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Modélisation multiniveaux : Un guide complet pour les scientifiques des données

Découvrez l'importance de la modélisation multiniveaux dans l'analyse des structures de données hiérarchiques. Apprenez à tenir compte de la variabilité au sein des groupes et entre eux à l'aide d'effets fixes et aléatoires. Appliquez ces concepts pour découvrir des idées plus profondes dans des domaines tels que l'éducation, les soins de santé et les sciences sociales.
Actualisé 22 janv. 2025  · 15 min de lecture

Souvent, lorsque nous trouvons des données imbriquées ou hiérarchiques, telles que des étudiants regroupés dans des salles de classe, des patients imbriqués dans des hôpitaux, ou des mesures répétées d'un même individu au fil du temps, nous avons tendance à utiliser des méthodologies linéaires traditionnelles pour la modélisation. Ces modèles statistiques standard ne peuvent pas saisir les relations complexes au sein de ces structures imbriquées, ce qui conduit à des conclusions biaisées. Dans ce cas, la modélisation multiniveaux (MLM), également appelée modélisation hiérarchique ou à effets mixtes, peut s'avérer très utile pour gérer cette hiérarchie en tenant compte de l'influence des caractéristiques du groupe sur les résultats individuels.

La MLM trouve son application dans des domaines tels que l'éducation et les soins de santé, la psychologie et les sciences sociales, car elle permet une compréhension nuancée des données qui va au-delà de ce que les modèles à niveau unique peuvent offrir. En modélisant à la fois les effets fixes et aléatoires, la MLM peut capturer la variabilité à l'intérieur des groupes et entre les groupes, fournissant ainsi une représentation plus riche et plus précise des phénomènes du monde réel. Dans cet article, nous allons explorer les principes fondamentaux de la modélisation multiniveau, ses applications et les avantages qu'elle apporte à l'analyse de données complexes. Lorsque vous aurez terminé cet article, dconsultez notre cours complet sur les modèles hiérarchiques et à effets mixtes dans R, que nous vous recommandons vivement.

Qu'est-ce que la modélisation multiniveaux ?

Dans des domaines tels que les sciences sociales, l'éducation et l'épidémiologie, où les données présentent souvent des structures hiérarchiques naturelles, la MLM s'avère plus adaptée. Dans ces disciplines, les données sont le plus souvent regroupées : les élèves sont regroupés dans des salles de classe, les patients dans des hôpitaux ou les réponses à des enquêtes dans des quartiers.

Parlons de la recherche en éducation, où le MLM peut être utile pour étudier comment les performances individuelles des élèves peuvent être influencées non seulement par des facteurs propres à l'élève (comme les habitudes d'étude), mais aussi par des variables au niveau de la classe ou de l'école (comme l'expérience de l'enseignant ou les ressources de l'école). De même, en épidémiologie, les modèles multiniveaux analysent la manière dont les résultats sanitaires individuels sont influencés à la fois par les caractéristiques personnelles et par les environnements dans lesquels les individus vivent, tels que les quartiers ou les villes. En sciences sociales, les chercheurs utilisent souvent la MLM pour examiner comment les attitudes personnelles sont façonnées à la fois par les croyances individuelles et par les normes au niveau du groupe.

Alors que les modèles à niveau unique supposent que chaque observation est indépendante, le MLM tient compte de la corrélation au sein des grappes en incluant des effets fixes et aléatoires. Les effets fixes saisissent les relations systématiques et moyennes dans l'ensemble des données, tandis que les effets aléatoires tiennent compte de la variabilité au sein des groupes, tels que les salles de classe, les hôpitaux ou les communautés. Cette double approche permet non seulement de contrôler les dépendances au sein des grappes, mais aussi de comprendre comment les variables de niveau supérieur interagissent avec les caractéristiques individuelles.

Quand la modélisation multiniveau est-elle nécessaire ?

Les modèles de régression traditionnels supposent que la valeur d'une observation n'est pas influencée par la valeur d'une autre observation, ce que l'on appelle l'hypothèse d'indépendance. Cette hypothèse peut se vérifier lorsque les données sont collectées auprès d'un groupe homogène où les observations n'ont pas d'incidence les unes sur les autres. Toutefois, cette hypothèse n'est pas respectée dans les données hiérarchiques, car les individus au sein des groupes (comme les salles de classe ou les hôpitaux) sont susceptibles d'être plus semblables les uns aux autres qu'aux individus d'autres groupes.

Par exemple, dans le domaine de la recherche en éducation, les élèves d'une même école partagent des ressources similaires, la même qualité d'enseignement et les mêmes politiques locales, ce qui crée des dépendances dans leurs performances. Dans les études sur les soins de santé, les patients traités dans le même hôpital peuvent bénéficier de niveaux de soins similaires ou réagir de la même manière aux traitements, ce qui introduit des regroupements dans les résultats de santé.

Lorsque l'hypothèse d'indépendance est ignorée dans les données hiérarchiques, plusieurs problèmes se posent :

  • Erreurs standard sous-estimées: Comme les modèles traditionnels supposent l'indépendance, ils produisent souvent des erreurs standard plus petites dans les données groupées, ce qui conduit à des conclusions trop optimistes quant à la signification statistique.
  • Coefficients mal estimés: Le fait de ne pas tenir compte des regroupements peut fausser les estimations des coefficients, ce qui rend difficile l'isolement des effets des variables au niveau de l'individu et au niveau du groupe.

Comment identifier la nécessité d'un modèle multiniveau ?

Un modèle multiniveau est approprié lorsque les données présentent une ou plusieurs des caractéristiques suivantes :

  • Les observations sont regroupées au sein d'unités plus larges (par exemple, les élèves au sein des classes). Chaque unité peut influencer les résultats individuels, comme nous l'avons dit.
  • Les observations au sein des grappes sont susceptibles d'être similaires les unes aux autres. Vous pouvez souvent le vérifier en calculant les coefficients de corrélation intraclasse (CCI), qui mesurent la proportion de la variance due aux différences au niveau du groupe.
  • Si nous voulons comprendre l'impact des variables au niveau individuel et au niveau du groupe sur un résultat (par exemple, les résultats des élèves aux tests sont influencés à la fois par l'effort de l'élève et les ressources de l'école), un MLM est un choix approprié.

Comprenons-le par un exemple. Imaginez une étude portant sur les résultats scolaires des étudiants. Dans ce cas, un modèle à un seul niveau traiterait chaque élève comme une observation indépendante, sans tenir compte du fait que les élèves d'une même école peuvent être plus semblables entre eux qu'avec ceux d'autres écoles. Grâce à la MLM, nous pouvons modéliser à la fois des variables individuelles au niveau de l'élève (telles que les heures passées à étudier) et des variables au niveau de l'école (telles que le financement par élève ou les ratios enseignants-élèves) afin de saisir avec précision les influences à ces deux niveaux.

Voici comment le MLM est appliqué dans divers scénarios du monde réel :

  • Dans le domaine de l'éducationLa MLM est utilisée pour analyser les performances des élèves en tenant compte des facteurs propres à l'élève (statut socio-économique, habitudes d'étude) et à l'établissement (financement, expérience de l'enseignant), afin de déterminer si les ressources de l'établissement ont un impact sur les résultats des élèves au-delà des différences individuelles.
  • Dans le domaine des soins de santéLa MLM permet aux chercheurs d'examiner les résultats des patients en tenant compte des variables au niveau du patient (âge, état de santé) et au niveau de l'hôpital (qualité de l'établissement, expertise du personnel), en déterminant si les caractéristiques de l'hôpital (comme les ratios infirmières-patients) influencent les taux de guérison.
  • Dans les études longitudinalesLa MLM est idéale pour le cursus des changements individuels au fil du temps (par exemple, la santé mentale au cours de la thérapie), car elle inclut des facteurs temporels et individuels, ce qui aide les chercheurs à discerner à la fois les effets au niveau de la session et les effets globaux sur les progrès.
  • Dans le domaine de la santé publiquele MLM aide à comprendre la propagation des maladies en tenant compte des facteurs individuels (statut vaccinal) et communautaires (densité de population, interventions), en précisant quelles stratégies communautaires (par exemple, les campagnes de sensibilisation) réduisent efficacement la transmission.
  • Dans la recherche sur les thérapies de groupela MLM tient compte des dynamiques individuelles (estime de soi, engagement dans la thérapie) et de groupe (cohésion, expérience du leader), montrant dans quelle mesure l'amélioration est due à des influences personnelles plutôt qu'à des influences de groupe, ce qui permet d'améliorer les structures de la thérapie.

Dans tous ces domaines, la MLM saisit des dépendances que les modèles à un seul niveau peuvent manquer, ce qui permet des interventions adaptées à la fois aux besoins individuels et à des facteurs structurels plus larges.

Concepts clés de la modélisation multiniveaux

Les effets fixes et aléatoires, les techniques de centrage, les structures de covariance et les structures de données sont quelques-uns des principaux éléments que les MLM explorent. Nous allons comprendre chacun d'entre eux et donner des conseils sur leur application et leur interprétation.

Effets fixes ou aléatoires

Dans les MLM, les effets fixes estiment des relations qui sont supposées être cohérentes entre toutes les unités d'analyse. Ces coefficients sont interprétés de la même manière que ceux des modèles de régression traditionnels et s'appliquent universellement à tous les groupes ou grappes. Par exemple, si nous examinons l'impact des heures d'étude sur les résultats des tests dans les écoles, un effet fixe pour les heures d'étude supposerait que l'impact des heures d'étude est le même pour toutes les écoles.

D'autre part, les effets aléatoires permettent de tenir compte de la variabilité entre les groupes ou les grappes en estimant des paramètres qui peuvent varier d'une unité à l'autre. Ils tiennent compte des écarts au niveau du groupe par rapport aux effets fixes globaux, comme le fait que certaines écoles peuvent naturellement avoir des résultats moyens plus élevés ou plus faibles que d'autres. Tout comme la régression linéaire a des intercepts et des pentes, les effets aléatoires MLM sont paramétrés par des intercepts et des pentes aléatoires.

Les intercepts aléatoires modélisent la variation de la ligne de base (intercept) entre les grappes. Par exemple, un intercept aléatoire permettrait à chaque école d'avoir un score moyen unique, reflétant les différences de performance de base entre les écoles.

Les pentes aléatoires saisissent la relation entre une variable indépendante et la variable dépendante à travers les grappes. Si l'effet des heures d'étude sur les résultats des tests varie d'une école à l'autre, cela peut être modélisé par des pentes aléatoires où chaque école aura sa propre relation entre les heures d'étude et les résultats.

Quand utiliser les effets fixes et aléatoires ?

Les effets fixes sont généralement utilisés lorsque l'on suppose une relation uniforme entre tous les groupes, tandis que les effets aléatoires sont utiles lorsque l'on s'attend à des variations entre les groupes. Les pentes aléatoires, en particulier, sont utiles lorsqu'il existe des preuves que la relation entre les prédicteurs et les résultats change d'une grappe à l'autre.

Centrage de la moyenne générale ou de la moyenne par groupe

Le centrage est une technique utilisée pour ajuster les prédicteurs et améliorer l'interprétabilité des modèles multiniveaux.

  • Centrage Grand-Moyen: Avec le centrage sur la moyenne générale, chaque variable prédictive est centrée sur la moyenne générale (moyenne de toutes les grappes). Cette méthode permet d'interpréter l'ordonnée à l'origine comme le résultat prévu pour un groupe au niveau moyen du prédicteur.
    Exemple : Supposons que nous étudions l'effet des heures d'étude sur les résultats des tests dans les différentes écoles. En centrant les heures d'études autour de la grande moyenne, nous interprétons l'effet fixe des heures d'études en termes d'effet moyen sur l'ensemble des écoles.
  • Centrage groupe-moyen: Dans le centrage sur la moyenne du groupe, chaque prédicteur est centré sur la moyenne de son groupe ou de sa grappe. Cette approche permet de distinguer les effets des prédicteurs à l'intérieur des grappes et entre les grappes, ce qui la rend utile lorsque l'on s'intéresse à la façon dont les variations à l'intérieur des grappes affectent le résultat.
    Exemple : L'utilisation du centrage sur la moyenne du groupe pour les heures d'étude nous permet d'interpréter l'effet des heures d'étude d'un individu par rapport à la moyenne de son école, ce qui permet de séparer les effets au sein de l'école des différences entre les écoles.

Choisir entre le centrage de la moyenne générale et le centrage de la moyenne du groupe

Le centrage sur la moyenne générale est approprié lorsque l'on s'intéresse à l'effet des prédicteurs par rapport à la moyenne globale de la population. En revanche, le centrage sur la moyenne du groupe est utile lorsqu'il est essentiel de séparer les effets au sein du groupe des effets entre les groupes. Par exemple, si nous nous intéressons à la comparaison des heures d'étude des étudiants dans le contexte du temps d'étude moyen de leur école, le centrage sur la moyenne du groupe clarifie ces comparaisons intragroupes.

Matrices de covariance

Les matrices de covariance dans les MLM sont essentielles pour comprendre la variabilité au sein des grappes et entre elles. Ils sont essentiels pour interpréter la structure des effets aléatoires et des résidus :

  • La matrice de covariance résiduelle représente la corrélation entre les observations au sein des grappes, qui n'est pas couverte par la modélisation des effets fixes ou aléatoires.
  • La matrice de covariance des effets alé atoires représente la variabilité des effets aléatoires, y compris les intercepts et les pentes aléatoires, ainsi que les dépendances du modèle entre les grappes. Par exemple, dans un modèle avec des pentes aléatoires, cette matrice révélerait comment la pente varie d'une grappe à l'autre.

Importance de la covariance dans la MLM

La structure de covariance de la MLM permet au modèle d'estimer correctement les erreurs types et les coefficients, en tenant compte des dépendances au sein des données groupées. La spécification d'une structure de covariance appropriée permet de s'assurer que le modèle reflète correctement les relations au sein des grappes et entre elles, ce qui conduit à des inférences plus fiables.

Structures imbriquées et structures croisées

L'identification de la structure des données, qu'il s'agisse d'un emboîtement ou d'une classification croisée, joue un rôle important dans l'élaboration d'un MLM précis :

  • Les structures imbriquées sont des structures dans lesquelles un niveau de données est entièrement contenu dans un autre (niveau parent), comme les élèves dans les écoles.
  • Les structures à classification croisée ne s'intègrent pas parfaitement dans une hiérarchie unique, car les unités de niveau inférieur peuvent appartenir à plusieurs unités de niveau supérieur. Cette structure nécessite une modélisation plus complexe. Un bon exemple serait celui de la recherche en éducation, où les étudiants peuvent appartenir à plusieurs classifications, telles que le quartier et le district scolaire. Chaque élève a une combinaison unique de quartier et d'école, ce qui conduit à une structure de classification croisée.

Déterminer la structure correcte

Pour déterminer la structure, évaluez si chaque unité du niveau inférieur appartient à une seule unité du niveau supérieur (emboîtement) ou à plusieurs unités (classification croisée). La structure correcte permet de s'assurer que le MLM capture les dépendances des données du monde réel et fournit des informations significatives.

Mise en œuvre de modèles multiniveaux

Nous allons maintenant implémenter MLM dans R en utilisant le package lme4 en suivant le guide étape par étape décrit ci-dessous.

Étape 1 : Mise en place des données

Créons des données synthétiques imbriquées. Ici, les élèves sont imbriqués dans les écoles, chaque ligne représente un élève individuel et il existe une variable de regroupement pour les écoles.

# Create the data frame
our_multilevel_data <- data.frame(
  StudentID = 1:20,
  SchoolID = c("A", "A", "B", "B", "A", "A", "B", "B", "A", "B", 
               "A", "C", "C", "C", "C", "A", "B", "C", "B", "C"),
  StudyHours = c(5, 3, 4, 6, 2, 7, 5, 8, 6, 3, 
                 4, 5, 6, 2, 7, 9, 2, 8, 4, 3),
  TestScore = c(80, 70, 85, 90, 60, 95, 88, 92, 85, 75, 
                72, 78, 83, 65, 89, 96, 67, 91, 79, 68)
)

# Display the first 5 rows of the data frame
head(our_multilevel_data, 5)
StudentID ID de l'école StudyHours TestScore
1 A 5 80
2 A 3 70
3 B 4 85
4 B 6 90
5 A 2 60

Étape 2 : Installation et chargement de la bibliothèque lme4

La bibliothèque lme4 est largement utilisée pour la modélisation multiniveaux dans R. Installez-la et chargez-la comme suit :

# Install lme4 if you haven't already
install.packages("lme4")

# Load the library
library(lme4)

Étape 3 : Ajustement d'un modèle à deux niveaux d'ordonnées aléatoires

Dans cet exemple, nous modéliserons TestScore comme variable de résultat, avec StudyHours comme prédicteur, tout en tenant compte de la variation entre les écoles (intercept aléatoire). Ce modèle estime un intercept pour chaque école, ce qui permet à chacune d'entre elles d'avoir un score de base unique.

La syntaxe de la formule dans lme4 utilise (1 | SchoolID) pour spécifier une ordonnée à l'origine aléatoire pour la variable de regroupement ID d'école.

# Fit a two-level random intercept model
our_multilevel_model <- lmer(TestScore ~ StudyHours + (1 | SchoolID), data = our_multilevel_data)

Ce modèle comprend :

  • Effet fixe pour Heures d'études: Estime l'effet moyen des heures d'étude sur les résultats aux tests dans toutes les écoles.
  • Interception aléatoire pour SchoolID: Permet à l'intercept (score au test de référence) de varier en fonction de l'école.

Étape 4 : Résumé et résultats du modèle

Après avoir ajusté le modèle, examinez les résultats à l'aide de la fonction summary() qui fournit des estimations des effets fixes, des composantes de la variance et des erreurs standard.

# Summary of the model
summary(our_multilevel_model)
Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: TestScore ~ StudyHours + (1 | SchoolID)
   Data: data

REML criterion at convergence: 105.7

Scaled residuals: 
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1.81620 -0.59553  0.03922  0.27094  1.86051 

Random effects:
 Groups   Name        Variance Std.Dev.
 SchoolID (Intercept)  9.41    3.068   
 Residual             11.17    3.343   
Number of obs: 20, groups:  SchoolID, 3

Fixed effects:
            Estimate Std. Error t value
(Intercept)  56.7194     2.6280   21.58
StudyHours    4.7643     0.3612   13.19

Correlation of Fixed Effects:
           (Intr)
StudyHours -0.682

Cette sortie fournit :

  • Effets fixes: Coefficients (estimations) pour StudyHours, montrant l'effet moyen des heures d'étude sur les résultats aux tests.

  • Effets aléatoires: Composantes de la variance pour l'ordonnée à l'origine, capturant la variance entre les écoles.

  • Variance résiduelle: Variance intra-scolaire (terme d'erreur).

Étape 5 : Interprétation des principaux résultats

Passons maintenant à la compréhension des résultats :

Estimations à effet fixe

Les effets fixes dans le résumé nous indiquent comment heures d'étude affecte les NoteTest en moyenne dans les écoles.

  • Interception: Le score moyen aux tests pour les étudiants ayant zéro heure d'étude.
  • Pente (heures d'étude): L'augmentation moyenne des résultats aux tests pour chaque heure supplémentaire passée à étudier. Cette estimation s'applique à toutes les écoles.

Composantes de la variance à effet aléatoire

Les effets aléatoires représentent la variabilité au niveau du groupe (par exemple, entre les écoles). Dans la sortie, Random Intercept Variance (SchoolID) de 9,14 indique à quel point les écoles varient dans leurs résultats de test moyens (sd de ~3), capturant les différences de performance de base entre les écoles.

Variance résiduelle

La variance résiduelle de 11,17 représente la variance à l'intérieur du groupe (par exemple, les différences entre les élèves d'une même école).

Coefficient de corrélation intraclasse (CCI)

L'ICC quantifie la proportion de variance qui existe entre les groupes, ce qui permet d'évaluer la nécessité du MLM. Un ICC élevé indique qu'une part importante de la variabilité du résultat est due à des différences entre les groupes.

Calculons la CPI comme suit :

# Extract variance components
school_variance <- as.numeric(VarCorr(our_multilevel_model)$SchoolID[1])
residual_variance <- attr(VarCorr(our_multilevel_model), "sc")^2

# Calculate ICC
ICC <- school_variance / (school_variance + residual_variance)
ICC
0.4571434

Un ICC proche de 1 indique que la majeure partie de la variabilité se situe au niveau du groupe, tandis qu'une valeur proche de 0 suggère que la variabilité au sein du groupe domine. Les ICC supérieurs à 0,1 ou 0,2 indiquent généralement la nécessité d'une approche à plusieurs niveaux. Nous obtenons ici un ICC d'environ 0,46, ce qui nécessite l'utilisation de l'approche MLM.

Étape 6 : Ajustements supplémentaires du modèle

Nous pouvons alors procéder à quelques ajustements du modèle.

Ajout de pentes aléatoires

Si l'effet des heures d'étude varie d'une école à l'autre (certaines écoles peuvent présenter une relation plus ou moins forte), nous ajoutons une pente aléatoire pour les heures d'étude:

# Model with random slope for StudyHours
model_slope <- lmer(TestScore ~ StudyHours + (StudyHours | SchoolID), data = our_multilevel_data)

Ce modèle estime une pente unique pour chaque école, ce qui permet à la relation entre les heures d'étude et les résultats aux tests de varier d'une école à l'autre.

Comparaison des modèles

Utilisons la fonction anova() pour comparer les modèles avec et sans pentes aléatoires afin de tester si l'ajout de complexité améliore l'ajustement du modèle.

# Compare models
anova(our_multilevel_model, model_slope)
Data: data
Models:
model: TestScore ~ StudyHours + (1 | SchoolID)
model_slope: TestScore ~ StudyHours + (StudyHours | SchoolID)
            npar    AIC    BIC  logLik deviance  Chisq Df Pr(>Chisq)
model          4 116.44 120.43 -54.221   108.44                     
model_slope    6 119.31 125.28 -53.655   107.31 1.1331  2     0.5675

Une différence significative indique que la pente aléatoire améliore le modèle. Il n'y a pas de différence significative lorsque l'on ajoute une pente indiquée par les nombres AIC et BIC.

Sujets avancés en modélisation multiniveau

L'utilisation d'approches bayésiennes et de structures de données avancées dans le cadre de la MLM permet d'obtenir de meilleures informations, en particulier lorsqu'il s'agit de modèles de données nuancés. Voici un aperçu des techniques avancées de MLM qui vont au-delà des structures hiérarchiques standard.

1. Pentes aléatoires et interactions entre niveaux

Interactions entre les niveaux

Les interactions entre niveaux nous permettent d'explorer la manière dont les relations à un niveau (par exemple, l'individu) peuvent varier en fonction de facteurs situés à un niveau supérieur (par exemple, les groupes). Ces interactions sont significatives lorsque l'effet d'un prédicteur de niveau inférieur dépend d'une caractéristique de niveau supérieur.

Exemple : Supposons que nous examinions la relation entre les heures d'étude et les résultats aux tests des élèves dans les différentes écoles. Une interaction entre les niveaux pourrait nous aider à comprendre si l'effet des heures d'étude sur les résultats des tests change en fonction des variables au niveau de l'école, comme le financement de l'école ou l'expérience moyenne de l'enseignant.

En l'occurrence :

  • Une pente aléatoire pour les heures d'étude permettrait à l'effet des heures d'étude de varier d'une école à l'autre.
  • Une interaction entre les niveaux permettrait de déterminer si la relation entre les heures d'étude et les résultats aux tests est plus forte dans les écoles bénéficiant d'un financement plus important.

Les interactions entre niveaux sont particulièrement utiles lorsque les contextes de groupe (comme les écoles ou les régions) peuvent influencer les comportements individuels, ce qui permet de comprendre comment les caractéristiques du groupe amplifient ou diminuent les relations.

Utilisation de pentes aléatoires pour capturer les interactions

Les pentes aléatoires nous permettent de modéliser la variabilité de la relation entre les prédicteurs et les résultats dans les différents groupes. Cette technique est utile lorsque nous soupçonnons que l'effet d'un prédicteur (par exemple, les heures d'étude) n'est pas uniforme dans tous les groupes (par exemple, les écoles). En spécifiant une pente aléatoire, le modèle peut capturer ces variations spécifiques au groupe.

Utilisez les pentes aléatoires lorsque :

  • Il est prouvé que la relation entre un prédicteur et un résultat varie considérablement d'un groupe à l'autre.
  • Vous souhaitez comprendre comment les effets au niveau individuel diffèrent d'un groupe à l'autre et si les variables au niveau du groupe modèrent ces effets.

2. Modèles multiniveaux au-delà des structures hiérarchiques

Les MLM traditionnels supposent une hiérarchie stricte, mais les données impliquent souvent des structures plus complexes où les individus peuvent appartenir à plusieurs groupes qui ne s'intègrent pas dans une hiérarchie simple.

Modèles croisés

Les modèles de classification croisée sont conçus pour les situations où des unités de niveau inférieur sont simultanément imbriquées dans deux ou plusieurs groupes de niveau supérieur. Contrairement aux structures strictement hiérarchiques, ces modèles tiennent compte de l'appartenance des individus à plusieurs classifications, ce qui permet à chaque classification d'avoir sa propre influence sur le résultat.

Pour prendre un exemple, pensez que, dans le cadre de la recherche sur l'éducation, les élèves peuvent être imbriqués à la fois dans les quartiers et dans les écoles. Certains élèves peuvent fréquenter des écoles différentes de celles de leurs voisins, ce qui crée une structure dans laquelle les individus ne sont pas imbriqués dans un seul groupe, mais couvrent plutôt deux groupes interclassés.

Dans ce cas, le modèle traite les quartiers et les écoles comme des sources de variance distinctes, mais interclassées, ce qui permet aux chercheurs d'estimer les effets des deux classifications sur le résultat. Cette approche est courante dans les études où les personnes interagissent avec plus d'un groupe social ou géographique.

Quand utiliser les modèles de classification croisée ?

Les modèles de classification croisée conviennent lorsque

  • Les individus ou les unités de niveau inférieur sont influencés par plusieurs unités de niveau supérieur (par exemple, les élèves sont influencés à la fois par le contexte de l'école et celui du quartier).
  • Nous cherchons à comprendre comment chaque classification contribue à la variabilité du résultat, en particulier lorsque ces classifications ne forment pas une hiérarchie stricte.

3. Méthodes bayésiennes pour les modèles multiniveaux

La modélisation multiniveaux bayésienne est une approche probabiliste des modèles multiniveaux, particulièrement utile pour les ensembles de données complexes ou de petite taille.

Avantages de la modélisation bayésienne multiniveaux

La MLM bayésienne présente plusieurs avantages par rapport aux approches fréquentistes :

  • Amélioration des estimations dans les petits échantillons: Les méthodes bayésiennes peuvent produire des estimations plus fiables lorsque la taille des échantillons est limitée ou que les données sont rares, en utilisant des distributions préalables pour informer le modèle.
  • Flexibilité avec des modèles complexes: Les approches bayésiennes traitent plus facilement des modèles plus complexes, tels que ceux avec des effets aléatoires multiples ou des structures de covariance complexes.
  • Estimation de l'incertitude: Les méthodes bayésiennes fournissent des distributions a posteriori complètes pour les paramètres, ce qui permet une interprétation plus riche de l'incertitude autour des estimations.

Dans la MLM bayésienne, plutôt que des estimations ponctuelles, le modèle fournit des distributions de valeurs possibles, ce qui nous permet d'exprimer l'incertitude et de faire des déclarations probabilistes sur les valeurs des paramètres. Par exemple, nous pouvons dire qu'il y a une probabilité de 95 % que l'effet réel des heures d'étude sur les résultats des tests se situe dans une fourchette donnée.

Outils pour la modélisation multiniveaux bayésienne

Les outils populaires pour la MLM bayésienne sont les suivants :

  • Stan: Stan est un outil puissant pour la modélisation bayésienne, souvent utilisé par le biais d'interfaces R telles que rstanarm et brms, qui facilitent la MLM bayésienne en automatisant une grande partie de la configuration du modèle.

  • PyMC3: En Python, PyMC3 est largement utilisé pour la modélisation bayésienne et offre une certaine flexibilité pour construire des MLM bayésiens personnalisés.

Stan et PyMC3 utilisent des méthodes de Monte Carlo par chaîne de Markov (MCMC) pour échantillonner les distributions postérieures, ce qui demande beaucoup de calculs mais permet d'obtenir des estimations précises des paramètres, particulièrement utiles dans les contextes multiniveaux.

Exemple de cas d'utilisation : MLM bayésien dans les soins de santé

Prenons l'exemple d'un MLM bayésien appliqué aux délais de rétablissement des patients dans plusieurs hôpitaux. Si nous examinons des facteurs tels que le type de traitement et l'expérience du médecin, la MLM bayésienne peut fournir une fourchette probabiliste de l'influence de l'approche thérapeutique de chaque hôpital sur la guérison. Cette approche permet aux chercheurs de quantifier l'incertitude et de créer des intervalles crédibles pour les estimations du temps de récupération dans les hôpitaux, ce qui est particulièrement utile dans les études médicales et psychologiques où il est essentiel d'avoir une grande confiance dans les estimations.

Pièges courants et meilleures pratiques

Certaines considérations relatives au traitement des données hiérarchiques peuvent s'avérer très utiles lorsque vous travaillez avec des MLM.

  • Petites tailles d'échantillons aux niveaux supérieurs: La MLM nécessite un nombre suffisant de groupes ou de grappes pour estimer avec précision la variabilité entre les groupes. Avec moins de 30 grappes, les estimations des effets aléatoires et des erreurs types peuvent être peu fiables. Si les grappes sont limitées, envisagez des modèles plus simples ou la MLM bayésienne, qui peut mieux gérer des échantillons de petite taille en incorporant des informations préalables.
  • Mauvaise interprétation des effets aléatoires: Les effets aléatoires reflètent la variation entre les groupes, et non les résultats spécifiques aux individus. Les interpréter comme des effets au niveau individuel peut conduire à des conclusions erronées. Concentrez-vous sur la question de savoir si la variabilité entre les grappes est significative dans le contexte de votre étude.
  • Spécification incorrecte de la structure de covariance: Dans les modèles à pentes aléatoires, le fait de ne pas spécifier une structure de covariance appropriée peut conduire à une estimation biaisée. Utilisez des structures simples dans un premier temps et explorez des structures plus complexes si nécessaire. Des outils tels que les tests du rapport de vraisemblance peuvent aider à déterminer si une complexité supplémentaire est justifiée.
  • Lignes directrices sur le centrage: Il est généralement recommandé de centrer les prédicteurs sur la moyenne générale pour améliorer l'interprétabilité, en particulier dans les modèles comportant des interactions entre les niveaux. Le centrage sur la moyenne du groupe peut clarifier les relations au sein du groupe, mais ne doit être utilisé que lorsque ces relations présentent un intérêt particulier.
  • Interprétation des intervalles aléatoires: Les intercepts aléatoires saisissent les différences entre les groupes dans le niveau de base de la variable de résultat. Ils permettent de définir des lignes de base spécifiques à un groupe, mais des structures d'intercepts aléatoires trop complexes peuvent conduire à un surajustement. Interprétez les ordonnées aléatoires avec prudence, en vous attachant à déterminer si elles révèlent une variance significative.

La MLM peut ne pas être nécessaire si le coefficient de corrélation intraclasse (CCI) est très faible (proche de zéro), ce qui indique une variance minimale entre les groupes. De même, si vous avez très peu de grappes (par exemple, moins de 10), la complexité accrue de la MLM peut ne pas présenter d'avantages par rapport à des approches plus simples.

Conclusion

Jusqu'à présent, nous avons appris que les modèles multiniveaux offrent un cadre utile pour l'analyse des données hiérarchiques, en tenant compte des complexités qui apparaissent lorsque les points de données sont regroupés au sein d'unités plus grandes. En prenant en compte les effets au niveau de l'individu et du groupe, les MLM permettent aux chercheurs de tenir compte des structures imbriquées, souvent ignorées par les modèles à un seul niveau. Les effets fixes et aléatoires, les composantes de la variance et les coefficients de corrélation intraclasse nous permettent de quantifier la variabilité à différents niveaux et d'évaluer comment les relations varient.

Dans un deuxième temps, suivez notre cours très complet sur les modèles hiérarchiques et à effets mixtes en R. Vous constaterez que les données impliquent souvent des relations complexes à plusieurs niveaux et vous apprécierez la capacité des MLM à traiter les structures en grappes, qu'elles soient strictement hiérarchiques ou interclassées, ce qui ajoute de la profondeur et de la précision à votre analyse. C'est pourquoi les modèles multiniveaux sont des outils précieux pour une prise de décision éclairée et l'élaboration de politiques. Je vous recommande également notre cursus de statisticien en R, qui enseigne beaucoup.

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Vidhi Chugh
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Je suis un stratège de l'IA et un éthicien qui travaille à l'intersection de la science des données, du produit et de l'ingénierie pour construire des systèmes d'apprentissage automatique évolutifs. Considéré comme l'un des 200 plus grands innovateurs commerciaux et technologiques au monde, je me suis donné pour mission de démocratiser l'apprentissage automatique et de briser le jargon pour que tout le monde puisse participer à cette transformation.

FAQ sur la modélisation multiniveau

Qu'est-ce que la modélisation multiniveaux (MLM) et pourquoi est-elle utilisée ?

La modélisation multiniveaux (MLM), également connue sous le nom de modélisation hiérarchique ou à effets mixtes, est une technique statistique conçue pour analyser des données avec des structures imbriquées ou hiérarchiques. Il est utilisé pour tenir compte des dépendances dans les données groupées (par exemple, les élèves dans les écoles, les patients dans les hôpitaux) en modélisant à la fois les variations au niveau du groupe et au niveau individuel, ce qui permet d'obtenir des informations plus précises que les modèles à un seul niveau.

Quand dois-je envisager d'utiliser un modèle multiniveau plutôt qu'un modèle de régression standard ?

Le MLM est recommandé lorsque vos données ont une structure hiérarchique ou en grappes et que le coefficient de corrélation intraclasse (ICC) indique une variance substantielle au niveau du groupe. Par exemple, la MLM est utile pour analyser des données où les observations individuelles sont imbriquées dans des unités plus grandes, telles que des étudiants dans des salles de classe ou des employés dans des entreprises, afin de tenir compte des dépendances au sein des groupes.

Quelle est la différence entre les effets fixes et aléatoires dans la modélisation multiniveau ?

Les effets fixes évaluent les relations qui sont supposées être cohérentes entre tous les groupes, tandis que les effets aléatoires saisissent les variations entre les groupes. Par exemple, un effet fixe peut mesurer l'effet moyen des heures d'étude sur les résultats des tests dans toutes les écoles, alors qu'un effet aléatoire permet à chaque école d'avoir un résultat de base unique ou une relation unique entre les heures d'étude et les résultats.

Qu'est-ce qu'une interaction à plusieurs niveaux et pourquoi est-elle importante dans le cadre d'un MLM ?

Les interactions entre niveaux se produisent lorsque la relation entre un prédicteur de niveau inférieur (par exemple, les heures d'étude) et un résultat (par exemple, les notes obtenues aux tests) varie en fonction d'une caractéristique de niveau supérieur (par exemple, le financement de l'école). Ces interactions permettent de saisir comment les facteurs au niveau du groupe influencent les relations au niveau individuel, offrant ainsi une compréhension plus nuancée des données.

Quels outils et logiciels puis-je utiliser pour mettre en œuvre la MLM, en particulier pour les modèles complexes ou bayésiens ?

Pour les MLM fréquentistes, le paquetage lme4 de R est populaire pour sa facilité d'utilisation dans l'ajustement des modèles multiniveaux. Pour les MLM bayésiens, des outils comme Stan (utilisé via rstanarm ou brms dans R) et PyMC3 dans Python sont recommandés, car ils offrent de la flexibilité et la possibilité d'estimer les distributions a posteriori, ce qui les rend idéaux pour les modèles complexes ou les données avec des tailles d'échantillon plus petites.

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