Tutorial de análise de Markov em planilhas

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Os sistemas de negócios do mundo real são muito dinâmicos por natureza. Não é fácil para pesquisadores de mercado projetarem um modelo probabilístico que capture tudo. Isso significa que o pesquisador precisa de modelos mais sofisticados para entender o comportamento do cliente conforme o processo de negócios evolui. Um modelo de probabilidade para um processo que se desenvolve ao longo do tempo é chamado de processo estocástico. O processo estocástico descreve o comportamento do consumidor ao longo do tempo. A cadeia de Markov é uma das técnicas para modelar um processo estocástico, usando o estado atual para prever o estado futuro do cliente.

A técnica de análise de Markov tem o nome do matemático russo Andrei Andreyevich Markov, que introduziu o estudo de processos estocásticos, isto é, processos que envolvem a atuação do acaso (Fonte). Essa análise ajuda a gerar uma nova sequência de eventos aleatórios porém relacionados, que se assemelham ao padrão original. É útil para analisar eventos aleatórios dependentes, ou seja, eventos que dependem apenas do que aconteceu por último. A análise de Markov é uma técnica probabilística que apoia a tomada de decisão ao fornecer uma descrição probabilística de diversos resultados.

O que é análise de Markov?

O modelo de Markov é um modelo baseado em estocasticidade usado para representar sistemas que mudam aleatoriamente. Ele assume que eventos futuros dependem apenas do evento presente, e não do passado. O resultado são probabilidades do evento futuro para apoiar decisões.

Premissas do modelo de Markov:

• A soma das probabilidades de sair de um estado para todos os outros é igual a 1.
• As probabilidades se aplicam a todos os participantes do sistema.
• As probabilidades são constantes ao longo do tempo, e
• Os estados são independentes ao longo do tempo.

Você tem um conjunto de estados S= {S_1, S_2, S_3…….S_r }. O processo começa em um desses estados e avança sucessivamente de um estado para outro. Se o sistema está atualmente em Si, então ele vai para o estado Sj no próximo passo com probabilidade Pij, e essa probabilidade não depende de qual estado o sistema estava antes do estado atual.

Fonte: https://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/Chapter11.pdf

Terminologia

• Processos estocásticos: Lidam com um conjunto de variáveis aleatórias indexadas por algum conjunto, permitindo estudar a dinâmica do sistema.

• Eventos independentes: Um bom exemplo é o lançamento de uma moeda: a cada lançamento, não há memória do que ocorreu antes. A sequência de caras e coroas não é inter-relacionada; portanto, são eventos independentes.

• Eventos dependentes: Dois eventos são ditos dependentes quando o resultado do primeiro afeta o resultado do segundo.

• Variáveis aleatórias: Variável cujo valor depende do resultado de um experimento/fenômeno aleatório.

• Probabilidades em regime estacionário (steady-state): À medida que você continua o processo de Markov, a probabilidade de o sistema estar em um estado específico após um grande número de períodos torna-se independente do estado inicial. As probabilidades observadas após várias transições são conhecidas como probabilidades em regime estacionário.

Fonte: An Introduction to Management Science Quantitative Approaches to Decision Making By David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams, Jeffrey D. Camm, R. Kipp Martin

Exemplo de análise de Markov

Vamos analisar market share e fidelidade de clientes para as mercearias Murphy’s Foodliner e Ashley’s Supermarket. Nosso foco é verificar a sequência de idas ao mercado de um cliente. Considere que os clientes fazem uma ida por semana, escolhendo Murphy’s Foodliner ou Ashley’s Supermarket, mas não ambos.

Usando a terminologia de processos de Markov, os períodos semanais ou idas ao mercado são os ensaios do processo. Em cada ensaio, o cliente pode comprar na Murphy’s Foodliner ou na Ashley’s Supermarket. A loja escolhida em uma semana é o estado do sistema naquela semana, pois o cliente tem duas opções (estados) em cada ensaio. Com um número finito de estados, podemos identificá-los assim:

• Estado 1: o cliente compra na Murphy’s Foodliner.

• Estado 2: o cliente compra na Ashley’s Supermarket. As probabilidades de transição são:

De forma análoga,

Assim, a probabilidade para a Murphy’s após duas semanas pode ser calculada multiplicando a matriz de probabilidades do estado atual pela matriz de probabilidades de transição para obter as probabilidades do próximo estado.

Fórmula geral:

Em que P1, P2, …, Pr representam as probabilidades dos estados do sistema no processo, e n indica o passo (estado) no tempo.

Fonte: An Introduction to Management Science Quantitative Approaches to Decision Making By David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams, Jeffrey D. Camm, R. Kipp Martin

Como fazer análise de Markov em planilhas

Vamos resolver o mesmo problema no Microsoft Excel –

Passo 1: Suponha que, no início, alguns clientes compraram na Murphy’s e outros na Ashley’s. Isso pode ser representado pela matriz identidade, pois os clientes que estavam na Murphy’s não podem estar na Ashley’s ao mesmo tempo e vice-versa.

Passo 2: Crie também uma tabela para a matriz de probabilidades de transição.

Passo 3: Agora, calcule as probabilidades em ambas as lojas no primeiro período. Primeiro, monte uma tabela onde os valores serão calculados:

Passo 4: Agora, vamos calcular as probabilidades de estado para períodos futuros começando inicialmente com um cliente da Murphy’s. As probabilidades podem ser calculadas usando a função do Excel =MMULT(array1, array2). Para usar, selecione primeiro as duas células na tabela de clientes da Murphy’s referentes à semana 1.

Depois de aplicar a fórmula, feche o parêntese e pressione Control+Shift+Enter ao mesmo tempo. Você verá os valores de probabilidade.

Passo 5: Como você calculou as probabilidades no estado 1 e semana 1, agora calcule de forma semelhante para o estado 2. O que muda são as probabilidades do estado atual. As probabilidades da semana um serão usadas para calcular as probabilidades dos estados futuros.

Agora você pode simplesmente copiar a fórmula das células de semanas na Murphy’s e na Ashley’s e colar até o período desejado.

Se você tivesse começado com 1000 clientes da Murphy’s — ou seja, 1000 clientes cuja última compra foi na Murphy’s — nossa análise indica que, na quinta semana, 723 estariam comprando na Murphy’s e 277 na Ashley’s. Além disso, na décima semana, 676 estariam na Murphy’s e 324 na Ashley’s.

Fonte: An Introduction to Management Science Quantitative Approaches to Decision Making By David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams, Jeffrey D. Camm, R. Kipp Martin

Passo 6: De forma semelhante, agora calcule as probabilidades de estado para períodos futuros começando inicialmente com um cliente da Murphy’s.

Para a semana 1:

Para a semana 2:

Basta arrastar a fórmula da semana 2 até o período desejado.

No quinto período de compras, a probabilidade de o cliente estar comprando na Murphy’s é 0,555 e a de estar comprando na Ashley’s é 0,445. No décimo período, a probabilidade de o cliente estar na Murphy’s é 0,648 e na Ashley’s é 0,352.

Fonte: An Introduction to Management Science Quantitative Approaches to Decision Making By David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams, Jeffrey D. Camm, R. Kipp Martin

Você também pode visualizar graficamente como a participação cai na Murphy’s e aumenta na Ashley’s para clientes cuja última compra foi na Murphy’s.

Prós e contras

Prós:

• Tem vantagens de velocidade e precisão por sua natureza analítica.
• É mais rápido e mais preciso em comparação com a simulação de Monte Carlo.
• O modelo de Markov é relativamente fácil de derivar a partir de dados sucessivos.
• A matriz de transição resume todos os parâmetros essenciais da mudança dinâmica.
• Fornece uma visão profunda das mudanças no sistema ao longo do tempo.

Contras:

• As premissas da propriedade de Markov podem não valer para o sistema modelado; por isso, é preciso projetar o modelo com cuidado.
• O cliente pode entrar e sair do mercado a qualquer momento, portanto o mercado nunca é totalmente estável.
• A análise de Markov não consegue prever resultados futuros quando faltam informações sobre o resultado anterior.

Conclusão

Parabéns, você chegou ao fim deste tutorial!

Nele, você viu em detalhes o que é a análise de Markov, as principais terminologias, exemplos práticos e como resolver exercícios de análise de Markov em planilhas. Também discutimos seus prós e contras.

Esperamos que agora você consiga aplicar os conceitos de análise de Markov em análises de marketing. Obrigado por ler este tutorial!

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