Tutorial sull’analisi di Markov nei fogli di calcolo

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I sistemi aziendali reali sono molto dinamici per natura. Non è semplice per i ricercatori di mercato progettare un modello probabilistico che riesca a catturare tutto. Significa che il ricercatore ha bisogno di modelli più sofisticati per comprendere il comportamento dei clienti man mano che un processo aziendale evolve. Un modello di probabilità per un processo aziendale che cresce nel tempo è chiamato processo stocastico. Il processo stocastico descrive il comportamento dei consumatori nel tempo. La catena di Markov è una delle tecniche per eseguire un processo stocastico basata sullo stato presente per prevedere lo stato futuro del cliente.

La tecnica dell’analisi di Markov prende il nome dal matematico russo Andrei Andreyevich Markov, che introdusse lo studio dei processi stocastici, ovvero processi che coinvolgono l’operare del caso (Fonte). Questa analisi aiuta a generare una nuova sequenza di eventi casuali ma correlati, che sembrerà simile all’originale. È utile nell’analizzare eventi casuali dipendenti, cioè eventi che dipendono solo da ciò che è accaduto per ultimo. L’analisi di Markov è una tecnica probabilistica che aiuta nel processo decisionale fornendo una descrizione probabilistica di vari esiti.

Che cos’è l’analisi di Markov?

Il modello di Markov è un modello basato sulla stocasticità utilizzato per modellare sistemi che cambiano in modo casuale. Presuppone che gli eventi futuri dipendano solo dall’evento presente, non da quello passato. Ne risultano probabilità dell’evento futuro utili per il decision making.

Assunzioni del modello di Markov:

• La somma delle probabilità di passare da uno stato a tutti gli altri è pari a uno.
• Le probabilità si applicano a tutti i partecipanti al sistema.
• Le probabilità sono costanti nel tempo, e
• Gli stati sono indipendenti nel tempo.

Hai un insieme di stati S= {S_1, S_2, S_3…….S_r }. Il processo inizia in uno di questi stati e si sposta successivamente da uno stato all’altro. Se il sistema è attualmente in Si, allora passa allo stato Sj al passo successivo con una probabilità Pij, e questa probabilità non dipende da in quale stato si trovasse il sistema prima dello stato attuale.

Fonte: https://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/Chapter11.pdf

Terminologia

• Processi stocastici: Trattano la collezione di variabili casuali indicizzate da un insieme, in modo da poter studiare la dinamica del sistema.

• Eventi indipendenti: Uno dei modi migliori per capirlo è con l’esempio del lancio di una moneta: ogni volta che lanci una moneta, non ha memoria di ciò che è accaduto prima. La sequenza di testa e croce non è interrelata; quindi, sono eventi indipendenti.

• Eventi dipendenti: Due eventi si dicono dipendenti se l’esito del primo evento influisce sull’esito di un altro evento.

• Variabili casuali: Una variabile il cui valore dipende dall’esito di un esperimento/fenomeno casuale.

• Probabilità di stato stazionario: Proseguendo il processo di Markov, si scopre che la probabilità che il sistema si trovi in un determinato stato dopo un gran numero di periodi è indipendente dallo stato iniziale del sistema. Le probabilità che trovi dopo diverse transizioni sono note come probabilità di stato stazionario.

Fonte: An Introduction to Management Science Quantitative Approaches to Decision Making di David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams, Jeffrey D. Camm, R. Kipp Martin

Esempio di analisi di Markov

Analizziamo la quota di mercato e la fedeltà dei clienti per i supermercati Murphy’s Foodliner e Ashley’s Supermarket. Il nostro obiettivo principale è verificare la sequenza dei viaggi per fare la spesa di un cliente. Puoi assumere che i clienti possano fare un viaggio alla settimana per fare la spesa da Murphy’s Foodliner o da Ashley’s Supermarket, ma non da entrambi.

Usando la terminologia dei processi di Markov, ti riferisci ai periodi settimanali o ai viaggi per la spesa come alle prove del processo. In ogni prova, il cliente può fare acquisti da Murphy’s Foodliner o da Ashley’s Supermarket. Il negozio particolare scelto in una data settimana è noto come lo stato del sistema in quella settimana, perché il cliente ha due opzioni o stati per fare acquisti in ogni prova. Con un numero finito di stati, puoi identificare gli stati come segue:

• Stato 1: Il cliente fa acquisti da Murphy’s Foodliner.

• Stato 2: Il cliente fa acquisti da Ashley’s Supermarket. Le probabilità di transizione date sono:

Allo stesso modo,

Quindi, la probabilità per Murphy’s dopo due settimane può essere calcolata moltiplicando la matrice delle probabilità dello stato attuale con la matrice delle probabilità di transizione per ottenere le probabilità per lo stato successivo.

Formula generalizzata:

Dove P1, P2, …, Pr rappresentano le probabilità degli stati del sistema nel processo e n indica lo stato.

Fonte: An Introduction to Management Science Quantitative Approaches to Decision Making di David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams, Jeffrey D. Camm, R. Kipp Martin

Eseguire l’analisi di Markov nei fogli di calcolo

Risolvamo lo stesso problema usando Microsoft Excel –

Passo 1: Diciamo che all’inizio alcuni clienti hanno fatto acquisti da Murphy’s e alcuni da Ashley’s. Questo può essere rappresentato dalla matrice identità perché i clienti che erano da Murphy’s non possono essere contemporaneamente da Ashley’s e viceversa.

Passo 2: Creiamo anche una tabella per la matrice delle probabilità di transizione.

Passo 3: Ora vuoi le probabilità in entrambi i negozi nel primo periodo: per prima cosa, progettiamo una tabella dove vuoi che i valori vengano calcolati:

Passo 4: Ora calcoliamo le probabilità di stato per i periodi futuri iniziando inizialmente con un cliente di Murphy’s. Le probabilità possono essere calcolate usando la funzione di Excel =MMULT(array1, array2). Per usarla, seleziona prima entrambe le celle nella tabella dei clienti di Murphy’s alla settimana 1.

Dopo aver applicato questa formula, chiudi la parentesi della formula e premi Control+Shift+Enter insieme. Vedrai così i valori delle probabilità.

Passo 5: Avendo calcolato le probabilità allo stato 1 e alla settimana 1, ora in modo analogo calcoliamo per lo stato 2. L’unica cosa che cambierà sono le probabilità dello stato corrente. Le probabilità della settimana uno saranno considerate per calcolare le probabilità degli stati futuri.

Ora puoi semplicemente copiare la formula dalle celle della settimana per Murphy’s e Ashley’s e incollarla nelle celle fino al periodo desiderato.

Se avessi iniziato con 1000 clienti di Murphy—cioè 1000 clienti che hanno fatto acquisti per ultimi da Murphy’s—la nostra analisi indica che durante il quinto periodo settimanale di spesa, 723 sarebbero clienti di Murphy’s e 277 sarebbero clienti di Ashley’s. Inoltre, durante il decimo periodo settimanale di spesa, 676 sarebbero clienti di Murphy’s e 324 sarebbero clienti di Ashley’s.

Fonte: An Introduction to Management Science Quantitative Approaches to Decision Making di David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams, Jeffrey D. Camm, R. Kipp Martin

Passo 6: Analogamente, ora calcoliamo le probabilità di stato per i periodi futuri iniziando inizialmente con un cliente di Murphy’s.

Per la settimana 1:

Per la settimana 2:

Trascina semplicemente la formula dalla settimana 2 fino al periodo desiderato.

Nel quinto periodo di spesa, la probabilità che il cliente faccia acquisti da Murphy’s è 0,555 e la probabilità che faccia acquisti da Ashley’s è 0,445. Nel decimo periodo, la probabilità che un cliente faccia acquisti da Murphy’s è 0,648 e la probabilità che faccia acquisti da Ashley’s è 0,352.

Fonte: An Introduction to Management Science Quantitative Approaches to Decision Making di David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams, Jeffrey D. Camm, R. Kipp Martin

Puoi anche vedere graficamente come la quota stia scendendo per Murphy’s e aumentando per Ashley’s tra i clienti che hanno fatto acquisti per ultimi da Murphy’s.

Pro e contro

Pro:

• Ha il vantaggio di velocità e accuratezza grazie alla sua natura analitica.
• È anche più veloce e più accurato rispetto alla simulazione Monte Carlo.
• Il modello di Markov è relativamente facile da derivare da dati successionali.
• La matrice di transizione riassume tutti i parametri essenziali del cambiamento dinamico.
• Fornisce una comprensione approfondita dei cambiamenti del sistema nel tempo.

Contro:

• Le assunzioni della proprietà di Markov possono non essere valide per il sistema modellato; per questo richiede un’attenta progettazione del modello.
• Il cliente può entrare e uscire dal mercato in qualsiasi momento e quindi il mercato non è mai stabile.
• L’analisi di Markov non può prevedere esiti futuri in una situazione in cui mancavano informazioni sull’esito precedente.

Conclusione

Congratulazioni, sei arrivato alla fine di questo tutorial!

In questo tutorial, hai coperto molti dettagli sull’analisi di Markov. Hai imparato cos’è l’analisi di Markov, la terminologia usata nell’analisi di Markov, esempi di analisi di Markov e come risolvere esempi di analisi di Markov nei fogli di calcolo. Abbiamo anche discusso pro e contro.

Si spera che ora tu possa utilizzare i concetti dell’analisi di Markov nel marketing analytics. Grazie per aver letto questo tutorial!

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