता करती है।

Markov Analysis क्या है?

मार्कोव मॉडल एक स्टोकेस्टिक आधारित मॉडल है जो यादृच्छिक रूप से बदलती प्रणालियों को मॉडल करने में प्रयुक्त होता है। यह मानता है कि भविष्य की घटनाएँ केवल वर्तमान घटना पर निर्भर करेंगी, अतीत पर नहीं। इसका परिणाम निर्णय लेने हेतु भविष्य की घटनाओं की प्रायिकताओं के रूप में मिलता है।

मार्कोव मॉडल की मान्यताएँ:

• किसी एक अवस्था से सभी अन्य अवस्थाओं में जाने की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
• प्रायिकताएँ प्रणाली के सभी प्रतिभागियों पर लागू होती हैं।
• प्रायिकताएँ समय के साथ स्थिर रहती हैं, और
• अवस्थाएँ समय के साथ स्वतंत्र रहती हैं।

आपके पास अवस्थाओं का एक समूह S = {S_1, S_2, S_3…….S_r } है। प्रक्रिया इनमें से किसी एक अवस्था से शुरू होती है और क्रमशः एक अवस्था से दूसरी अवस्था में चलती है। यदि प्रणाली वर्तमान में Si पर है, तो अगले चरण में वह Sj अवस्था में Pij प्रायिकता के साथ जाएगी, और यह प्रायिकता इस पर निर्भर नहीं करती कि वर्तमान अवस्था से पहले प्रणाली किस अवस्था में थी।

Source: https://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/Chapter11.pdf

शब्दावली

• स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएँ: यह यादृच्छिक चरों के ऐसे समुच्चय से संबंधित है जो किसी सेट द्वारा इंडेक्स किए गए होते हैं, ताकि आप तंत्र की गतिशीलता का अध्ययन कर सकें।

• स्वतंत्र घटनाएँ: इसे समझने का एक अच्छा तरीका सिक्का उछालने का उदाहरण है—हर बार सिक्का उछालने पर उसे पिछली घटना की कोई स्मृति नहीं होती। हेड और टेल का क्रम परस्पर संबंधित नहीं होता; अतः वे स्वतंत्र घटनाएँ हैं।

• निर्भर घटनाएँ: दो घटनाएँ निर्भर कही जाती हैं यदि पहली घटना का परिणाम दूसरी घटना के परिणाम को प्रभावित करता है।

• यादृच्छिक चर: ऐसा चर जिसका मान किसी यादृच्छिक प्रयोग/प्रपंच के परिणाम पर निर्भर करता है।

• स्थिर-अवस्था प्रायिकताएँ: जैसे-जैसे आप मार्कोव प्रक्रिया को आगे बढ़ाते हैं, आप पाएँगे कि बड़ी संख्या में अवधियों के बाद प्रणाली के किसी विशेष अवस्था में होने की प्रायिकता, प्रणाली की प्रारंभिक अवस्था से स्वतंत्र हो जाती है। कई संक्रमणों के बाद जो प्रायिकताएँ प्राप्त होती हैं, उन्हें स्थिर-अवस्था प्रायिकताएँ कहा जाता है।

स्रोत: An Introduction to Management Science Quantitative Approaches to Decision Making By David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams, Jeffrey D. Camm, R. Kipp Martin

मार्कोव विश्लेषण का उदाहरण

आइए Murphy's Foodliner और Ashley's Supermarket किराना स्टोर के लिए बाज़ार हिस्सेदारी और ग्राहक वफ़ादारी का विश्लेषण करें। हमारा प्राथमिक ध्यान किसी ग्राहक की खरीदारी यात्राओं के क्रम की जाँच करना है। आप मान सकते हैं कि ग्राहक प्रति सप्ताह एक खरीदारी यात्रा या तो Murphy's Foodliner या Ashley's Supermarket में कर सकते हैं, दोनों में नहीं।

मार्कोव प्रक्रियाओं की शब्दावली का उपयोग करते हुए, आप साप्ताहिक अवधियों या खरीदारी यात्राओं को प्रक्रिया के ट्रायल्स कहते हैं। प्रत्येक ट्रायल में, ग्राहक या तो Murphy’s Foodliner या Ashley’s Supermarket में खरीदारी कर सकता है। किसी दिए गए सप्ताह में चुना गया विशेष स्टोर उस सप्ताह में प्रणाली की अवस्था कहलाता है, क्योंकि हर ट्रायल में ग्राहक के पास दो विकल्प या अवस्थाएँ होती हैं। सीमित संख्या की अवस्थाओं के साथ, आप अवस्थाओं की पहचान इस प्रकार कर सकते हैं:

• अवस्था 1: ग्राहक Murphy’s Foodliner में खरीदारी करता है।

• अवस्था 2: ग्राहक Ashley’s Supermarket में खरीदारी करता है। दी गई संक्रमण प्रायिकताएँ हैं:

इसी प्रकार,

अतः, दो सप्ताह बाद Murphy’s की प्रायिकता वर्तमान अवस्था प्रायिकताओं के मैट्रिक्स को संक्रमण प्रायिकताओं के मैट्रिक्स से गुणा करके निकाली जा सकती है, ताकि अगली अवस्था की प्रायिकताएँ मिलें।

सामान्यीकृत सूत्र:

जहाँ P1, P2, …, Pr प्रक्रिया अवस्था की प्रणाली प्रायिकताओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, और n अवस्था को दर्शाता है।

स्रोत: An Introduction to Management Science Quantitative Approaches to Decision Making By David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams, Jeffrey D. Camm, R. Kipp Martin

स्प्रेडशीट्स में मार्कोव विश्लेषण करना

आइए यही समस्या Microsoft Excel का उपयोग करके हल करें –

चरण 1: मान लें शुरुआत में कुछ ग्राहकों ने Murphy’s से और कुछ ने Ashley’s से खरीदारी की। इसे आइडेंटिटी मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है क्योंकि जो ग्राहक Murphy’s पर थे, वे एक ही समय में Ashley’s पर भी हो सकते हैं और इसके विपरीत।

चरण 2: संक्रमण प्रायिकताओं के मैट्रिक्स के लिए एक तालिका भी बनाएँ।

चरण 3: अब, आप प्रथम अवधि में दोनों स्टोर्स पर प्रायिकताएँ जानना चाहते हैं: पहले, वह तालिका डिज़ाइन करें जहाँ आप मानों की गणना करना चाहते हैं:

चरण 4: अब, शुरुआती रूप से Murphy’s के ग्राहक से शुरू करते हुए भविष्य की अवधियों के लिए अवस्था प्रायिकताएँ गणना करें। प्रायिकताएँ Excel फ़ंक्शन =MMULT(array1, array2) से निकाली जा सकती हैं। इसका उपयोग करने के लिए, पहले Murphy’s ग्राहक तालिका में सप्ताह 1 के बाद वाली दोनों कोशिकाएँ चुनें।

सूत्र लगाने के बाद, ब्रैकेट बंद करें और एक साथ Control+Shift+Enter दबाएँ। तब आप प्रायिकता के मान देखेंगे।

चरण 5: जैसा कि आपने अवस्था 1 और सप्ताह 1 पर प्रायिकताएँ गणना कर ली हैं, अब इसी तरह अवस्था 2 के लिए भी गणना करें। केवल वर्तमान अवस्था प्रायिकताएँ बदलेंगी। भविष्य की अवस्था प्रायिकताओं की गणना हेतु सप्ताह 1 की प्रायिकताओं पर विचार किया जाएगा।

अब आप Murphy’s और Ashley’s के सप्ताह वाले कक्षों से सूत्र को कॉपी करके उतनी अवधियों तक पेस्ट कर सकते हैं जितनी आपको चाहिए।

यदि आपने 1000 Murphy ग्राहकों से शुरुआत की होती—अर्थात 1000 ग्राहक जिन्होंने आखिरी बार Murphy’s पर खरीदारी की—तो हमारे विश्लेषण के अनुसार पाँचवीं साप्ताहिक खरीदारी अवधि के दौरान 723 संभावित ग्राहक Murphy’s के होंगे, और 277 संभावित ग्राहक Ashley’s के। इसी प्रकार, दसवीं साप्ताहिक खरीदारी अवधि के दौरान 676 संभावित ग्राहक Murphy’s के होंगे, और 324 संभावित ग्राहक Ashley’s के।

स्रोत: An Introduction to Management Science Quantitative Approaches to Decision Making By David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams, Jeffrey D. Camm, R. Kipp Martin

चरण 6: इसी प्रकार, अब शुरुआती रूप से Murphy’s के ग्राहक से शुरू करते हुए भविष्य की अवधियों के लिए अवस्था प्रायिकताएँ गणना करें।

सप्ताह 1 के लिए:

सप्ताह 2 के लिए:

सप्ताह 2 वाले सूत्र को खींचकर उतनी अवधियों तक ले जाएँ जितनी आपको चाहिए।

पाँचवीं खरीदारी अवधि में, ग्राहक के Murphy’s पर खरीदारी करने की प्रायिकता 0.555 है, और Ashley’s पर खरीदारी करने की प्रायिकता 0.445 है। दसवीं अवधि में, ग्राहक के Murphy’s पर खरीदारी करने की प्रायिकता 0.648 है, और Ashley’s पर 0.352।

स्रोत: An Introduction to Management Science Quantitative Approaches to Decision Making By David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams, Jeffrey D. Camm, R. Kipp Martin

आप यह भी ग्राफ़िक रूप से देख सकते हैं कि Murphy’s पर हिस्सेदारी कैसे घट रही है और Ashley’s पर कैसे बढ़ रही है, उन ग्राहकों के लिए जिन्होंने आखिरी बार Murphy’s पर खरीदारी की थी।

फायदे और सीमाएँ

फायदे:

• अपनी विश्लेषणात्मक प्रकृति के कारण यह गति और शुद्धता दोनों में लाभ देता है।
• यह Monte-Carlo Simulation की तुलना में तेज़ और अधिक सटीक है।
• मार्कोव मॉडल उत्तराधिकारात्मक आँकड़ों से अपेक्षाकृत आसानी से निकाला जा सकता है।
• ट्रांज़िशन मैट्रिक्स गतिशील परिवर्तन के सभी आवश्यक मानकों का संक्षेप करता है।
• यह समय के साथ प्रणाली में होने वाले परिवर्तनों की गहरी समझ देता है।

सीमाएँ:

• मार्कोव गुण की मान्यताएँ मॉडल की जा रही प्रणाली के लिए अमान्य हो सकती हैं; इसलिए मॉडल का सावधानीपूर्वक डिज़ाइन आवश्यक है।
• ग्राहक किसी भी समय बाज़ार में आ-जा सकता है, अतः बाज़ार कभी स्थिर नहीं रहता।
• जहाँ पहले के परिणामों की जानकारी अनुपलब्ध हो, वहाँ मार्कोव विश्लेषण भविष्य के परिणामों का पूर्वानुमान नहीं कर सकता।

निष्कर्ष

बधाई हो, आप इस ट्यूटोरियल के अंत तक पहुँच गए हैं!

इस ट्यूटोरियल में आपने मार्कोव विश्लेषण के बारे में कई विवरण कवर किए। आपने सीखा कि मार्कोव विश्लेषण क्या है, इसमें प्रयुक्त शब्दावली क्या है, इसके उदाहरण क्या हैं, और स्प्रेडशीट्स में मार्कोव विश्लेषण के उदाहरण कैसे हल करें। साथ ही इसके फायदे और सीमाएँ भी चर्चा कीं।

उम्मीद है, अब आप मार्केटिंग एनालिटिक्स में मार्कोव विश्लेषण की अवधारणाओं का उपयोग कर पाएँगे। इस ट्यूटोरियल को पढ़ने के लिए धन्यवाद!

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