关系代数：每条 SQL 查询背后的逻辑

什么是关系代数？

关系代数是一种过程化查询语言。它告诉数据库如何检索数据，而不仅仅是要什么。

这与 SQL 的声明式特性是关键区别。编写 SQL 查询时，您描述想要的结果；关系代数则描述达到结果的确切操作序列。

它作用于关系（relation）——表的形式化称谓。输入一张或多张关系，应用某个操作，输出仍是一张关系。

最后这一点称为闭包性质。无论应用何种操作——筛选行、选择列、合并表——结果总是另一张关系。这很重要，因为它意味着可以将操作串联起来：一个操作的输出可作为下一个操作的输入，您可以按需层层叠加。

您可以把关系代数理解为“积木”。每个积木取一张（或两张）表，做一件事，然后再给您一张表。数据库引擎在内部使用这些积木来分解并执行您的 SQL 查询。

关系代数的基础概念

在使用关系代数算子之前，您需要了解术语。好消息是只需记住五个。

• Relation（关系）就是表。它有行和列，表示关于某个实体（如员工或部门）的一组数据。在关系代数中，每个操作都以一张或多张关系为输入，并产出一张关系作为输出。

• Tuple（元组）是一行。如果 Employees 表有 10 行，它就有 10 个元组。每个元组代表一条记录——在此为一名员工。

• Attribute（属性）是列。Employees 表可能有 employee_id、name 与 department_id 等属性。属性定义了每个元组包含的数据类型。

• Degree（度）是一张关系中的属性数量。若 Employees 有五列，则其度为 5。在合并关系时，这一点很重要——某些操作需要度匹配。

• Cardinality（基数）是一张关系中的元组数量。若 Employees 表有 200 行，其基数为 200。基数会随着行的增删而变化；度只在增减列时变化。

这些术语与您已知概念的对应关系如下：

关系代数与常见术语对照

先把这些概念吃透，接下来算子就会一目了然。

DBMS 中的基本关系代数操作

关系代数有五个基本算子。其他所有操作——连接、交、除法——都构建在它们之上。

为保持示例一致，本节将始终使用两张表：

Employees

Employees 表

Departments

Departments 表

选择（σ）

选择基于条件过滤行。它相当于关系代数中的 WHERE 子句。

记法如下：

σ condition (Relation)技术支持

例如，您想要所有薪资高于 60,000 的员工：

σ salary > 60000 (Employees)技术支持

结果是一张仅包含匹配行（如 Alice 和 Carol）的新关系。表结构保持不变，只是移除了不满足条件的行。

对应的 SQL：

SELECT * FROM Employees 
WHERE salary > 60000;技术支持

投影（π）

投影从关系中选择特定列并丢弃其余列。这是将表裁剪为仅保留您关心的属性的方法。

π attribute1, attribute2 (Relation)技术支持

仅获取所有员工的姓名和薪资：

π name, salary (Employees)技术支持

需要注意的是，投影会移除结果中的重复行。如果在去掉多余列后两条元组完全相同，输出中只保留一条。

对应的 SQL：

SELECT DISTINCT name, salary 
FROM Employees;技术支持

并（∪）

并将两个关系合并为一个，合并其所有元组，并自动去重。

记法：

Relation1 ∪ Relation2技术支持

前提是两张关系必须并兼容（union-compatible）：属性数量相同且对应属性的数据类型一致。您不能把员工表与部门表做并运算，因为模式不匹配。

假设有一张与 Employees 结构相同的 Contractors 表。并操作会给出两表中所有人，且不含重复：

Employees ∪ Contractors技术支持

对应的 SQL：

SELECT * FROM Employees
UNION
SELECT * FROM Contractors;技术支持

差（−）

差返回存在于第一张关系而不在第二张关系中的元组。可理解为“相减”：

Relation1 − Relation2技术支持

同并操作一样，两张关系必须并兼容。

若要获取所有“不是合同工”的员工，语法如下：

Employees − Contractors技术支持

结果仅包含 Employees 中在 Contractors 中无对应项的行。

对应的 SQL：

SELECT * FROM Employees
EXCEPT
SELECT * FROM Contractors;技术支持

笛卡尔积（×）

笛卡尔积将第一张关系的每个元组与第二张关系的每个元组组合。若 Employees 有 4 行、Departments 有 3 行，结果将有 4 × 3 = 12 行。

Employees × Departments技术支持

单独使用时，结果很少有用——您会得到员工与部门的所有可能组合，包括彼此无关的组合。但笛卡尔积是连接的基础。将其与选择配合，只保留有意义的关联行。

对应的 SQL：

SELECT * FROM Employees, Departments;技术支持

以上五个算子是地基。关系代数中的其他内容，都是它们组合的简写。

关系代数中的连接操作

连接是关系代数中使用最频繁的操作——而且并不神秘。

每种连接本质上都是“笛卡尔积 + 选择”。先组合两张关系的所有元组，再过滤掉不满足条件的行。之所以有连接这种简写，是因为先做完整笛卡尔积代价高昂；连接在组合过程中就应用条件，缩小了中间结果的规模。

自然连接（⋈）

自然连接会自动在所有同名属性上连接两张关系，并在结果中仅保留这些共享列的一份拷贝：

Employees ⋈ Departments技术支持

由于两表都包含 department_id，自然连接会在该值相等时匹配并合并行。Alice（department_id = 10）与 Engineering 匹配，Bob 与 Marketing 匹配，依此类推。

无需写条件——连接可由模式推断。这很方便，但也意味着重命名列可能会破坏查询。

对应的 SQL：

SELECT * FROM Employees 
NATURAL JOIN Departments;技术支持

θ 连接（⋈θ）

θ 连接根据您指定的任意条件连接两张关系——条件可使用任意比较运算符：=、≠、<、>、≤、≥。

Employees ⋈ salary > 60000 AND department_id = department_id Departments技术支持

这给了您对连接条件的完全控制。大多数实际编写的连接在本质上都是 θ 连接。

对应的 SQL：

SELECT * FROM Employees, Departments
WHERE Employees.salary > 60000
AND Employees.department_id = Departments.department_id;技术支持

等值连接（Equi join）

等值连接是仅使用等号（=）条件的 θ 连接，也是最常见的一类。

Employees ⋈ Employees.department_id = Departments.department_id Departments技术支持

结果包含两表的所有列，这意味着 department_id 会出现两次。这与自然连接的主要区别在于：等值连接不会移除重复列。

对应的 SQL：

SELECT * FROM Employees
INNER JOIN Departments
ON Employees.department_id = Departments.department_id;技术支持

外连接

上述连接仅返回两张关系中均有匹配的行。外连接也会保留不匹配的行，并用 NULL 填充缺失值。

共有三种变体：

• 左外连接（⟕）保留左侧关系的所有行。若 Employees 中某行没有匹配的部门，它仍会出现在结果中，部门列以 NULL 填充。

• 右外连接（⟖）保留右侧关系的所有行。没有员工的部门也会出现，员工列以 NULL 填充。

• 全外连接（⟗）保留两侧关系的所有行。任一侧的不匹配行都会出现，缺失值以 NULL 填充。

对应的 SQL：

-- Left outer join
SELECT * FROM Employees
LEFT JOIN Departments
ON Employees.department_id = Departments.department_id;

-- Right outer join
SELECT * FROM Employees
RIGHT JOIN Departments
ON Employees.department_id = Departments.department_id;

-- Full outer join
SELECT * FROM Employees
FULL OUTER JOIN Departments
ON Employees.department_id = Departments.department_id;技术支持

当您不能丢失那些“没有匹配项”的行时使用外连接——例如需要完整的员工清单，而不管其部门是否存在于系统中。

关系代数的派生算子

派生算子是由前述五个基本算子组合得到的快捷形式。

交（∩）

交仅返回同时出现在两张关系中的元组。与并与差一样，两张关系必须并兼容。

Employees ∩ Contractors技术支持

若某人既是员工又是合同工，他会出现在结果中；其他人会被剔除。

在底层，交可以用两次差来表示：

Employees ∩ Contractors = Employees − (Employees − Contractors)技术支持

对应的 SQL：

SELECT * FROM Employees
INTERSECT
SELECT * FROM Contractors;技术支持

除法（÷）

除法常让许多 CS 学生与初学者犯难——但概念比看起来简单。

除法回答的问题是：“关系 A 中哪些元组与关系 B 中的所有元组都有关联？”

假设有一张跟踪学生选课的 CourseEnrollments 表，以及一张列出所有必修课的 RequiredCourses 表。除法会给出选修了每一门必修课的学生。

CourseEnrollments ÷ RequiredCourses技术支持

之所以被认为棘手，是因为 SQL 中没有直接等价物。要在 SQL 中复现除法，需要“双重否定”： “找出不存在‘他未修的必修课’的学生”：

SELECT DISTINCT student_id FROM CourseEnrollments ce1
WHERE NOT EXISTS (
    SELECT course_id FROM RequiredCourses rc
    WHERE NOT EXISTS (
        SELECT * FROM CourseEnrollments ce2
        WHERE ce2.student_id = ce1.student_id
        AND ce2.course_id = rc.course_id
    )
);技术支持

这个双重 NOT EXISTS 是在 SQL 中表达除法的标准方式。若在面试中遇到“找出与每个 Y 都相关的所有 X”之类问题，除法就是要用的算子。

重命名（ρ）

重命名允许您为关系或其属性赋予新名称。它不改变数据，只改变称谓。

ρ NewName (Relation)技术支持

或同时重命名关系与其属性：

ρ NewName(attr1, attr2, ...) (Relation)技术支持

当需要自连接一张表时，重命名非常有用——否则属性名会冲突，操作将失去意义。在串联操作时，它也能让中间结果更具可读性。

对应的 SQL：

SELECT * FROM Employees AS E1;
-- or renaming columns:
SELECT employee_id AS id, name AS employee_name FROM Employees;技术支持

这三个算子需要记忆。交与重命名相对简单，除法则值得在任何数据库面试前多加练习。

关系代数与 SQL

SQL 与关系代数并不相同——但若无后者，前者也不会存在。

核心区别在于二者对查询的思考方式。关系代数是过程化的——您指定获取结果的确切操作序列。SQL 是声明式的——您描述想要的结果，数据库引擎负责找出实现路径。

看一个简单示例。在关系代数中，获取工程部员工如下所示：

π name, salary (σ department_id = 10 (Employees))技术支持

您在明确告诉数据库要做什么：先过滤行，再选择列。操作顺序是显式的。

在 SQL 中，您会写：

SELECT name, salary 
FROM Employees 
WHERE department_id = 10;技术支持

您在描述想要的结果。数据库引擎会把它翻译为一段操作序列——而这些内部操作正是构建在关系代数之上的。

二者关系即如此：SQL 是面向用户的语言；关系代数是其理论模型。数据库引擎接收 SQL 查询后，会将其解析为基于关系代数的内部表示，进行优化，然后执行。

SQL 也远超关系代数的定义范围。关系代数不涉及：

• 聚合 - SUM()、COUNT()、AVG()

• 分组 - GROUP BY

• 排序 - ORDER BY

• 重复处理 - 关系代数处理集合（无重复）；SQL 默认处理多重集（允许重复）

这些功能之所以被加入 SQL，是因为实际查询需要。但它们仍然建立在关系代数的基础之上。

归根结底，理解关系代数能告诉您 SQL 查询在内部是如何构造与转换的。它不会改变您日常写 SQL 的方式，但会改变您对查询实际在做什么的思考方式。

常见错误与困惑

与关系代数相关的大多数困惑，归结为几个反复出现的误解。下面逐一说明。

• 把 SQL 与关系代数当成同一件事。 它们并不相同。SQL 受关系代数启发，但两者不可互换。SQL 是声明式的，并包含聚合与排序等关系代数未定义的功能。关系代数是形式化模型；SQL 是建立其上的实用语言。

• 忽视模式兼容性要求。 并、交与差都要求并兼容的关系——相同的属性数量，且相同顺序上的数据类型一致。将这些算子用于模式不同的表行不通。这点易与无此要求的连接操作混淆。

• 不理解除法算子。 除法没有直接的 SQL 等价，这就是它常让人犯难的原因。若看到“找出与每个 Y 都相关的所有 X”之类查询，那就是除法。SQL 翻译需要使用双重 NOT EXISTS 模式——并不直观，因此值得在考试或面试前练习。

• 认为连接是独立的基本算子。 它们不是原语。每个连接都是笛卡尔积与选择的组合。自然连接、θ 连接、等值连接——都是这一组合的简写。理解这一点有助于在结果出乎意料时更易推断其行为。

结语

关系代数是每个关系型数据库系统的理论支柱。您写的每条 SQL 查询，在数据库引擎接触到任何一行数据之前，都会被翻译为一系列关系代数操作。

选择、投影、并、差、笛卡尔积及其派生算子，构成了这种翻译的基石。理解它们如何工作并如何链式组合，您就不再把 SQL 视作黑盒，而能看到其下的结构。

学习关系代数的真正价值在于：理解您的查询实际在做什么，而非用形式化记号去书写它们。