Markov-Analyse in Tabellenkalkulationen: Tutorial

Wenn du mehr über Tabellenkalkulationen lernen möchtest, belege den Kurs Introduction to Statistics in Spreadsheets von DataCamp.

Reale Geschäftssysteme sind sehr dynamisch. Es ist für Marktforschende nicht leicht, ein probabilistisches Modell zu entwerfen, das alles abbildet. Das heißt, sie brauchen ausgefeiltere Modelle, um das Kundenverhalten zu verstehen, während sich ein Geschäftsprozess weiterentwickelt. Ein Wahrscheinlichkeitsmodell für einen Geschäftsprozess, der sich über die Zeit entwickelt, heißt stochastischer Prozess. Der stochastische Prozess beschreibt das Kundenverhalten über einen Zeitraum. Die Markov-Kette ist eine Technik, um einen stochastischen Prozess durchzuführen, der auf dem aktuellen Zustand basiert, um den zukünftigen Zustand des Kunden vorherzusagen.

Die Markov-Analyse ist nach dem russischen Mathematiker Andrei Andrejewitsch Markov benannt, der die Untersuchung stochastischer Prozesse einführte – Prozesse, bei denen der Zufall eine Rolle spielt (Quelle). Diese Analyse hilft, eine neue Abfolge zufälliger, aber zusammenhängender Ereignisse zu generieren, die dem Original ähnlich aussieht. Sie ist nützlich, um abhängige Zufallsereignisse zu analysieren, also Ereignisse, die nur davon abhängen, was zuletzt passiert ist. Die Markov-Analyse ist eine probabilistische Technik, die bei der Entscheidungsfindung hilft, indem sie eine Wahrscheinlichkeitsbeschreibung verschiedener Ergebnisse liefert.

Was ist Markov-Analyse?

Ein Markov-Modell ist ein stochastikbasiertes Modell zur Abbildung zufällig veränderlicher Systeme. Es nimmt an, dass zukünftige Ereignisse nur vom aktuellen Ereignis abhängen, nicht von der Vergangenheit. Das führt zu Wahrscheinlichkeiten für zukünftige Ereignisse, die bei Entscheidungen helfen.

Annahmen des Markov-Modells:

• Die Wahrscheinlichkeiten, von einem Zustand in alle anderen überzugehen, summieren sich zu eins.
• Die Wahrscheinlichkeiten gelten für alle Teilnehmenden im System.
• Die Wahrscheinlichkeiten sind über die Zeit konstant, und
• Die Zustände sind über die Zeit unabhängig.

Es gibt eine Menge von Zuständen S = {S_1, S_2, S_3 ……. S_r}. Der Prozess startet in einem dieser Zustände und wechselt nacheinander von einem Zustand in den nächsten. Befindet sich das System aktuell in Si, dann wechselt es im nächsten Schritt mit der Wahrscheinlichkeit Pij in den Zustand Sj, und diese Wahrscheinlichkeit hängt nicht davon ab, in welchem Zustand sich das System vor dem aktuellen Zustand befand.

Quelle: https://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/Chapter11.pdf

Begriffe

• Stochastische Prozesse: Sammlung von Zufallsvariablen, indiziert durch eine Menge, um die Dynamik eines Systems zu untersuchen.

• Unabhängige Ereignisse: Ein gutes Beispiel ist das Werfen einer Münze. Jede Münze hat kein Gedächtnis an das letzte Ergebnis. Die Abfolge von Kopf und Zahl ist nicht miteinander verknüpft; daher sind es unabhängige Ereignisse.

• Abhängige Ereignisse: Zwei Ereignisse sind abhängig, wenn das Ergebnis des ersten Ereignisses das Ergebnis eines anderen Ereignisses beeinflusst.

• Zufallsvariablen: Eine Variable, deren Wert vom Ergebnis eines Zufallsexperiments bzw. -phänomens abhängt.

• Gleichgewichts- bzw. stationäre Wahrscheinlichkeiten: Setzt du den Markov-Prozess fort, zeigt sich, dass die Wahrscheinlichkeit, nach vielen Perioden in einem bestimmten Zustand zu sein, unabhängig vom Anfangszustand ist. Die Wahrscheinlichkeiten nach mehreren Übergängen heißen stationäre Wahrscheinlichkeiten.

Quelle: An Introduction to Management Science Quantitative Approaches to Decision Making By David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams, Jeffrey D. Camm, R. Kipp Martin

Beispiel für eine Markov-Analyse

Analysieren wir Marktanteile und Kundentreue für die Supermärkte Murphy’s Foodliner und Ashley’s Supermarket. Unser Hauptaugenmerk liegt auf der Reihenfolge der Einkaufstouren eines Kunden. Du kannst annehmen, dass Kundinnen und Kunden pro Woche eine Einkaufstour entweder zu Murphy’s Foodliner oder zu Ashley’s Supermarket machen, aber nicht zu beiden.

In der Terminologie der Markov-Prozesse bezeichnest du die Wochen bzw. Einkaufstouren als Durchläufe des Prozesses. In jedem Durchlauf kann der Kunde entweder bei Murphy’s Foodliner oder bei Ashley’s Supermarket einkaufen. Der in einer bestimmten Woche gewählte Laden ist der Zustand des Systems in dieser Woche, da der Kunde in jedem Durchlauf zwei Optionen bzw. Zustände hat. Bei einer endlichen Anzahl von Zuständen kannst du sie wie folgt festlegen:

• Zustand 1: Der Kunde kauft bei Murphy’s Foodliner ein.

• Zustand 2: Der Kunde kauft bei Ashley’s Supermarket ein. Die gegebenen Übergangswahrscheinlichkeiten sind:

Ebenso gilt:

Die Wahrscheinlichkeit für Murphy’s nach zwei Wochen lässt sich berechnen, indem du die Matrix der aktuellen Zustandswahrscheinlichkeiten mit der Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix multiplizierst, um die Wahrscheinlichkeiten für den nächsten Zustand zu erhalten.

Allgemeine Formel:

Wobei P1, P2, …, Pr die Wahrscheinlichkeiten der Systemzustände im Prozess darstellen und n den Zeitraum bzw. Zustandsschritt angibt.

Quelle: An Introduction to Management Science Quantitative Approaches to Decision Making By David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams, Jeffrey D. Camm, R. Kipp Martin

Markov-Analyse in Tabellenkalkulationen durchführen

Lass uns dasselbe Problem in Microsoft Excel lösen –

Schritt 1: Angenommen, zu Beginn kauften einige Kunden bei Murphy’s und einige bei Ashley’s ein. Das kann durch die Einheitsmatrix dargestellt werden, weil Kundinnen und Kunden, die bei Murphy’s waren, nicht gleichzeitig bei Ashley’s sein können und umgekehrt.

Schritt 2: Erstelle außerdem eine Tabelle für die Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix.

Schritt 3: Jetzt möchtest du die Wahrscheinlichkeiten für beide Läden in der ersten Periode berechnen. Entwirf zunächst eine Tabelle, in der die Werte berechnet werden sollen:

Schritt 4: Nun berechnen wir die Zustandswahrscheinlichkeiten für zukünftige Perioden, ausgehend von einem Murphy’s-Kunden. Die Wahrscheinlichkeiten können mit der Excel-Funktion =MMULT(Array1; Array2) berechnet werden. Wähle dazu zuerst beide Zellen in der Tabelle "Murphy’s-Kunde" in Woche 1 aus.

Nachdem du die Formel eingegeben hast, schließe die Klammer und drücke Strg+Umschalt+Eingabe gleichzeitig. Dann siehst du die Wahrscheinlichkeitswerte.

Schritt 5: Da du die Wahrscheinlichkeiten für Zustand 1 und Woche 1 berechnet hast, berechnen wir nun analog Zustand 2. Einziger Unterschied: die aktuellen Zustandswahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeiten aus Woche 1 dienen zur Berechnung der zukünftigen Zustandswahrscheinlichkeiten.

Jetzt kannst du die Formel aus den Wochenzellen von Murphy’s und Ashley’s einfach kopieren und für so viele Perioden einfügen, wie du möchtest.

Wärst du mit 1000 Murphy-Kunden gestartet — also 1000 Kunden, die zuletzt bei Murphy’s eingekauft haben —, dann zeigt unsere Analyse: In der fünften Einkaufswoche wären 723 potenzielle Kunden bei Murphy’s und 277 bei Ashley’s. In der zehnten Woche wären es 676 potenzielle Kunden bei Murphy’s und 324 bei Ashley’s.

Quelle: An Introduction to Management Science Quantitative Approaches to Decision Making By David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams, Jeffrey D. Camm, R. Kipp Martin

Schritt 6: Analog berechnen wir nun die Zustandswahrscheinlichkeiten für zukünftige Perioden, beginnend mit einem Ashley’s-Kunden.

Für Woche 1:

Für Woche 2:

Ziehe die Formel ab Woche 2 einfach bis zu der gewünschten Periode nach unten.

In der fünften Einkaufsperiode liegt die Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde bei Murphy’s einkauft, bei 0,555, und bei Ashley’s bei 0,445. In der zehnten Periode beträgt die Wahrscheinlichkeit für Murphy’s 0,648 und für Ashley’s 0,352.

Quelle: An Introduction to Management Science Quantitative Approaches to Decision Making By David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams, Jeffrey D. Camm, R. Kipp Martin

Du kannst dir auch grafisch ansehen, wie der Anteil derjenigen, die zuletzt bei Murphy’s eingekauft haben, bei Murphy’s sinkt und bei Ashley’s steigt.

Vor- und Nachteile

Vorteile:

• Aufgrund des analytischen Ansatzes ist sie schnell und präzise.
• Sie ist schneller und genauer als die Monte-Carlo-Simulation.
• Ein Markov-Modell lässt sich relativ leicht aus Nachfolgedaten ableiten.
• Die Übergangsmatrix fasst alle wesentlichen Parameter dynamischer Veränderungen zusammen.
• Sie liefert tiefe Einblicke in die Veränderungen des Systems über die Zeit.

Nachteile:

• Die Markov-Eigenschaft kann für das modellierte System nicht gelten; daher braucht das Modell ein sorgfältiges Design.
• Kunden können den Markt jederzeit betreten oder verlassen, der Markt ist daher nie völlig stabil.
• Die Markov-Analyse kann zukünftige Ergebnisse nicht vorhersagen, wenn Informationen zu früheren Ergebnissen fehlen.

Fazit

Glückwunsch, du hast das Ende dieses Tutorials erreicht!

In diesem Tutorial hast du viele Details zur Markov-Analyse kennengelernt: Was sie ist, wichtige Begriffe, Beispiele sowie die Umsetzung in Tabellenkalkulationen. Außerdem haben wir Vor- und Nachteile besprochen.

Hoffentlich kannst du die Konzepte der Markov-Analyse jetzt in der Marketinganalyse einsetzen. Danke fürs Lesen!

Wenn du mehr über Tabellenkalkulationen lernen möchtest, empfehlen wir dir diese DataCamp-Kurse: