股票、显著性检验与 p-值作假（p-Hacking）

从历史上看，10 月是股市波动性最大的月份，但这是持久的信号，还是数据中的噪声？

"在过去 32 年中，10 月的平均波动性在标普 500 指数中最高，而 12 月最低"。

在本教程中，我们将使用 Python 完整走一遍分析与检验流程，以判断这一现象在统计上是否显著。

我们将使用 pandas 的时间序列功能（如 Resample）将原始股价数据整理成更具表现力的格式。

接着，我们将学习如何在 Python 中使用模拟来进行假设检验，避免繁琐的公式计算。

最后，我们将讨论统计分析中的一个重大问题——多重比较偏差，学习应对方法，并用 matplotlib 直观展示“p-值作假（p-Hacking）”的影响。

我们的目标：

• 演示如何使用 Pandas 分析时间序列
• 理解如何构建假设检验
• 使用 Python 的模拟来执行假设检验
• 展示考虑多重比较偏差的重要性

我们的数据：

本次分析将使用标普 500 的日度数据，具体而言，我们使用 1986 到 2018 年的日收盘价（这一数据意外地难找，因此我已将其公开提供）。

本文的灵感来自 Winton 的研究，我们将在这里复现，不过我们使用的是 32 年数据，而他们使用了 87 年数据。

用 Pandas 整理数据

要回答“某些月份出现的极端波动是否确实显著、因而更可能持续”这一问题，我们需要将 32 年的价格数据转换为能反映我们所研究现象的格式。

我们选择的格式是平均月度波动性排名（AMVR）。

下面的代码展示了如何把原始价格数据转为该格式。让我们开始吧！

先进行常规导入。（matplotlib.patches 让我们可以控制直方图中单个柱子的样式）

#standard imports
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.patches as mpatches
%matplotlib inline

一个好用的小技巧，可让图表在 Jupyter 笔记本中全宽显示：

#resize charts to fit screen if using Jupyter Notebook
plt.rcParams['figure.figsize']=[15,5]

这个可选——试试看会发生什么！

#plt.xkcd()

使用 read_csv 方法导入数据，它接收一个路径，这里是数据的 URL。我们还指定使用 date 作为索引，并尽可能自动解析日期。

#Daily S&P500 data from 1986==>
url = "https://raw.githubusercontent.com/Patrick-David/Stocks_Significance_PHacking/master/spx.csv"
df = pd.read_csv(url,index_col='date', parse_dates=True)

#view raw S&P500 data
df.head()

这给出了标普 500（SPX）的原始未复权收盘价。现在我们需要将原始价格转换为日度百分比收益。为此有两种方式：

1. 对价格取自然对数，可得到日收益率的近似。
2. 使用 pandas 的 pct_change() 方法直接计算日度百分比变化。

在本教程中，我们使用方法 2，因为对于这种规模（8000 多个值）的数据，pandas 可以瞬时完成计算。我们还会清理数据，丢弃第一个因为没有前一日而为 NaN 的值。pct_change() 有一个可选参数 periods 用于改变位移周期，我们保持默认的 1。

#To model returns we will use daily % change
daily_ret = df['close'].pct_change()
#drop the 1st value - nan
daily_ret.dropna(inplace=True)
#daily %change
daily_ret.head()

date
1986-01-03    0.006155
1986-01-06   -0.001091
1986-01-07    0.014954
1986-01-08   -0.027268
1986-01-09   -0.008944
Name: close, dtype: float64

下一步是将这些日度百分比变化转换为“月度年化波动率”。下面第一行代码展示了只用一行就能完成这一转换。这就是 Pandas 的强大之处！不过我们还是按步骤拆解一下：

 1. 为得到 mnthly_annu，我们先对日度收益使用 resample 方法。Resample 允许我们改变数据周期频率。它接收一个“频率偏移字符串”，简单说就是一个代表目标频率的字母，包括：

• B 工作日频率
• C 自定义工作日频率
• D 日历日频率
• W 周频
• M 月末频率

我们希望把日度收益采样成月度，因此传入参数 'M'。

 2. 接着要决定如何得到新的月度数值，比如可以对日度值求和、相乘等。对我们的分析而言，我们需要波动性的度量，标准差很合适，因此我们对重采样后的数据使用 std()，得到月度波动率。

 3. 最后一步是对该数值进行年化。我们只需乘以 12 的平方根，12 是一年中的月数。这样就得到所需的月度年化波动率。

数据分析的最佳实践是在分析过程中持续可视化数据。让我们看看年化波动率数据。

下图清晰显示了主要市场事件，例如“黑色星期一”和 2008 年金融危机。matplotlib 的 axvspan 方法可以添加竖向标记（水平对应的方法是 axhspan）。它接收 xmin 与 xmax 参数来指定矩形的宽度。因为 x 轴是日期时间索引，我们可以直接传入想要高亮的年份。alpha 参数调节色块的透明度，以便仍能看到下方的曲线。

mpatches 属性让我们可以自定义图例框。我们先用颜色、alpha 和文本定义 labs 变量，再把它传给 plt.legend 的 handles 参数来渲染图例。

#use pandas to resample returns per month and take Standard Dev as measure of Volatility
#then annualize by multiplying by sqrt of number of periods (12)
mnthly_annu = daily_ret.resample('M').std()* np.sqrt(12)

print(mnthly_annu.head())
#we can see major market events show up in the volatility
plt.plot(mnthly_annu)
plt.axvspan('1987','1989',color='r',alpha=.5)
plt.axvspan('2008','2010',color='r',alpha=.5)
plt.title('Monthly Annualized vol - Black Monday and 2008 Financial Crisis highlighted')
labs = mpatches.Patch(color='red',alpha=.5, label="Black Monday & '08 Crash")
plt.legend(handles=[labs])

date
1986-01-31    0.033317
1986-02-28    0.023585
1986-03-31    0.027961
1986-04-30    0.037426
1986-05-31    0.027412
Freq: M, Name: close, dtype: float64

<matplotlib.legend.Legend at 0x280b1ee6908>

我们已经见识了 pandas 的一个强大方法 resample。现在再用另一个方法 groupby。我们需要从月度年化波动率值出发，得到目标 AMVR 指标。同样，只需几行代码。

 1. 首先，对 mnthly_annu 使用 groupby 方法。groupby 需要一个参数来指定如何分组，可以是函数，也可以是一个序列。这里传入 mnthly_annu.index.year，即 mnthly_annu 数据的日期时间索引的年份属性。这会按 32 个年份将每年的月度波动率值分组。

 2. 然后使用 rank 方法按升序为数据排序。

 3. 最后，再做一次类似操作：对月份分组并对所有年份取平均。这样就得到最终的 AMVR 值！

#for each year rank each month based on volatility lowest=1 Highest=12
ranked = mnthly_annu.groupby(mnthly_annu.index.year).rank()

#average the ranks over all years for each month
final = ranked.groupby(ranked.index.month).mean()

final.describe()

count    12.000000
mean      6.450521
std       0.627458
min       5.218750
25%       6.031013
50%       6.491004
75%       6.704545
max       7.531250
Name: close, dtype: float64

这就得到了最终的平均月度波动性排名。从数值上我们可以看到，10 月（October）最高，12 月（December）最低。

#the final average results over 32 years
final

date
1     6.818182
2     6.666667
3     6.575758
4     7.303030
5     6.606061
6     6.030303
7     6.031250
8     5.875000
9     6.406250
10    7.531250
11    6.343750
12    5.218750
Name: close, dtype: float64

为数据选择合适的可视化很重要，因为我们希望用最有冲击力的图表来讲述数据的故事。在本分析中，我们希望清晰显示波动性最高与最低的月份。为此我们将使用 matplotlib 的柱状图，并通过标注与配色来增强效果。

 1. 通过对 b_plot（b_plot[9]）进行索引，我们可以设置颜色以突出最高与最低值。

 2. 要把 AMVR 数值添加到对应的柱子上，我们遍历每个 AMVR 值（final 变量）并将结果四舍五入到小数点后两位。i 和 v 分别代表 final 的索引与数值，因此 i 的范围是 1–12，value 是四舍五入后的 AMVR 值。我们在 plt.text() 中使用这些变量。plt.text() 的第一个参数是标签的 x 轴位置，因此我们为每个柱传入 i，并加上 0.8 使其居中。第二个参数是 final 值的字符串。

 3. 为显示均值，我们使用 axhline，并通过 label 参数在右上角添加图例。只需传入 y 轴的均值并设置样式。

这为我们正在研究的现象提供了目前为止最好的可视化。可以清楚看到 10 月最为波动而 12 月最不波动。更重要的是，我们也能看到 12 月在绝对意义上更为“极端”。这对下一节的分析很关键。

#plot results for ranked s&p 500 volatility
#clearly October has the highest AMVR
#and December has the lowest
#mean of 6.45 is plotted

b_plot = plt.bar(x=final.index,height=final)
b_plot[9].set_color('g')
b_plot[11].set_color('r')
for i,v in enumerate(round(final,2)):
    plt.text(i+.8,1,str(v), color='black', fontweight='bold')
plt.axhline(final.mean(),ls='--',color='k',label=round(final.mean(),2))
plt.title('Average Monthly Volatility Ranking S&P500 since 1986')

plt.legend()
plt.show()

数据就绪，现在进入假设检验……

假设检验：我们在问什么？

假设检验是数据科学中最基础的技术之一，但同时也常被视为最令人生畏、最易被误解的主题。其根源在于传统统计入门课的教学方式：

“做一个 t 检验，是单侧还是双侧？选择合适的检验统计量，比如 Welch t 检验，计算自由度，计算 t 值，在表中查临界值，将临界值与 t 统计量比较……”

难怪大家会对做什么检验、如何实施感到困惑。然而，所有这些经典统计技术都是在计算能力极其有限的时代发展出来的，本质只是为计算 p 值提供的解析封闭解，仅此而已！但它们还带来了另一个麻烦：由于严格且有时不透明的假设，必须为具体情境挑对公式。

但别灰心！

有更好的方法：模拟。

要理解模拟如何帮到我们，先回顾一下什么是“假设检验”：

我们希望检验“数据中观察到的效应是否真实，还是仅仅可能由偶然造成”，为此我们需要：

• 选择合适的“检验统计量”：它只是衡量观察效应的一个数字。我们的例子中，选择AMVR 相对均值的绝对偏差。

• 构建原假设：这是一个不包含观察效应的数据版本。我们的例子中，我们会反复打乱数据的标签（置换）。理由见下文。

• 计算 p 值：即在原假设数据中看到该观察效应的概率，换句话说，由偶然造成的概率。我们通过对原假设数据进行反复模拟来完成这一过程。在本例中，我们多次打乱数据的“日期”标签，并简单统计我们所选检验统计量在多次模拟中出现的频次。

这就是三步走的假设检验！无论我们检验什么现象，问题始终如一：“观察到的效应是真实的，还是偶然的？”

“只有一种检验！”Allen Downey 的这篇优秀博文有更多细节

模拟的真正威力在于，我们必须通过代码显式地陈述模型假设。而经典方法在其假设上往往是“黑箱”。

下例说明：左图显示真实数据及其观察效应出现的一定概率（绿色）。右图是我们模拟的原假设数据，并记录何时“偶然”出现观察效应（红色）。这就是假设检验的基础：在原假设数据中看到观察效应的概率是多少。

假设检验中最关键的是明确我们试图回答的问题。在这里我们问：

“最极端的数值可能是偶然出现的吗？”

我们将最极端的数值定义为距均值的 AMVR 绝对偏差的最大值。这个问题构成了我们的原假设。

在我们的数据里，最极端的是 12 月（1.23），而不是 10 月（1.08），因为我们看的是相对均值的绝对偏差最大，而不只是最高波动性。

 1. 要得到绝对偏差，只需用每个值减去均值并取绝对值 abs()。

 2. 使用 sort_values() 方法可以将结果从小到大排序。然后选出最大的两个值，即 10 月和 12 月。

#take abs value move from the mean
#we see Dec and Oct are the biggest abs moves

fin = abs(final - final.mean())
print(fin.sort_values())
Oct_value = fin[10]
Dec_value = fin[12]
print('Extreme Dec value:', Dec_value)
print('Extreme Oct value:', Oct_value)

date
9     0.044271
11    0.106771
3     0.125237
5     0.155540
2     0.216146
1     0.367661
7     0.419271
6     0.420218
8     0.575521
4     0.852509
10    1.080729
12    1.231771
Name: close, dtype: float64
Extreme Dec value: 1.231770833333333
Extreme Oct value: 1.080729166666667

模拟

明确问题后，我们需要构建“原假设模型”。

有几种选择：

• 参数模型。如果我们对数据分布有较好把握，或愿意做出假设，可以采用“经典”的假设检验技术，如 t 检验、卡方（X²）、单因素方差分析等。这些模型可能较为严格，如果研究者并不完全理解其假设，也有点黑箱。

• 直接模拟。我们可以对数据生成过程做出假设并直接模拟。例如，我们可以为所建模的金融数据指定 ARMA 时间序列模型，并刻意让其不含季节性。对我们的问题来说这可能合理。然而，若我们真知道标普 500 的数据生成过程，我们早就发财了！

• 通过重采样进行模拟。这就是我们采取的方法。通过从现有数据中反复随机抽样并打乱标签，可以让观察到的效应在所有标签（本例中的标签是日期）之间等可能，从而得到所需的原假设数据集。

抽样是个大话题，我们将聚焦于一种技术：置换或洗牌。

为了得到期望的原假设模型，我们需要构建一个不含季节性的数据集。如果原假设为真，即数据没有季节性，观察到的效应只是偶然，那么每个月（Jan、Feb 等）的标签就没有意义，因此我们可以反复打乱数据，去构建经典统计所称的“原假设下检验统计量的抽样分布”。这将使观察到的现象（极端的 12 月值）对所有月份等可能，这正是我们的原假设模型所需。

为展示现代计算能力下模拟技术的强大，例子中的代码实际对日度价格数据进行置换，这需要更多算力，但在现代 CPU 上仍能在数秒内完成。

注意：在我们的场景中，打乱日度或月度标签都能得到期望的原假设数据集。

                          Shuffle 'date' label to create null dataset

学习抽样的优秀资源：Julian Simon。

注意：我们的检验构造方式等价于“经典”方法中的双侧检验，如 Welch t 检验或 ANOVA，因为我们关心的是最极端的值，无论高于还是低于均值。

这些决策都是设计选择，而我们之所以有这种自由，是因为原假设模型就是模型！这意味着我们可以按需设定其参数，关键在于非常清楚地知道自己要回答什么问题。

我们希望使用 Python 进行大量模拟来创建原假设数据集。为实现这一点，我们将模拟 1000 组 12 个 AMVR，每次都置换“日期”标签以构建抽样分布。该代码的输出会在 p-hacking 一节展示。

 1. 首先定义一些容器来存储结果：我们将使用一个 pd.DataFrame() 和一个简单的数组 []。

 2. 然后定义计数器置零，开始一个 1000 次循环来创建模拟数据。

 3. 循环内第一行取前文的原始日度收益，使用 pandas 的 sample() 方法。它会从日度收益数据中随机抽取给定次数的数据。我们的数据点数量是 8191（32 年 × 每年 252 个交易日）。我们还用 reset_index() 去掉索引，以便稍后添加新索引。之所以这样做，是因为原始日期索引会随数据一起被打乱，而我们只想“打乱”数据本身。

 4. 下一行通过把 daily_ret_shuffle 的索引赋值为与原始数据等长的 pd.bdate_range 来添加新的日期索引。我们使用 bdate_range 而非 date_range，因为我们只要工作日（周一至周五 5 天），而不是每周 7 天。

 5. 现在生成了“洗牌”后的数据，我们对其执行与前面相同的数据整理步骤，以构建 AMVR 值。接下来的 3 行代码就是做这个。

 6. 有了模拟的 AMVR 值后，我们需要把它们追加到存储全部 1000 次模拟结果的数据框中。pd.concat 会将当前数据框与后续数据框按顺序拼接。我们选择 axis=1，以得到按列拼接的数据。

 7. maxi_month 变量仅存储每次模拟中的最大值（我们稍后在分析中会用到）。

 8. 由于我们的分析需要 AMVR 的绝对偏差，接下来三行代码把所有 1000 次 AMVR 结果展平成一个大数组，然后计算总体均值、用单个值减去该均值，最后取绝对值。

 9. 对“仅取最高值”的数据也做相同处理。注意：这里我们使用了列表而非数据框，因此可以用列表推导式来计算每个最高值的 abs(AMVR)。

至此，我们已经拥有完成分析所需的全部数据：既有原始观测，也有新模拟出的数据集。

#as our Null is that no seasonality exists or alternatively that the month does not matter in terms of AMVR,
#we can shuffle 'date' labels
#for simplicity, we will shuffle the 'daily' return data, which has the same effect as shuffling 'month' labels

#generate null data

new_df_sim = pd.DataFrame()
highest_only = []

count=0
n=1000
for i in range(n):
    #sample same size as dataset, drop timestamp
    daily_ret_shuffle = daily_ret.sample(8191).reset_index(drop=True)
    #add new timestamp to shuffled data
    daily_ret_shuffle.index = (pd.bdate_range(start='1986-1-3',periods=8191))

    #then follow same data wrangling as before...
    mnthly_annu = daily_ret_shuffle.resample('M').std()* np.sqrt(12)

    ranked = mnthly_annu.groupby(mnthly_annu.index.year).rank()
    sim_final = ranked.groupby(ranked.index.month).mean()
    #add each of 1000 sims into df
    new_df_sim = pd.concat([new_df_sim,sim_final],axis=1)

    #also record just highest AMVR for each year (we will use this later for p-hacking explanation)
    maxi_month = max(sim_final)
    highest_only.append(maxi_month)

#calculate absolute deviation in AMVR from the mean
all_months = new_df_sim.values.flatten()
mu_all_months = all_months.mean()
abs_all_months = abs(all_months-mu_all_months)    

#calculate absolute deviation in highest only AMVR from the mean
mu_highest = np.mean(highest_only)
abs_highest = [abs(x - mu_all_months) for x in highest_only]

p-值作假（p-Hacking）

有意思的部分来了。我们已经构建了待检验的假设，通过打乱数据的“日期”标签生成了模拟数据。现在要执行假设检验，计算在原假设（无季节性）为真的前提下，观察到像 12 月这样显著的结果的概率。

在动手之前，先设定预期。

在 5% 显著性水平下，看到“至少一个”显著结果的概率是多少？

= 1 - p（不显著）

= 1 - (1–0.05)¹²

= 0.46

因此，46% 的概率会看到至少一个月份出现显著结果，前提是原假设为真。

现在再问，对每一次单独的检验（将 12 个月各自的 AMVR 绝对偏差与均值比较），在我们的随机、无季节性数据中应期望看到多少个显著值？

12 × 0.05 = 0.6

因此，在 0.05 的显著性水平下，我们应期望的假阳性数为0.6。换言之，对于每次（基于原假设数据）比较全部 12 个月 AMVR 与均值的检验，平均会有 0.6 个月显示显著。（显然一次试验不可能少于 1 个月，但在反复试验中数学期望会趋近这个数）。

我们一直强调要清楚自己在问什么问题。上述预期的问题在于，我们假定自己是在针对 12 个月一起检验显著性！这就是为何看到至少一个假阳性的概率高达 46%。

这就是多重比较偏差的例子：我们扩大了搜索空间，从而提高了发现显著性的可能性。这会带来问题，因为我们可以滥用这一现象，择取模型参数以得到“想要的” p 值。

这正是 p-值作假的本质

为说明 p-hacking 的影响以及如何降低多重性，我们需要理解下面两个问题之间细微却重要的区别：

• “12 月出现如此极端值是偶然的概率是多少？”
• “任意某个月出现如此极端值是偶然的概率是多少？”

模拟的妙处在于其简单。下面的代码就足以计算回答第一个问题所需的 p 值。我们只需统计数据集中所有 12000 个 AMVR 偏差值（12 个月 × 1000 次试验）中有多少个大于观察到的 12 月值。我们得到一个4.4% 的 p 值，接近我们有些任意的 5% 阈值，但仍然显著。

#count number of months in sim data where ave-vol-rank is >= Dec
#Note: we are using Dec not Oct, as Dec has highest absolute deviation from the mean
count=0
for i in abs_all_months:
    if i> Dec_value:
        count+=1
ans = count/len(abs_all_months)        
print('p-value:', ans )

p-value: 0.04425

要回答第二个问题并避免多重性，我们不再与 12000 个 AMVR 偏差值的分布比较，而只考虑每次试验（1000 次）中绝对 AMVR 的最高值。这给出一个23% 的 p 值，很显然不显著！

#same again but just considering highest AMVR for each of 100 trials
count=0
for i in abs_highest:
    if i> Dec_value:
        count+=1
ans = count/len(abs_highest)        
print('p-value:', ans )

p-value: 0.236

现在我们得到了最终结果，让我们绘制这些分布，直观展示 p-hacking 的影响及本次分析的结果：

 1. 首先用 np.quantile() 找到 5% 显著性水平，我们会在下方图中用 axvline 画出。

 2. 接着定义四个子图。plt.subplots 返回 fig（画布）和 ax1、ax2、ax3、ax4（四个子图句柄）。

 3. 图 1 显示第一列。我们对 abs_all_months 绘制柱状直方图（type='bar'）。下方图设置 cumulative='True'，得到 CDF 而非 PDF。bins 定义柱子数量，对本数据而言 30 合适。随后用已学方法美化图表，如 axvline 绘制显著性阈值和观测值。

abs_all_months_95 = np.quantile(abs_all_months,.95)
abs_highest_95 = np.quantile(abs_highest,.95)

fig, ((ax1,ax2),(ax3,ax4)) = plt.subplots(2,2,sharex='col',figsize=(20,20))

#plot 1
ax1.hist(abs_all_months,histtype='bar',color='#42a5f5')
ax1.set_title('AMVR all months',fontsize=30)
ax1.set_ylabel('Frequency',fontsize=20)
ax3.hist(abs_all_months,density=1,histtype='bar',cumulative=True,bins=30,color='#42a5f5')
ax3.set_ylabel('Cumulative probability',fontsize=20)
ax1.axvline(Dec_value,color='b',label='Dec Result',lw=10)
ax3.axvline(Dec_value,color='b',lw=10)
ax3.axvline(abs_all_months_95,color='r',ls='--',label='5% Sig level',lw=10)

#plot2
ax2.hist(abs_highest,histtype='bar',color='g')
ax2.set_title('AMVR highest only',fontsize=30)
ax2.axvline(Dec_value,color='b',lw=10)
ax4.hist(abs_highest,density=1,histtype='bar',cumulative=True,bins=30,color='g')
ax4.axvline(Dec_value,color='b',lw=10)
ax4.axvline(abs_highest_95,color='r',ls='--',lw=10)

ax1.legend(fontsize=15)
ax3.legend(fontsize=15)

<matplotlib.legend.Legend at 0x280b4eb0b00>

左侧列对应问题 1，右侧列对应问题 2。上排是概率分布，下排是 CDF。红色虚线是我们任意设定的 5% 显著性水平。蓝线是原始的极端 12 月 AMVR 值 1.23。

左图显示在 5% 水平下原始 12 月值是显著的，但只是勉强！然而，当我们考虑多重比较偏差后，右图中的显著性阈值从约 1.2（绝对 AMVR）上移到了约 1.6（见红线）。

在考虑多重比较偏差后，我们的 12 月值 1.23 不再显著！

通过聚焦具体问题并避免多重比较偏差，我们避免了对模型进行 p-值作假，从而避免在没有显著性的情况下“造出”显著结果。

若想进一步探索 p-hacking 及其如何被滥用于讲述某种“故事”，请查看 FiveThirtyEight 的这个优秀交互应用。

结论

• 我们认识到假设检验并不可怕。按照上面的三步，您可以为任何数据或检验统计量构建模型。

• 我们展示了“问对问题”对科学分析至关重要。措辞的细微变化可能导致完全不同的模型与结果。

• 希望您已体会到 Python 更进阶功能的威力，以及它如何赋能您进行统计检验！只用几行代码，我们就构建并检验了一个真实世界的现象，并得出了可操作的结论。

• 我们讨论了识别与纠正多重比较偏差、避免 p-hacking 陷阱的重要性，并展示了一个看似显著的结果如何变为不显著。

• 在“大数据”愈发常见、学术界追求“新颖”发现或政治压力要求“显著”结果的背景下，进行 p-hacking 的诱惑与日俱增。学会识别并据此校正，我们就能成为更优秀的研究者，最终产出更准确、因而更可操作的科学成果！

作者注：我们的结果与最初的 Winton 研究略有不同，部分原因是数据集不同（32 年 vs. 87 年），且他们关注的是 10 月，而我们是 12 月。此外，他们使用了未披露的方法来生成“模拟数据”，而我们通过代码显式说明了生成方法。我们在整个工作中做出了一些建模假设，同样都已显式呈现并可在代码中看到。这些设计与建模选择是科学过程的一部分，只要明确呈现，分析就有其价值。

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