Probabilitas Majemuk: Definisi, Aturan, dan Contoh

Anda melempar dua dadu dalam permainan papan. Berapa peluang Anda mendapat angka enam pada keduanya? Atau mungkin Anda menganalisis data pelanggan dan perlu mengetahui probabilitas bahwa seorang pengguna mengklik iklan atau melakukan pembelian.

Skenario-skenario ini melibatkan probabilitas majemuk, yang menghitung kemungkinan beberapa kejadian, baik terjadi bersamaan maupun terpisah. Jika terdengar membingungkan, jangan khawatir: saya akan membuat idenya mudah diikuti dengan contoh-contoh yang jelas.

Apa Itu Probabilitas Majemuk?

Probabilitas majemuk menghitung kemungkinan ketika dua atau lebih kejadian terlibat. Probabilitas sederhana berfokus pada satu kejadian (seperti melempar satu koin), tetapi probabilitas majemuk menangani situasi ketika beberapa hal dapat terjadi.

Dalam statistik formal, skenario-skenario ini memiliki nama khusus: skenario DAN adalah probabilitas gabungan (peluang kedua kejadian terjadi bersama), dan skenario ATAU adalah union (peluang setidaknya satu kejadian terjadi).

Anggap probabilitas majemuk sebagai istilah payung yang ramah pemula untuk membantu Anda mempelajari kedua jenis perhitungan sebelum masuk ke istilah yang lebih teknis ini.

Jenis Kejadian pada Probabilitas Majemuk

Pembedaan DAN/ATAU memberi tahu Anda rumus mana yang digunakan, tetapi ada hubungan lain antarkejadian yang mengubah cara rumus tersebut bekerja. Sebelum Anda bisa menghitung probabilitas majemuk dengan akurat, Anda perlu memahami bagaimana kejadian saling terkait. Secara khusus, apakah satu kejadian memengaruhi kejadian lainnya.

Kejadian independen

Dua kejadian bersifat independen ketika yang satu tidak memengaruhi yang lain. Lempar koin, lalu gulirkan dadu. Mendapatkan gambar tidak mengubah peluang Anda untuk mendapatkan angka empat. Setiap kejadian memiliki probabilitasnya sendiri yang tetap konstan.

Contoh klasiknya termasuk melempar beberapa dadu, melempar beberapa koin, atau mengambil kartu dengan pengembalian (mengembalikan setiap kartu sebelum undian berikutnya). Dalam data science, Anda akan melihat independensi saat menganalisis sesi pengguna yang terpisah atau kelompok uji A/B yang tidak terkait.

Kejadian dependen

Kejadian bersifat dependen ketika kejadian pertama mengubah probabilitas kejadian kedua. Ambil satu kartu dari dek, lalu ambil lagi tanpa mengembalikan yang pertama. Undian kedua memiliki peluang berbeda karena komposisi dek berubah.

Anda akan melihat kejadian dependen saat melakukan sampling tanpa pengembalian, dalam proses pengambilan keputusan berurutan, atau ketika kejadian saling terkait secara kausal. Probabilitas pembelian kedua bergantung pada apakah pelanggan melakukan pembelian pertama. Ketergantungan ini secara langsung memengaruhi perhitungan Anda.

Aturan Menghitung Probabilitas Majemuk

Sekarang setelah Anda memahami hubungan antarkejadian, kita bisa membahas perhitungannya.

Sifat independen atau dependen yang baru saja Anda pelajari secara langsung menentukan versi rumus mana yang akan Anda gunakan. Metode perhitungan bergantung pada apakah Anda berurusan dengan skenario DAN atau ATAU, dan dalam skenario tersebut, apakah kejadian Anda independen atau dependen.

Bagan alur keputusan untuk memilih rumus probabilitas majemuk yang tepat. Gambar oleh Penulis.

Aturan perkalian

Aturan perkalian menangani skenario DAN (ketika Anda menginginkan kedua kejadian terjadi). Untuk kejadian independen, kalikan probabilitas masing-masing: P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Menggulung angka empat DAN mendapatkan gambar? Itu (1/6) × (1/2) = 1/12.

Untuk kejadian dependen, Anda memerlukan probabilitas bersyarat: P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A). Artinya "probabilitas A dikalikan probabilitas B dengan syarat A terjadi." Mengambil dua kartu As tanpa pengembalian? As pertama 4/52, tetapi As kedua kini 3/51 karena Anda mengambil dari dek yang lebih kecil. Kalikan: (4/52) × (3/51) = 1/221.

Aturan penjumlahan (ketika kejadian saling tumpang tindih)

Aturan penjumlahan menangani skenario ATAU (ketika Anda menginginkan setidaknya satu kejadian terjadi). Jika kejadian tidak dapat terjadi bersamaan (saling eksklusif), cukup jumlahkan: P(A atau B) = P(A) + P(B). Menggulung angka dua ATAU tiga pada satu dadu berarti 1/6 + 1/6 = 1/3.

Ketika kejadian dapat saling tumpang tindih, Anda perlu mengurangkan irisan untuk menghindari penghitungan ganda: P(A atau B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Mengambil raja ATAU hati dari satu dek? Ada 4 raja dan 13 hati, tetapi raja hati dihitung dua kali, jadi: 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52.

Contoh Langkah demi Langkah Probabilitas Majemuk

Mari kita kerjakan contoh konkret untuk melihat bagaimana aturan ini diterapkan. Probabilitas majemuk adalah istilah payung yang mencakup skenario kejadian independen dan dependen.

Contoh dengan kejadian independen

Anda melempar koin adil dua kali. Berapa probabilitas mendapatkan gambar pada keduanya? Karena lemparan koin independen, setiap lempar memiliki probabilitas 1/2. Menggunakan aturan perkalian: P(Gambar pada lemparan 1 DAN Gambar pada lemparan 2) = 1/2 × 1/2 = 1/4. Ada peluang 25% untuk mendapatkan dua gambar berturut-turut.

Contoh dengan kejadian dependen

Sebuah kantong berisi 5 kelereng biru dan 3 kelereng merah. Anda mengambil dua kelereng tanpa pengembalian. Berapa probabilitas keduanya berwarna biru? Undian pertama memiliki probabilitas 5/8. Setelah mengeluarkan satu kelereng biru, hanya tersisa 4 kelereng biru dalam kantong berisi 7, sehingga P(Biru pada undian kedua | Biru pada undian pertama) = 4/7. Maka: P(Keduanya biru) = 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14, kira-kira 35,7%.

Diagram pohon memvisualisasikan kejadian dependen saat mengambil kelereng tanpa pengembalian. Gambar oleh Penulis.

Contoh yang melibatkan "DAN" vs "ATAU"

Membaca dengan cermat sangat penting di sini. Sebuah dadu standar digulirkan. Berapa probabilitas mendapatkan angka kurang dari 3 ATAU angka genap? Angka kurang dari 3: {1, 2}. Angka genap: {2, 4, 6}. Ini tumpang tindih pada angka 2, jadi kita tidak bisa sekadar menjumlahkan. Menggunakan aturan penjumlahan: P(Kurang dari 3) = 2/6, P(Genap) = 3/6, P(Keduanya) = 1/6. Maka: 2/6 + 3/6 - 1/6 = 4/6 = 2/3.

Diagram Venn yang menunjukkan kejadian tumpang tindih. Gambar oleh Penulis.

Perhatikan bagaimana kata "atau" memberi isyarat bahwa kita perlu penjumlahan, sedangkan "dan" memberi isyarat perkalian. Bahasa dalam soal probabilitas memberi tahu Anda aturan mana yang harus diterapkan.

Kesalahan dalam Probabilitas Majemuk

Menganggap kejadian dependen sebagai independen adalah kesalahan yang paling sering terjadi. Jika Anda mengambil kartu tanpa pengembalian tetapi mengalikan probabilitas seolah-olah dek tidak berubah, jawaban Anda akan salah. Selalu tanyakan: apakah kejadian pertama mengubah kondisi untuk kejadian kedua?

Menjumlahkan probabilitas saat yang diperlukan adalah perkalian terjadi ketika orang salah menafsirkan "dan" sebagai "atau." Jika sebuah pertanyaan meminta probabilitas kejadian A DAN kejadian B, Anda mengalikan (dengan asumsi independen atau menggunakan probabilitas bersyarat). Menjumlahkan akan memberi Anda skenario yang sama sekali berbeda.

Salah menafsirkan "dan" versus "atau" menyebabkan kebingungan karena bahasa sehari-hari kurang presisi dibanding bahasa matematika. "Berapa peluang hujan atau salju besok?" berarti setidaknya salah satu, bukan keduanya (itu penjumlahan). "Berapa peluang hujan dan salju besok?" berarti keduanya terjadi (itu perkalian).

Lupa menyesuaikan probabilitas setelah suatu hasil terjadi muncul dalam skenario berurutan. Setelah mengambil satu kartu, dek memiliki 51 kartu, bukan 52. Setelah satu pelanggan pergi, Anda memiliki satu lebih sedikit dalam sampel Anda. Perbarui probabilitas Anda di setiap langkah.

Di Mana Probabilitas Majemuk Muncul

Dalam permainan untung-untungan, kasino menggunakan probabilitas majemuk untuk menghitung keunggulan rumah. Memahami probabilitas beberapa hasil yang menguntungkan membantu pemain membuat keputusan taruhan yang tepat (meskipun rumah selalu memiliki keunggulan matematis yang telah dibangun). Analisis risiko dalam bisnis dan keuangan sangat bergantung pada probabilitas majemuk. Berapa probabilitas terjadinya penurunan pasar DAN kenaikan suku bunga? Skenario majemuk ini membantu perusahaan melakukan lindung nilai terhadap beberapa faktor risiko yang terjadi secara bersamaan.

Proses pengendalian mutu menggunakan probabilitas majemuk untuk menilai kemungkinan cacat. Jika dua tahap manufaktur masing-masing memiliki tingkat cacat 2%, probabilitas majemuk memberi tahu Anda tingkat cacat keseluruhan untuk produk yang melewati kedua tahap tersebut. Pengujian medis menggabungkan beberapa hasil tes menggunakan probabilitas majemuk. Seorang pasien mungkin menerima beberapa tes diagnostik, dan dokter perlu mengetahui probabilitas penyakit mengingat semua hasil tes secara bersama, bukan hanya satu tes secara terpisah.

Kursus Foundations of Probability in Python kami membahas aplikasi praktis seperti ini secara mendalam.

Probabilitas Majemuk vs. Probabilitas Bersyarat

Probabilitas bersyarat menanyakan: "Dengan asumsi B terjadi, berapa probabilitas A?" Anda sedang memperbarui estimasi probabilitas berdasarkan informasi baru. Probabilitas majemuk menanyakan: "Berapa probabilitas bahwa beberapa kejadian terjadi dalam suatu kombinasi?"

Keduanya terhubung saat menghitung probabilitas majemuk untuk kejadian dependen. Anda menggunakan probabilitas bersyarat dalam aturan perkalian. P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) menunjukkan hubungan ini secara eksplisit. Probabilitas bersyarat P(B|A) membantu Anda menghitung probabilitas majemuk dari A dan B sekaligus.

Pikirkan begini. Probabilitas bersyarat adalah alat yang Anda gunakan dalam perhitungan probabilitas majemuk. Ketika kejadian bersifat dependen, Anda tidak dapat menghitung probabilitas majemuk tanpa mempertimbangkan bagaimana satu kejadian memengaruhi kejadian lain, dan itulah yang diukur oleh probabilitas bersyarat.

Tips Latihan untuk Menyelesaikan Soal Probabilitas Majemuk

Mulailah dengan mengidentifikasi berapa banyak kejadian yang terlibat dan apakah kejadian-kejadian tersebut independen atau dependen. Cari petunjuk: apakah masalah menyebutkan pengembalian? Apakah satu kejadian mengubah kondisi untuk berikutnya? Kejadian independen mempertahankan probabilitasnya konstan, sedangkan kejadian dependen mengharuskan Anda memperbarui probabilitas setelah setiap kejadian.

Terjemahkan "dan" atau "atau" dengan cermat karena kata-kata ini menentukan seluruh pendekatan Anda. Tuliskan apa yang Anda ketahui sebelum menghitung. Daftarkan probabilitas individual, identifikasi probabilitas bersyarat apa pun, dan buat sketsa diagram cepat jika Anda bekerja dengan kejadian berurutan. Pekerjaan persiapan ini mencegah kesalahan saat Anda mulai menghitung.

Periksa hasil Anda untuk kewajaran dasar. Probabilitas harus berada di antara 0 dan 1. Jika Anda mengalikan probabilitas, jawaban Anda harus lebih kecil daripada probabilitas individual terkecil. Jika ada yang terasa janggal, tinjau kembali pekerjaan Anda sebelum melanjutkan. Kursus Probability Puzzles in R kami menawarkan latihan dengan strategi pemecahan masalah ini.

Kesimpulan

Probabilitas majemuk memberi Anda kerangka matematika untuk menangani beberapa kejadian secara kombinasi. Kuncinya adalah mengenali apakah Anda berurusan dengan skenario DAN (aturan perkalian) atau skenario ATAU (aturan penjumlahan), serta apakah kejadian Anda independen atau dependen. Pembedaan ini menentukan rumus mana yang akan Anda gunakan.

Dengan latihan, Anda akan mengembangkan intuisi untuk soal-soal ini. Aplikasi dunia nyata dalam data science (dari pengujian A/B hingga pemodelan risiko) menggunakan prinsip yang sama. Mulailah dengan contoh sederhana, kerjakan logikanya selangkah demi selangkah, dan bangun kepercayaan diri Anda dengan skenario yang semakin kompleks.