电子表格中的卡方检验

卡方检验

卡方检验是一种统计检验，用于判断一个或多个类别中观察到的频数是否与期望频数存在显著差异（来源）。用数学表达，它是基于某些假设得到的理论期望结果（E）与实验观察结果/频数（O）的比值，或者说，是将观察值与期望值的总体偏差除以期望频数得到的统计量。

如果观察频数与期望频数没有差异，则卡方值为 0；若存在差异，则卡方值大于 0。

在将计算值与表值比较时，您需要先计算自由度，然后才能进行比较并得出结论。

卡方概率分布图：图片来源：

卡方检验有三种类型：

• 拟合优度检验
• 独立性检验
• 同质性检验

术语

• 列联表： 又称交叉表或双向表。用于将一个变量按行、另一个变量按列展示，并配以频数统计。它是一种对分类变量进行频数分布的表格。

• 观察频数： 来自实验数据的计数。换言之，您观察数据的发生并进行计量。

• 期望频数： 使用概率理论计算得到的计数。列联表中的每个单元格都需要计算期望频数。

其中，

• Eij：第 i 行第 j 列的期望频数
• Ti：第 i 行合计
• Tj：第 j 列合计
• N：总计

也可以理解为（行合计 × 列合计）/ 总计

• 原假设（H0）： 认为总体中两个交叉列示变量之间不存在关联。因此，这些变量在统计上是独立的。比如，比较方法 A 和方法 B 的优劣，若假设两种方法同样有效，则该假设即为原假设。

• 备择假设（HA）： 认为总体中两个变量存在关联。比如，若假设方法 A 优于方法 B，或方法 B 优于方法 A，则该假设即为备择假设。

• 自由度： 构成该统计量的相互独立变量的个数称为该统计量的自由度。

其中，

• r = 行数
• c = 列数

这用于独立性检验和同质性检验，不用于拟合优度检验。

• 卡方检验统计量： 一个单一数值，表示观察到的计数与在总体中完全无关系时所期望计数之间的差异程度。
• 卡方检验 p 值： p 值用于判断检验结果是否显著。

卡方检验的类型

1. 拟合优度： 卡方拟合优度检验是一种非参数检验，用于判断某一现象的观察值与期望值之间是否存在显著差异。在该检验中，您只研究来自单一样本总体的一个变量。

   • 原假设（H0）： 在卡方拟合优度检验中，原假设认为观察值与期望值之间不存在显著差异。

   • 备择假设（Ha）： 在卡方拟合优度检验中，备择假设认为观察值与期望值之间存在显著差异。

   • 例如：掷一个公平的六面骰 120 次，并得到如下观察频数。

因此，

• H0 = 得到各点数的机会相等，频率相同，或数据与期望一致。

          p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = 1/6
  技术支持

• Ha = 至少有一个 p 不等于 1/6，或数据与期望不一致。

  • 判别与决策规则： 拒绝域始终位于右尾，使用自由度为 (k-1) 的 χ2 分布（k = 类别数）。当 χ2calulated > χ2tabulated 时拒绝 H0，自由度 DOF = k-1。

• 独立性检验： 用于检验两个分类变量是否相互独立。例如：性别与观点是否独立。

H0：行变量与列变量相互独立，或变量之间不存在显著关系。Ha：二者之间的关系显著。

• 判别与决策规则： 拒绝域始终位于右尾，使用自由度为 (r-1)(c-1) 的 χ2 分布（r = 行数，c = 列数）。

  当 χ2calulated > χ2tabulated 时拒绝 H0

  DOF = (r-1)(c-1)

1. 同质性检验： 当您需要检验不同总体的频数是否具有相同分布时，进行同质性检验。举个更贴近实际的例子：在一项调查中，您将收入分为低、中、高三档；调查对象包含不同群体，如男性与女性。在此情形下，您可以进行卡方同质性检验，以判断男性与女性收入分布是否存在显著差异。

H0：各总体的频数分布相同。Ha：各总体的频数分布不同。

• 判别与决策规则： 拒绝域始终位于右尾，使用自由度为 (r-1)(c-1) 的 χ2 分布（r = 行数，c = 列数）。

  当 χ2calulated > χ2tabulated 时拒绝 H0

  DOF = (r-1)(c-1)

卡方检验示例

假设您希望根据缺陷类型与生产班次来归类某制造厂生产的家具缺陷。共记录了 390 个家具缺陷，并将其分为 A、B、C、D 四类。同时，每件有缺陷的家具都按照生产班次进行了标记。

来源： Engineering Statistics 书籍

解读： 您需要考察缺陷类型是否依赖于生产班次。下面我们用 Excel 来解决。

在电子表格中用卡方检验解决该示例

先将数据录入电子表格

定义原假设与备择假设

如上所述，主要目标是检验家具缺陷是否与生产班次相互独立：

• H0 = 缺陷类型与生产班次相互独立
• Ha = 缺陷类型与生产班次相互依赖

计算期望频数

• 在计算期望频数之前，先用 SUM() 函数分别计算每一行的行合计和每一列的列合计。然后计算行合计之和与列合计之和。行合计与列合计的总和应相同。

• 如您所知，期望频数 =（行合计 × 列合计）/ 总计

应用公式时别忘了将单元格设为绝对引用，以便复制粘贴公式到所有期望值位置。

计算卡方统计量

在计算卡方统计量或 p 值之前，先设定显著性水平，即您希望在何种显著性水平下作出判断。设定显著性水平 α = 0.05。同时，自由度 = (r-1)(c-1) = (3-1)(4-1) = 6。

计算卡方统计量有两种方式：使用公式 χ^2 = ∑(O-E)^2/E，或使用 Excel 函数得到卡方统计量。

先用公式计算。为此，您需要在 Excel 中计算 ∑(O-E)^2/E，可按如下步骤进行：

您可以通过复制粘贴将该公式应用到所有单元格，得到全部取值。

要得到 χ^2 的值，对上述所有数值求和，即可得到卡方统计量的计算值。

根据表值与计算值，可以得出缺陷类型与班次时间存在依赖关系的结论。

现在使用 Excel 函数计算。CHISQ.TEST() 函数会返回 p 值，可直接与显著性水平比较以得出结论。

根据 p 值，可以得出缺陷取决于生产班次时间的结论。

优缺点

优点：

• 计算相对简单。
• 可用于名义尺度数据。
• 不对数据分布作出假设。

缺点：

• 观测数量应多于 20。
• 数据必须为频数数据。
• 假设随机抽样，即样本应随机选取。
• 对小频数较为敏感，可能导致错误结论。
• 对样本量也较为敏感。

结语

恭喜您读完本教程！

在本教程中，您系统了解了卡方检验的诸多细节。您学习了什么是卡方检验、卡方检验中使用的术语、卡方检验的类型、卡方检验的示例，以及如何在电子表格中完成一次卡方检验。同时，您还了解了它的优缺点。

希望您现在能够运用卡方检验的概念来进行假设检验。感谢阅读！

欢迎查看我们的 Getting Started with Spreadsheets 教程。

如果您希望在电子表格中进一步学习统计学，欢迎参加 DataCamp 的 Statistics in Spreadsheets 课程。