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Multilevel Modeling: Ein umfassender Leitfaden für Datenwissenschaftler

Entdecke die Bedeutung der Mehrebenenmodellierung bei der Analyse von hierarchischen Datenstrukturen. Lerne, wie du mit festen und zufälligen Effekten die Variabilität innerhalb und zwischen Gruppen berücksichtigen kannst. Wende diese Konzepte an, um tiefere Einsichten in Bereichen wie Bildung, Gesundheitswesen und Sozialwissenschaften zu gewinnen.
Aktualisierte 22. Jan. 2025  · 15 Min. Lesezeit

Wenn wir auf verschachtelte oder hierarchische Daten stoßen, wie z. B. Schüler, die in Klassenräumen gruppiert sind, Patienten, die in Krankenhäusern verschachtelt sind, oder wiederholte Messungen derselben Person im Laufe der Zeit, neigen wir dazu, traditionelle lineare Methoden zur Modellierung zu verwenden. Diese statistischen Standardmodelle können die komplizierten Beziehungen innerhalb solcher verschachtelten Strukturen nicht erfassen, was zu verzerrten Erkenntnissen führt. In solchen Fällen kann die Mehrebenenmodellierung (MLM), auch hierarchische Modellierung oder Modellierung mit gemischten Effekten genannt, sehr nützlich sein, um mit dieser Hierarchie umzugehen, indem der Einfluss von Merkmalen auf Gruppenebene auf die individuellen Ergebnisse berücksichtigt wird.

MLM wird in Bereichen wie Bildung, Gesundheit, Psychologie und Sozialwissenschaften eingesetzt, da es ein differenziertes Verständnis von Daten ermöglicht, das über das hinausgeht, was einstufige Modelle bieten können. Durch die Modellierung von festen und zufälligen Effekten kann MLM die Variabilität innerhalb und zwischen den Gruppen erfassen und so eine umfassendere und genauere Darstellung von realen Phänomenen liefern. In diesem Artikel befassen wir uns mit den Grundlagen der Mehrebenenmodellierung, ihren Anwendungen und den Vorteilen, die sie bei der Analyse komplexer Daten bietet. Wenn du mit diesem Artikel fertig bist, solltest du dir aufunseren sehr empfehlenswerten Kurs über Hierarchische und Gemischte Effektmodelle in R ansehen.

Was ist Multilevel Modeling?

In Bereichen wie den Sozialwissenschaften, der Bildung und der Epidemiologie, in denen die Daten oft natürliche hierarchische Strukturen aufweisen, erweist sich MLM als geeigneter. In diesen Disziplinen werden die Daten meist in Gruppen zusammengefasst: Schüler werden in Klassenzimmern, Patienten in Krankenhäusern oder Umfrageergebnisse in Stadtvierteln gruppiert.

In der Bildungsforschung kann MLM nützlich sein, um zu untersuchen, wie individuelle Schülerleistungen nicht nur von schülerspezifischen Faktoren (z. B. Lerngewohnheiten), sondern auch von Variablen auf Klassen- oder Schulebene (z. B. Lehrerfahrung oder Schulressourcen) beeinflusst werden können. Auch in der Epidemiologie wird mit Hilfe von Mehrebenenmodellen untersucht, wie die individuellen Gesundheitsergebnisse sowohl von persönlichen Merkmalen als auch von der Umgebung, in der der Einzelne lebt, beeinflusst werden, z. B. von Stadtvierteln oder Städten. In den Sozialwissenschaften nutzen Forscher das MLM häufig, um zu untersuchen, wie persönliche Einstellungen sowohl von individuellen Überzeugungen als auch von Gruppennormen geprägt werden.

Während einstufige Modelle davon ausgehen, dass jede Beobachtung unabhängig ist, berücksichtigt MLM die Korrelation innerhalb von Clustern, indem es sowohl feste als auch zufällige Effekte einbezieht. Feste Effekte erfassen systematische, durchschnittliche Beziehungen über den gesamten Datensatz hinweg, während zufällige Effekte die Variabilität innerhalb von Clustern - wie Klassenräumen, Krankenhäusern oder Gemeinden - berücksichtigen. Dieser duale Ansatz kontrolliert nicht nur die Abhängigkeiten innerhalb von Clustern, sondern gibt auch Aufschluss darüber, wie übergeordnete Variablen mit individuellen Merkmalen interagieren.

Wann ist eine mehrstufige Modellierung notwendig?

Traditionelle Regressionsmodelle gehen davon aus, dass der Wert einer Beobachtung nicht durch den Wert einer anderen beeinflusst wird, auch bekannt als Unabhängigkeitsannahme. Diese Annahme kann zutreffen, wenn die Daten von einer homogenen Gruppe erhoben werden, in der sich die Beobachtungen nicht gegenseitig beeinflussen. Diese Annahme wird jedoch bei hierarchischen Daten verletzt, da die Individuen innerhalb von Clustern (wie Klassenzimmern oder Krankenhäusern) einander wahrscheinlich ähnlicher sind als Individuen aus anderen Clustern.

In der Bildungsforschung ist es zum Beispiel so, dass die Schülerinnen und Schüler einer Schule ähnliche Ressourcen, die Qualität des Unterrichts und die lokale Politik nutzen, was zu Abhängigkeiten in ihren Leistungen führt. In Studien zur Gesundheitsversorgung kann es vorkommen, dass Patienten, die im selben Krankenhaus behandelt werden, ein ähnliches Versorgungsniveau erfahren oder ähnlich auf Behandlungen ansprechen, was zu einer Häufung von Gesundheitsergebnissen führt.

Wenn die Unabhängigkeitsannahme bei hierarchischen Daten ignoriert wird, ergeben sich mehrere Probleme:

  • Unterschätzte Standardfehler: Da herkömmliche Modelle von der Annahme der Unabhängigkeit ausgehen, ergeben sie bei geclusterten Daten oft kleinere Standardfehler, was zu allzu optimistischen Schlussfolgerungen über die statistische Signifikanz führt.
  • Falsch geschätzte Koeffizienten: Wird die Clusterbildung nicht berücksichtigt, können die Koeffizientenschätzungen verzerrt werden, was es schwierig macht, die Auswirkungen von Variablen auf individueller und Gruppenebene zu isolieren.

Wie man den Bedarf an einem mehrstufigen Modell erkennt

Ein mehrstufiges Modell ist geeignet, wenn die Daten eines oder mehrere der folgenden Merkmale aufweisen:

  • Die Beobachtungen werden innerhalb größerer Einheiten gruppiert (z. B. Schüler/innen innerhalb von Klassen). Jede Einheit kann, wie gesagt, einzelne Ergebnisse beeinflussen.
  • Beobachtungen innerhalb von Clustern sind einander wahrscheinlich ähnlich. Du kannst dies oft überprüfen, indem du die Intraklassen-Korrelationskoeffizienten (ICC) berechnest, die den Anteil der Varianz messen, der auf Unterschiede auf Gruppenebene zurückzuführen ist.
  • Wenn wir die Auswirkungen von Variablen auf individueller und auf Gruppenebene auf ein Ergebnis verstehen wollen (z. B. die Testergebnisse eines Schülers, die sowohl von der Anstrengung des Schülers als auch von den schulischen Ressourcen beeinflusst werden), ist ein MLM die richtige Wahl.

Lass uns das anhand eines Beispiels verstehen. Stell dir eine Studie vor, in der die schulischen Leistungen von Schülern untersucht werden. In diesem Fall würde ein einstufiges Modell jede Schülerin und jeden Schüler als unabhängige Beobachtung behandeln und die Tatsache außer Acht lassen, dass die Schülerinnen und Schüler innerhalb einer Schule einander ähnlicher sein können als die in anderen Schulen. Mit MLM können wir sowohl Variablen auf individueller Schülerebene (z. B. Lernstunden) als auch Variablen auf Schulebene (z. B. Mittel pro Schüler oder Lehrer-Schüler-Verhältnis) modellieren, um Einflüsse auf beiden Ebenen genau zu erfassen.

Hier erfährst du, wie MLM in einer Vielzahl von realen Szenarien angewendet wird:

  • Im BildungswesenDas MLM wird zur Analyse von Schülerleistungen verwendet, indem Faktoren auf Schülerebene (sozioökonomischer Status, Lerngewohnheiten) und auf Schulebene (Finanzierung, Lehrererfahrung) berücksichtigt werden, um herauszufinden, ob sich schulische Ressourcen über individuelle Unterschiede hinaus auf die Ergebnisse der Schüler auswirken.
  • Im GesundheitswesenMit MLM können Forscher die Ergebnisse von Patienten untersuchen, indem sie Variablen auf Patientenebene (Alter, Gesundheitszustand) und auf Krankenhausebene (Qualität der Einrichtung, Fachwissen des Personals) berücksichtigen und feststellen, ob Krankenhausmerkmale (wie das Verhältnis zwischen Pflegepersonal und Patienten) die Genesungsraten beeinflussen.
  • In Längsschnittstudienist MLM ideal, um individuelle Veränderungen im Zeitverlauf zu verfolgen (z. B. die psychische Gesundheit während der Therapie), denn es berücksichtigt zeitliche und individuelle Faktoren und hilft den Forschern, sowohl Effekte auf der Ebene der Sitzungen als auch des Gesamtfortschritts zu erkennen.
  • Im öffentlichen GesundheitswesenDie MLM hilft dabei, die Ausbreitung von Krankheiten zu verstehen, indem sie individuelle (Impfstatus) und gemeinschaftsbezogene Faktoren (Bevölkerungsdichte, Interventionen) berücksichtigt und klärt, welche gemeinschaftsbezogenen Strategien (z. B. Aufklärungskampagnen) die Übertragung wirksam reduzieren.
  • In der GruppentherapieforschungIn der Gruppentherapieforschung berücksichtigt MLM die individuelle (Selbstwertgefühl, Therapieverpflichtung) und die Gruppendynamik (Zusammenhalt, Erfahrung des Leiters) und zeigt, wie viel Verbesserung auf persönliche und wie viel auf Gruppeneinflüsse zurückzuführen ist, um bessere Therapiestrukturen zu entwickeln.

In all diesen Bereichen erfasst MLM Abhängigkeiten, die bei Modellen auf einer Ebene möglicherweise nicht berücksichtigt werden, was zu Interventionen führt, die sowohl auf die individuellen Bedürfnisse als auch auf breitere strukturelle Faktoren zugeschnitten sind.

Schlüsselkonzepte der Mehrebenenmodellierung

Einige der wichtigsten Komponenten, die MLMs untersuchen, sind feste und zufällige Effekte, Zentrierungstechniken, Kovarianzstrukturen und Datenstrukturen. Wir wollen sie alle verstehen und Hinweise zu ihrer Anwendung und Auslegung geben.

Feste vs. zufällige Effekte

Bei MLMs werden mit fixen Effekten Beziehungen geschätzt, von denen angenommen wird, dass sie über alle Analyseeinheiten hinweg konsistent sind. Diese Koeffizienten werden ähnlich interpretiert wie die in traditionellen Regressionsmodellen und gelten universell für alle Gruppen oder Cluster. Wenn wir zum Beispiel untersuchen, wie sich die Lernzeiten auf die Testergebnisse der verschiedenen Schulen auswirken, würde ein fester Effekt für die Lernzeiten annehmen, dass die Auswirkungen der Lernzeiten für alle Schulen gleich sind.

Auf der anderen Seite ermöglichen zufällige Effekte die Variabilität zwischen Gruppen oder Clustern, indem sie Parameter schätzen, die zwischen diesen Einheiten variieren können. Sie erfassen Abweichungen auf Gruppenebene von den fixen Gesamteffekten, wie z. B. die Tatsache, dass einige Schulen naturgemäß höhere oder niedrigere Durchschnittswerte als andere haben können. Genau wie bei der linearen Regression gibt es Achsen und Steigungen. Die MLM-Zufallseffekte werden durch zufällige Achsen und zufällige Steigungen parametrisiert.

Zufällige Achsen modellieren die Variation der Basislinie (Achsen) zwischen den Clustern. Ein zufälliger Intercept würde zum Beispiel dazu führen, dass jede Schule eine eigene durchschnittliche Testpunktzahl hat, die die Unterschiede in den Ausgangsleistungen der Schulen widerspiegelt.

Zufällige Steigungen erfassen die Beziehung zwischen einer unabhängigen Variable und der abhängigen Variable über Cluster hinweg. Wenn die Wirkung der Lernzeiten auf die Testergebnisse von einer Schule zur anderen variiert, kann dies mit zufälligen Steigungen modelliert werden, wobei jede Schule ihre eigene Beziehung zwischen Lernzeiten und Testergebnissen haben wird.

Wann werden feste und zufällige Effekte verwendet?

Feste Effekte werden in der Regel verwendet, wenn wir von einer einheitlichen Beziehung zwischen allen Clustern ausgehen, während zufällige Effekte nützlich sind, wenn wir Unterschiede zwischen den Gruppen erwarten. Zufällige Steigungen sind vor allem dann wertvoll, wenn es Hinweise darauf gibt, dass sich die Beziehung zwischen Prädiktoren und Ergebnissen in verschiedenen Clustern ändert.

Großer Mittelwert vs. Gruppenmittelwert-Zentrierung

Die Zentrierung ist eine Technik, mit der Prädiktoren angepasst und die Interpretierbarkeit von Mehrebenenmodellen verbessert werden kann.

  • Grand-Mean Centering: Bei der Großmittelzentrierung wird jede Prädikatorvariable um den Gesamtmittelwert (Mittelwert über alle Cluster) zentriert. Diese Methode hilft bei der Interpretation des Achsenabschnitts als das vorhergesagte Ergebnis für eine Gruppe auf dem durchschnittlichen Niveau des Prädiktors.
    Beispiel: Nehmen wir an, wir untersuchen die Auswirkungen der Lernzeiten auf die Testergebnisse verschiedener Schulen. Indem wir die Lernzeiten um den großen Mittelwert zentrieren, interpretieren wir den festen Effekt der Lernzeiten als durchschnittlichen Effekt über alle Schulen hinweg.
  • Gruppen-Mittelwert-Zentrierung: Bei der Gruppenmittelwert-Zentrierung wird jeder Prädiktor um den Mittelwert innerhalb seiner jeweiligen Gruppe oder seines Clusters zentriert. Dieser Ansatz hilft dabei, zwischen den Auswirkungen der Prädiktoren innerhalb und zwischen den Clustern zu unterscheiden, was nützlich ist, wenn wir uns dafür interessieren, wie Variationen innerhalb eines Clusters das Ergebnis beeinflussen.
    Beispiel: Die Zentrierung der Lernzeiten auf den Gruppenmittelwert ermöglicht es uns, die Auswirkungen der individuellen Lernzeiten im Verhältnis zum Durchschnitt der Schule zu interpretieren und so die Effekte innerhalb der Schule von den Unterschieden zwischen den Schulen zu trennen.

Wahl zwischen Großmittel- und Gruppenmittelwert-Zentrierung

Die Grand-Mean-Zentrierung ist geeignet, wenn wir an der Wirkung der Prädiktoren im Verhältnis zum Gesamtpopulationsmittelwert interessiert sind. Die Zentrierung des Gruppenmittelwerts ist hingegen nützlich, wenn es darauf ankommt, Effekte innerhalb der Gruppe von Effekten zwischen den Gruppen zu trennen. Wenn wir z. B. die Lernzeiten der Schüler/innen im Kontext der durchschnittlichen Lernzeit ihrer Schule vergleichen wollen, verdeutlicht die Gruppenmittelwertzentrierung diese Vergleiche innerhalb der Gruppe.

Kovarianzmatrizen

Kovarianzmatrizen in MLMs sind wichtig, um die Variabilität innerhalb und zwischen Clustern zu verstehen. Sie sind der Schlüssel zur Interpretation der Struktur von Zufallseffekten und Residuen:

  • Die residuale Kovarianzmatrix bildet die Korrelation zwischen den Beobachtungen innerhalb der Cluster ab, die von der Modellierung mit festen oder zufälligen Effekten nicht erfasst wird.
  • Die Kovarianzmatrix für zufällige Effekte bildet die Variabilität der zufälligen Effekte ab, einschließlich der zufälligen Achsen und Steigungen sowie der Modellabhängigkeiten zwischen den Clustern. Bei einem Modell mit zufälligen Steigungen würde diese Matrix zum Beispiel zeigen, wie die Steigung von einem Cluster zum anderen variiert.

Die Bedeutung der Kovarianz im MLM

Die Kovarianzstruktur im MLM ermöglicht es dem Modell, Standardfehler und Koeffizienten korrekt zu schätzen und die Abhängigkeiten innerhalb geclusterter Daten zu berücksichtigen. Die Angabe einer geeigneten Kovarianzstruktur trägt dazu bei, dass das Modell die Beziehungen innerhalb und zwischen den Clustern genau widerspiegelt, was zu zuverlässigeren Schlussfolgerungen führt.

Verschachtelte vs. klassenübergreifende Strukturen

Die Identifizierung der Datenstruktur, egal ob sie verschachtelt oder klassenübergreifend ist, spielt eine große Rolle bei der Erstellung eines genauen MLM:

  • Geschachtelte Strukturen sind Strukturen, bei denen eine Datenebene vollständig in einer anderen (übergeordneten) Ebene enthalten ist, z. B. Schüler innerhalb von Schulen.
  • Übergreifende Strukturen lassen sich nicht in eine einzige Hierarchie einordnen, da Einheiten der unteren Ebene zu mehreren Einheiten der oberen Ebene gehören können. Diese Struktur erfordert eine komplexere Modellierung. Ein gutes Beispiel ist die Bildungsforschung, bei der Schüler/innen mehreren Klassen angehören können, z. B. der Nachbarschaft und dem Schulbezirk. Jeder Schüler hat eine einzigartige Kombination aus Stadtteil und Schule, was zu einer klassenübergreifenden Struktur führt.

Die richtige Struktur bestimmen

Um die Struktur zu bestimmen, prüfe, ob jede Einheit auf der unteren Ebene zu einer einzigen übergeordneten Einheit (verschachtelt) oder zu mehreren Einheiten (übergreifend) gehört. Die richtige Struktur hilft sicherzustellen, dass das MLM die realen Datenabhängigkeiten erfasst und aussagekräftige Erkenntnisse liefert.

Multilevel-Modelle implementieren

Jetzt werden wir MLM in R implementieren, indem wir das lme4 Paket mit der unten beschriebenen Schritt-für-Schritt-Anleitung.

Schritt 1: Daten einrichten

Lass uns synthetische Daten erstellen, die verschachtelt sind. Hier sind die Schüler innerhalb der Schulen verschachtelt, jede Zeile steht für einen einzelnen Schüler und es gibt eine Gruppierungsvariable für die Schulen.

# Create the data frame
our_multilevel_data <- data.frame(
  StudentID = 1:20,
  SchoolID = c("A", "A", "B", "B", "A", "A", "B", "B", "A", "B", 
               "A", "C", "C", "C", "C", "A", "B", "C", "B", "C"),
  StudyHours = c(5, 3, 4, 6, 2, 7, 5, 8, 6, 3, 
                 4, 5, 6, 2, 7, 9, 2, 8, 4, 3),
  TestScore = c(80, 70, 85, 90, 60, 95, 88, 92, 85, 75, 
                72, 78, 83, 65, 89, 96, 67, 91, 79, 68)
)

# Display the first 5 rows of the data frame
head(our_multilevel_data, 5)
StudentID SchoolID StudyHours TestScore
1 A 5 80
2 A 3 70
3 B 4 85
4 B 6 90
5 A 2 60

Schritt 2: Installieren und Laden der lme4-Bibliothek

Die Bibliothek lme4 wird häufig für die Multilevel-Modellierung in R verwendet. Installiere und lade sie wie folgt:

# Install lme4 if you haven't already
install.packages("lme4")

# Load the library
library(lme4)

Schritt 3: Anpassen eines zweistufigen zufälligen Abschnittsmodells

In diesem Beispiel modellieren wir TestScore als Ergebnisvariable und StudyHours als Prädiktor, wobei wir die Unterschiede zwischen den Schulen berücksichtigen (zufälliger Intercept). Bei diesem Modell wird für jede Schule ein Intercept geschätzt, so dass jede Schule einen eigenen Basiswert hat.

Die Formelsyntax in lme4 verwendet (1 | SchoolID) um einen zufälligen Intercept für die Gruppierungsvariable anzugeben SchuleID.

# Fit a two-level random intercept model
our_multilevel_model <- lmer(TestScore ~ StudyHours + (1 | SchoolID), data = our_multilevel_data)

Dieses Modell beinhaltet:

  • Fixer Effekt für Studienzeiten: Schätzt den durchschnittlichen Effekt der Lernzeiten auf die Testergebnisse aller Schulen.
  • Random Intercept for SchoolID: Ermöglicht es, dass der Intercept (die Basis-Testnote) je nach Schule variiert.

Schritt 4: Zusammenfassung und Modellergebnisse

Nachdem du das Modell angepasst hast, kannst du die Ergebnisse mit der summary() Funktion, die Schätzungen für feste Effekte, Varianzkomponenten und Standardfehler liefert.

# Summary of the model
summary(our_multilevel_model)
Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: TestScore ~ StudyHours + (1 | SchoolID)
   Data: data

REML criterion at convergence: 105.7

Scaled residuals: 
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1.81620 -0.59553  0.03922  0.27094  1.86051 

Random effects:
 Groups   Name        Variance Std.Dev.
 SchoolID (Intercept)  9.41    3.068   
 Residual             11.17    3.343   
Number of obs: 20, groups:  SchoolID, 3

Fixed effects:
            Estimate Std. Error t value
(Intercept)  56.7194     2.6280   21.58
StudyHours    4.7643     0.3612   13.19

Correlation of Fixed Effects:
           (Intr)
StudyHours -0.682

Diese Ausgabe liefert:

  • Fixe Effekte: Koeffizienten (Schätzungen) für StudyHours, die die durchschnittliche Auswirkung der Lernzeiten auf die Testergebnisse zeigen.

  • Zufällige Effekte: Varianzkomponenten für den Intercept, die die Varianz zwischen den Schulen erfassen.

  • Residuale Varianz: Varianz innerhalb der Schule (Fehlerterm).

Schritt 5: Interpretation der wichtigsten Ergebnisse

Nun zum Verständnis der Ergebnisse:

Schätzungen mit festem Effekt

Die festen Effekte in der Zusammenfassung sagen uns, wie Studienzeiten beeinflusst. TestScore im Durchschnitt der Schulen auswirkt.

  • Abfangen: Das durchschnittliche Testergebnis für Schüler mit null Lernstunden.
  • Slope (StudyHours): Die durchschnittliche Steigerung der Testergebnisse für jede zusätzliche Lernstunde. Diese Schätzung gilt für alle Schulen.

Varianzkomponenten für zufällige Effekte

Zufällige Effekte stellen die Variabilität auf Gruppenebene dar (z. B. zwischen Schulen). In der Ausgabe zeigt die Random Intercept Variance (SchoolID) von 9,14 an, wie sehr sich die Schulen in ihren durchschnittlichen Testergebnissen unterscheiden (sd von ~3), was die Unterschiede in den Ausgangsleistungen zwischen den Schulen erfasst.

Residuale Varianz

Die Restvarianz von 11,17 stellt die Varianz innerhalb der Gruppe dar (z. B. Unterschiede zwischen Schülern innerhalb derselben Schule).

Intraklassen-Korrelationskoeffizient (ICC)

Der ICC quantifiziert den Anteil der Varianz zwischen den Gruppen und hilft dabei, die Notwendigkeit von MLM zu beurteilen. Ein hoher ICC deutet darauf hin, dass ein erheblicher Teil der Variabilität des Ergebnisses auf Unterschiede zwischen den Gruppen zurückzuführen ist.

Berechnen wir die ICC wie folgt:

# Extract variance components
school_variance <- as.numeric(VarCorr(our_multilevel_model)$SchoolID[1])
residual_variance <- attr(VarCorr(our_multilevel_model), "sc")^2

# Calculate ICC
ICC <- school_variance / (school_variance + residual_variance)
ICC
0.4571434

Ein ICC nahe 1 zeigt an, dass der Großteil der Variabilität auf der Gruppenebene liegt, während ein Wert nahe 0 darauf hindeutet, dass die Variabilität innerhalb der Gruppe dominiert. ICCs über 0,1 oder 0,2 deuten in der Regel auf die Notwendigkeit eines mehrstufigen Ansatzes hin. Hier erhalten wir einen ICC von ~0,46, was die Verwendung des MLM-Ansatzes erforderlich macht.

Schritt 6: Zusätzliche Modellanpassungen

Wir können dann einige Modellanpassungen vornehmen.

Zufällige Pisten hinzufügen

Wenn der Effekt von LernStunden von Schule zu Schule variiert (einige Schulen können eine stärkere oder schwächere Beziehung aufweisen), fügen wir eine zufällige Steigung für LernStunden:

# Model with random slope for StudyHours
model_slope <- lmer(TestScore ~ StudyHours + (StudyHours | SchoolID), data = our_multilevel_data)

Dieses Modell schätzt für jede Schule eine eigene Steigung, sodass die Beziehung zwischen Lernstunden und Testergebnissen von Schule zu Schule variieren kann.

Modellvergleich

Verwenden wir die anova() Funktion, um Modelle mit und ohne zufällige Steigungen zu vergleichen und zu prüfen, ob die zusätzliche Komplexität die Modellanpassung verbessert.

# Compare models
anova(our_multilevel_model, model_slope)
Data: data
Models:
model: TestScore ~ StudyHours + (1 | SchoolID)
model_slope: TestScore ~ StudyHours + (StudyHours | SchoolID)
            npar    AIC    BIC  logLik deviance  Chisq Df Pr(>Chisq)
model          4 116.44 120.43 -54.221   108.44                     
model_slope    6 119.31 125.28 -53.655   107.31 1.1331  2     0.5675

Ein signifikanter Unterschied zeigt an, dass die zufällige Steigung das Modell verbessert. Es gibt keinen signifikanten Unterschied, wenn man eine durch AIC- und BIC-Zahlen angegebene Steigung addiert.

Fortgeschrittene Themen der Mehrebenenmodellierung

Der Einsatz von Bayes'schen Ansätzen und fortschrittlichen Datenstrukturen im MLM kann bessere Erkenntnisse liefern, insbesondere wenn es um differenzierte Datenmuster geht. Hier findest du einen Überblick über fortgeschrittene MLM-Techniken, die über die normalen hierarchischen Strukturen hinausgehen.

1. Zufällige Steigungen und stufenübergreifende Interaktionen

Ebenenübergreifende Interaktionen

Mit Hilfe von Wechselwirkungen zwischen den Ebenen können wir untersuchen, wie sich die Beziehungen auf einer Ebene (z. B. Individuum) in Abhängigkeit von Faktoren auf einer höheren Ebene (z. B. Gruppen) verändern können. Diese Wechselwirkungen sind signifikant, wenn die Wirkung eines untergeordneten Prädiktors von einem übergeordneten Merkmal abhängt.

Beispiel: Nehmen wir an, wir untersuchen den Zusammenhang zwischen Lernzeiten und Testergebnissen von Schülern in verschiedenen Schulen. Eine ebenenübergreifende Interaktion könnte uns helfen zu verstehen, ob sich der Effekt der Lernstunden auf die Testergebnisse in Abhängigkeit von schulischen Variablen wie der Schulfinanzierung oder der durchschnittlichen Lehrerfahrung verändert.

In diesem Fall:

  • Eine zufällige Steigung für die Lernzeiten würde es ermöglichen, dass der Effekt der Lernzeiten von einer Schule zur anderen variiert.
  • Eine stufenübergreifende Interaktion würde helfen, zu modellieren, ob der Zusammenhang zwischen Lernstunden und Testergebnissen in Schulen mit höherer Finanzierung stärker ist.

Ebenenübergreifende Interaktionen sind besonders nützlich, wenn Gruppenkontexte (wie Schulen oder Regionen) das Verhalten des Einzelnen beeinflussen können.

Verwendung von Zufallssteigungen zur Erfassung von Wechselwirkungen

Zufällige Steigungen ermöglichen es uns, die Variabilität in der Beziehung zwischen Prädiktoren und Ergebnissen zwischen den Gruppen zu modellieren. Diese Technik ist nützlich, wenn wir vermuten, dass der Effekt eines Prädiktors (z. B. Lernstunden) nicht gleichmäßig über alle Gruppen (z. B. Schulen) hinweg ist. Durch die Angabe einer zufälligen Steigung kann das Modell diese gruppenspezifischen Unterschiede erfassen.

Verwende Zufallspisten, wenn:

  • Es gibt Hinweise darauf, dass der Zusammenhang zwischen einem Prädiktor und dem Ergebnis in den verschiedenen Gruppen stark variiert.
  • Du bist daran interessiert zu verstehen, wie sich die Effekte auf individueller Ebene zwischen den Gruppen unterscheiden und ob Variablen auf Gruppenebene diese Effekte abschwächen.

2. Mehrebenenmodelle jenseits hierarchischer Strukturen

Traditionelle MLMs gehen von einer strengen Hierarchie aus, aber die Daten beinhalten oft komplexere Strukturen, in denen Einzelpersonen zu mehreren Gruppen gehören können, die nicht in eine einfache Hierarchie passen.

Kreuzklassifizierte Modelle

Kreuzklassenmodelle sind für Situationen gedacht, in denen untergeordnete Einheiten gleichzeitig in zwei oder mehr übergeordnete Gruppen eingeordnet sind. Im Gegensatz zu streng hierarchischen Strukturen berücksichtigen diese Modelle die Zugehörigkeit von Individuen zu mehreren Klassifizierungen, so dass jede Klassifizierung ihren eigenen Einfluss auf das Ergebnis haben kann.

Stell dir zum Beispiel vor, dass die Schüler in der Bildungsforschung sowohl in Stadtteilen als auch in Schulen untergebracht sind. Einige Schülerinnen und Schüler können andere Schulen besuchen als ihre Nachbarn, wodurch eine Struktur entsteht, in der die Personen nicht nur in einer Gruppe, sondern in zwei klassenübergreifenden Gruppen eingeordnet sind.

In solchen Fällen behandelt das Modell Stadtteile und Schulen als separate, aber übergreifende Varianzquellen, die es den Forschern ermöglichen, die Auswirkungen beider Klassifizierungen auf das Ergebnis zu schätzen. Dieser Ansatz ist in Studien üblich, in denen Menschen mit mehr als einer sozialen oder geografischen Gruppe interagieren.

Wann sollte man klassenübergreifende Modelle verwenden?

Kreuzklassifizierte Modelle sind geeignet, wenn:

  • Einzelpersonen oder untergeordnete Einheiten werden von mehreren übergeordneten Einheiten beeinflusst (z. B. werden Schüler/innen sowohl vom schulischen als auch vom nachbarschaftlichen Kontext beeinflusst).
  • Wir wollen verstehen, wie jede Klassifizierung zur Variabilität des Ergebnisses beiträgt, insbesondere wenn diese Klassifizierungen keine strenge Hierarchie bilden.

3. Bayes'sche Methoden für mehrstufige Modelle

Die Bayes'sche Mehrebenenmodellierung ist ein probabilistischer Ansatz für MLMs, der besonders bei komplexen oder kleinen Datensätzen nützlich ist.

Vorteile der bayesianischen Mehrebenenmodellierung

Das Bayes'sche MLM bietet mehrere Vorteile gegenüber frequentistischen Ansätzen:

  • Verbesserte Schätzungen bei kleinen Stichproben: Bayes'sche Methoden können zu zuverlässigeren Schätzungen führen, wenn der Stichprobenumfang begrenzt oder die Daten spärlich sind, indem sie das Modell mit Hilfe von Prioritätsverteilungen informieren.
  • Flexibilität bei komplexen Modellen: Bayes'sche Ansätze können komplexere Modelle, wie z.B. solche mit mehreren zufälligen Effekten oder komplexen Kovarianzstrukturen, leichter handhaben.
  • Schätzung der Unsicherheit: Bayes'sche Methoden liefern vollständige Posterior-Verteilungen für Parameter, was eine umfassendere Interpretation der Unsicherheit von Schätzungen ermöglicht.

Beim Bayes'schen MLM liefert das Modell keine Punktschätzungen, sondern Verteilungen möglicher Werte, die es uns ermöglichen, Unsicherheiten auszudrücken und probabilistische Aussagen über Parameterwerte zu machen. Wir können zum Beispiel sagen, dass die tatsächliche Auswirkung der Lernzeiten auf die Testergebnisse mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % innerhalb eines bestimmten Bereichs liegt.

Werkzeuge für die Bayes'sche Mehrebenenmodellierung

Beliebte Werkzeuge für Bayes'sches MLM sind:

  • Stan: Stan ist ein leistungsfähiges Werkzeug für die Bayes'sche Modellierung, das oft über R-Schnittstellen wie rstanarm und brms verwendet wird, die das Bayes'sche MLM erleichtern, indem sie einen Großteil des Modellaufbaus automatisieren.

  • PyMC3: PyMC3 wird in Python häufig für die Bayes'sche Modellierung verwendet und bietet Flexibilität für die Erstellung eigener Bayes'scher MLMs.

Sowohl Stan als auch PyMC3 verwenden Markov-Chain-Monte-Carlo-Methoden (MCMC ), um Stichproben aus Posterior-Verteilungen zu ziehen. Das ist zwar rechenintensiv, liefert aber präzise Parameterschätzungen, die besonders in mehrstufigen Kontexten nützlich sind.

Beispiel für einen Anwendungsfall: Bayesianisches MLM im Gesundheitswesen

Betrachte ein Bayes'sches MLM, das auf die Genesungszeiten von Patienten in mehreren Krankenhäusern angewendet wird. Wenn wir Faktoren wie die Art der Behandlung und die Erfahrung des Arztes untersuchen, kann das Bayes'sche MLM eine Wahrscheinlichkeitsspanne dafür liefern, wie stark der Behandlungsansatz des jeweiligen Krankenhauses die Genesung beeinflusst. Dieser Ansatz ermöglicht es den Forschern, die Unsicherheit zu quantifizieren und glaubwürdige Intervalle für die Schätzungen der Genesungszeiten in den verschiedenen Krankenhäusern zu erstellen. Dies ist besonders wertvoll für medizinische und psychologische Studien, bei denen ein hohes Vertrauen in die Schätzungen entscheidend ist.

Häufige Fallstricke und bewährte Praktiken

Einige Überlegungen zum Umgang mit hierarchischen Daten können bei der Arbeit mit MLMs sehr hilfreich sein.

  • Kleine Stichprobengrößen auf höheren Ebenen: MLM erfordert eine ausreichende Anzahl von Gruppen oder Clustern, um die Variabilität zwischen den Gruppen genau zu schätzen. Bei weniger als 30 Clustern können die Schätzungen der Zufallseffekte und Standardfehler unzuverlässig sein. Wenn die Anzahl der Cluster begrenzt ist, solltest du einfachere Modelle oder das Bayes'sche MLM in Betracht ziehen, das durch die Einbeziehung von Vorabinformationen besser mit kleinen Stichprobengrößen umgehen kann.
  • Fehlinterpretation von Zufallseffekten: Zufällige Effekte spiegeln die Unterschiede zwischen den Gruppen wider, nicht die individuellen Ergebnisse. Sie als Effekte auf individueller Ebene zu interpretieren, kann zu falschen Schlussfolgerungen führen. Konzentriere dich darauf, zu verstehen, ob die Variabilität zwischen den Clustern für den Kontext deiner Studie sinnvoll ist.
  • Falsche Spezifikation der Kovarianzstruktur: Bei Modellen mit zufälligen Steigungen kann die fehlende Angabe einer geeigneten Kovarianzstruktur zu einer verzerrten Schätzung führen. Verwende anfangs einfachere Strukturen und erkunde bei Bedarf komplexere Strukturen. Tools wie Likelihood-Ratio-Tests können dabei helfen, festzustellen, ob eine zusätzliche Komplexität gerechtfertigt ist.
  • Richtlinien zur Zentrierung: Um die Interpretierbarkeit zu verbessern, wird in der Regel empfohlen, die Prädiktoren zu zentrieren, vor allem bei Modellen mit stufenübergreifenden Wechselwirkungen. Die Zentrierung des Gruppenmittelwerts kann die Beziehungen innerhalb der Gruppe verdeutlichen, sollte aber nur verwendet werden, wenn diese Beziehungen von besonderem Interesse sind.
  • Interpretation von Zufallsabschnitten: Zufällige Intercepts erfassen die Unterschiede zwischen den Gruppen beim Ausgangsniveau der Ergebnisvariablen. Sie ermöglichen gruppenspezifische Basislinien, aber zu komplexe zufällige Abschnittsstrukturen können zu einer Überanpassung führen. Interpretiere die Zufallsabschnitte vorsichtig und achte darauf, ob sie eine aussagekräftige Varianz aufweisen.

MLM ist möglicherweise nicht notwendig, wenn der Intraklassen-Korrelationskoeffizient (ICC) sehr niedrig (nahe Null) ist, was auf eine minimale Varianz zwischen den Gruppen hinweist. Wenn du nur sehr wenige Cluster hast (z. B. weniger als 10), bringt dir die zusätzliche Komplexität des MLM möglicherweise keine Vorteile gegenüber einfacheren Ansätzen.

Fazit

Bisher haben wir gelernt, dass mehrstufige Modelle einen nützlichen Rahmen für die Analyse hierarchischer Daten bieten und die Komplexität berücksichtigen, die entsteht, wenn Datenpunkte innerhalb größerer Einheiten gruppiert werden. Da MLMs sowohl Effekte auf individueller als auch auf Gruppenebene erfassen, können Forscher verschachtelte Strukturen berücksichtigen, die bei Modellen auf einer Ebene oft übersehen werden. Die festen und zufälligen Effekte, die Varianzkomponenten und die Intraklassen-Korrelationskoeffizienten ermöglichen es uns, die Variabilität auf verschiedenen Ebenen zu quantifizieren und zu bewerten, wie die Beziehungen variieren.

Als nächsten Schritt kannst du unseren sehr umfassenden Kurs Hierarchische und gemischte Effektmodelle in R besuchen. Du wirst sehen, dass Daten häufig komplexe Beziehungen über mehrere Ebenen hinweg aufweisen, und du wirst schätzen lernen, dass MLMs in der Lage sind, mit geclusterten Strukturen umzugehen, egal ob streng hierarchisch oder klassenübergreifend, was deiner Analyse mehr Tiefe und Genauigkeit verleiht. Deshalb sind Mehrebenenmodelle ein wertvolles Instrument für fundierte Entscheidungen und die Entwicklung von Strategien. Ich empfehle auch unseren Lernpfad zum Statistiker in R, auf dem man viel lernt.

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Vidhi Chugh
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Ich bin KI-Stratege und Ethiker und arbeite an der Schnittstelle von Datenwissenschaft, Produkt und Technik, um skalierbare maschinelle Lernsysteme zu entwickeln. Als einer der "Top 200 Business and Technology Innovators" der Welt bin ich auf der Mission, das maschinelle Lernen zu demokratisieren und den Fachjargon zu überwinden, damit jeder an diesem Wandel teilhaben kann.

FAQs zur Mehrebenenmodellierung

Was ist Multilevel Modeling (MLM) und warum wird es eingesetzt?

Die Mehrebenenmodellierung (MLM), auch bekannt als hierarchische oder Mixed-Effects-Modellierung, ist ein statistisches Verfahren zur Analyse von Daten mit verschachtelten oder hierarchischen Strukturen. Es wird verwendet, um Abhängigkeiten in geclusterten Daten zu berücksichtigen (z. B. Schüler/innen innerhalb von Schulen, Patient/innen innerhalb von Krankenhäusern), indem sowohl Variationen auf Gruppenebene als auch auf individueller Ebene modelliert werden, was genauere Erkenntnisse liefert als Modelle auf einer Ebene.

Wann sollte ich ein Mehrebenenmodell einem normalen Regressionsmodell vorziehen?

MLM wird empfohlen, wenn deine Daten eine hierarchische oder geclusterte Struktur aufweisen und der Intraklassen-Korrelationskoeffizient (ICC) auf eine erhebliche Varianz auf Gruppenebene hinweist. MLM ist z. B. nützlich, wenn Daten analysiert werden, bei denen einzelne Beobachtungen in größeren Einheiten verschachtelt sind, wie z. B. Schüler in Klassenräumen oder Mitarbeiter in Unternehmen, um Abhängigkeiten innerhalb von Gruppen zu berücksichtigen.

Was ist der Unterschied zwischen festen und zufälligen Effekten bei der Mehrebenenmodellierung?

Feste Effekte schätzen Zusammenhänge, von denen angenommen wird, dass sie über alle Gruppen hinweg konsistent sind, während zufällige Effekte die Unterschiede zwischen den Gruppen erfassen. Ein fester Effekt könnte zum Beispiel den durchschnittlichen Effekt der Lernzeit auf die Testergebnisse aller Schulen messen, während ein zufälliger Effekt jeder Schule eine eigene Ausgangsbasis oder eine eigene Beziehung zwischen Lernzeit und Testergebnissen ermöglicht.

Was sind ebenenübergreifende Interaktionen und warum sind sie im MLM wichtig?

Ebenenübergreifende Wechselwirkungen treten auf, wenn die Beziehung zwischen einem niedrigeren Prädiktor (z. B. Lernstunden) und einem Ergebnis (z. B. Testergebnisse) in Abhängigkeit von einem höheren Merkmal (z. B. der Schulfinanzierung) variiert. Diese Wechselwirkungen helfen dabei, zu erfassen, wie Faktoren auf Gruppenebene die Beziehungen auf individueller Ebene beeinflussen, und ermöglichen ein differenzierteres Verständnis der Daten.

Welche Tools und Software kann ich verwenden, um MLM zu implementieren, insbesondere für komplexe oder Bayes'sche Modelle?

Für frequentistische MLMs ist das Paket lme4 in R beliebt, weil es die Anpassung von mehrstufigen Modellen erleichtert. Für Bayes'sche MLMs werden Tools wie Stan (verwendet über rstanarm oder brms in R) und PyMC3 in Python empfohlen, da sie Flexibilität und die Fähigkeit zur Schätzung von Posterior-Verteilungen bieten, was sie ideal für komplexe Modelle oder Daten mit kleineren Stichprobengrößen macht.

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