Het getal van Euler (e) uitgelegd: betekenis en toepassingen

Wat hebben samengestelde rente, logistische regressie en bevolkingsgroeimodellen met elkaar gemeen? Het antwoord is dat ze allemaal steunen op het getal van Euler, of e.

Het getal van Euler is waarschijnlijk een van de belangrijkste constanten, op pi na. Het wordt gebruikt in disciplines van biologie, natuurkunde en astronomie tot data science, statistiek en financiële analyse.

Leuk weetje: in elk lab waar ik werkte, werden de eerste cijfers van e of pi ergens als wachtwoord gebruikt. Waarom? Omdat iedereen die getallen kende! Zó vaak worden ze gebruikt.

Laten we dus onderzoeken waarom e zo memorabel is, de wiskundige eigenschappen definiëren en bekijken hoe het wordt toegepast.

TL;DR

• Het getal van Euler (e ≈ 2.71828) is de basis van de natuurlijke logaritme en duikt overal op waar iets continu groeit of afneemt — van samengestelde rente tot populatiedynamiek.

• Het werd ontdekt door Jacob Bernoulli tijdens zijn studie van samengestelde rente in 1683 en later geformaliseerd door Leonhard Euler, die het ook weergaf als de oneindige reeks 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...

• De functie eˣ is uniek omdat de afgeleide ervan gelijk is aan zichzelf, wat het de natuurlijke keuze maakt voor het modelleren van veranderingen met een snelheid die evenredig is aan de huidige waarde — nuttig in analyse, differentiaalvergelijkingen en kansverdelingen zoals de Poisson- en Gaussverdeling.

Introductie tot het getal van Euler

Het getal van Euler is een wiskundige constante die ongeveer gelijk is aan 2,71828. Het is de basis van de natuurlijke logaritme en een cruciaal onderdeel van berekeningen rond continue groei en afname. Net als 𝜋 is e een universele constante. Maar terwijl 𝜋 de verhouding weergeeft tussen de omtrek van een cirkel en de diameter, ontstaat e van nature uit exponentiële processen. Het getal van Euler verschijnt vaak bij het modelleren van processen met continue verandering, bijvoorbeeld bij het berekenen van continu samengestelde rente of het modelleren van bevolkingsgroei.

Het getal van Euler is zowel irrationaal als transcendent. Dat betekent dat e niet als een eenvoudige breuk kan worden uitgedrukt en niet kan worden verkregen als oplossing van een polynoomvergelijking met rationale coëfficiënten. De cijfers lopen oneindig door zonder zich te herhalen.

Historische achtergrond

Laten we kort naar de geschiedenis kijken:

Jacob Bernoulli en de ontdekking van e

Het verhaal van het getal van Euler begint in 1683, toen Jacob Bernoulli de wiskunde van samengestelde rente bestudeerde. Hij stelde een ogenschijnlijk eenvoudige vraag: wat gebeurt er als we rente continu in plaats van jaarlijks samenstellen?

Ter illustratie: neem een initiële hoofdsom P, belegd tegen een jaarlijkse rente r. Bij jaarlijkse samenstelling is de toekomstige waarde na één jaar P(1 + r). Bij halfjaarlijkse samenstelling wordt dit P(1 + r/2)². Naarmate het aantal samenstellingsintervallen (n) toeneemt, wordt de formule P(1 + r/n)ⁿ.

De bovenstaande grafiek toont het verschil tussen jaarlijks samengestelde rente en continu samengestelde rente. Dit is een tamelijk extreem voorbeeld van een hoofdsom van $1000 met 50% jaarlijkse rente, om het patroon te laten zien.

Bernoulli ontdekte dat wanneer n naar oneindig gaat, de waarde van (1 + 1/n)ⁿ convergeert naar ongeveer 2,718. Deze constante, later e genoemd, belichaamt de essentie van continue samenstelling.

Leonhard Euler: formalisering en naamgeving

Jacob Bernoulli ontdekte misschien de aanwezigheid van e in samengestelde rente, maar Leonhard Euler werkte het concept in het begin van de 18e eeuw volledig uit. Tussen 1727 en 1731 formaliseerde Euler de eigenschappen van e en gaf hij het zijn nu bekende naam.

Euler toonde aan dat e kan worden weergegeven als een oneindige reeks:

Deze reeks, afgeleid uit de analyse, maakte het mogelijk e met willekeurige precisie te berekenen en opende de deur naar een dieper begrip van de eigenschappen ervan.

De bovenstaande grafieken laten zien hoe we e kunnen berekenen door een reeks getallen op te tellen: e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …  De blauwe lijn toont het totaal naarmate we meer termen toevoegen, beginnend met alleen 1, en vervolgens termen uit de reeks toevoegen. De rode stippellijn stelt de werkelijke waarde van e voor. Je ziet dat het totaal al na een paar termen heel dicht bij e komt, en elke nieuwe term slechts een minieme bijdrage levert. Dit is belangrijk omdat het laat zien dat we e nauwkeurig kunnen schatten zonder een oneindig aantal termen toe te voegen.

Evolutie van e in de wiskundige literatuur

Nadat Euler e in de 18e eeuw formaliseerde, breidden de toepassingen zich snel uit naar allerlei gebieden. In de 19e eeuw werd het belang bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen duidelijk. Wiskundigen zoals Joseph Fourier gebruikten e in warmtetransportvergelijkingen, wat de basis legde voor de thermodynamica. Fouriers werk over warmtediffusie steunde op exponentiële afnamevergelijkingen met e, zoals beschreven in The Analytical Theory of Heat.

In de 20e eeuw werd e een centraal hulpmiddel in biologie en populatiedynamiek. Het exponentiële groeimodel, P(t) = P0 ert, werd veel gebruikt om bevolkingsgroei onder ideale omstandigheden te beschrijven. Evenzo werd e in de natuurkunde nuttig voor modellen van radioactief verval, waarbij het aantal overblijvende deeltjes N(t) = N0 e-𝝺t volgt.

In de afgelopen decennia heeft e nieuwe relevantie gevonden in informatica en machine learning. De sigmoidfunctie, cruciaal in neurale netwerken, wordt bijvoorbeeld gedefinieerd door 𝝈(x) = 1/(1+e-x). Deze functie zet inputs om naar outputs tussen 0 en 1 en is daardoor essentieel voor classificatietaken. Het getal van Euler speelt ook een rol in de analyse van gerandomiseerde algoritmen en probabilistische modellen, zoals besproken in Deep Learning van Ian Goodfellow e.a..

Wiskundige eigenschappen van e

Nu we de geschiedenis een beetje begrijpen, laten we enkele van de belangrijkste wiskundige kenmerken en definities van het getal van Euler verkennen.

ex bij verschillende waarden van x. Afbeelding door de auteur.

e als limiet

De definitie van e als limiet is een van de meest intuïtieve en historisch belangrijke representaties. Ze komt van nature voort uit de studie van samengestelde rente en wordt uitgedrukt als:

Deze formule definieert e als het resultaat van oneindig samenstellen van groei. Het is een conceptuele basis om te begrijpen hoe e continue processen modelleert. Deze limietdefinitie laat ook zien hoe e verbonden is met exponentiële functies.

e als een oneindige reeks

Een andere manier om e te definiëren is via de representatie als oneindige reeks:

Deze reeks is afgeleid uit de analyse en biedt een nauwkeurige manier om e met elke gewenste precisie te berekenen. Ze benadrukt ook de link tussen e en faculteiten, die vaak voorkomen in de kansrekening en combinatoriek.

De exponentiële functie en analyse

De exponentiële functie, met e als basis, is naar mijn mening een van de nuttigste functies in de wiskunde. e^x is zijn eigen afgeleide:

Dit betekent dat de verandering van e^x altijd evenredig is met de huidige waarde. Deze eigenschap maakt e^x het perfecte wiskundige hulpmiddel om continue groei of afname te modelleren. Deze eigenschap maakt het nuttig om radioactief verval, bevolkingsgroei en continu samengestelde rente te beschrijven.

De natuurlijke logaritme

De natuurlijke logaritme, genoteerd als ln(x), is de inverse van de exponentiële functie e^x:

De natuurlijke logaritme wordt veel gebruikt in wiskunde en statistiek, met name bij het transformeren van data.

Eulers identiteit

Onder wiskundenerds is een van de leukere vergelijkingen Eulers identiteit:

Deze vergelijking wordt vaak beschouwd als het toppunt van wiskundige schoonheid omdat hij vijf van de meest fundamentele constanten met elkaar verbindt: e, i (de imaginaire eenheid), 𝜋, 1 en 0. Hij overbrugt ook schijnbaar ongerelateerde gebieden van de wiskunde: exponentiële functies, complexe getallen en trigonometrie.

e in kansrekening en statistiek

Het getal van Euler speelt een belangrijke rol in kansrekening en statistiek. Zo verschijnt het in de formule voor de Poissonverdeling, die het aantal gebeurtenissen in een vaste interval modelleert:

Hier zorgt e ervoor dat de kansen optellen tot 1, waardoor het onmisbaar is in deze veelgebruikte verdeling.

Evenzo is e belangrijk voor de exponentiële verdeling, die de tijd tussen gebeurtenissen in een Poissonproces modelleert:

Je ziet dat e ook voorkomt in de Gaussverdeling, waar het ervoor zorgt dat waarden verder van het gemiddelde exponentieel afnemen.

Zoals je hebt gezien, verbindt het getal van Euler ook schijnbaar ongerelateerde gebieden van de wiskunde, van exponentiële groei tot complexe getallen, via vergelijkingen zoals Eulers identiteit. Deze verwevenheid toont het diepe en universele karakter van e, waardoor het een van de belangrijkste constanten in de wiskunde is. Zonder e zouden we de wiskundige tools missen om allerlei processen die geleidelijk in de tijd veranderen, nauwkeurig te modelleren.

Leerboekvoorbeelden en berekeningen

Laten we drie klassieke leerboekberekeningen bekijken die laten zien hoe e kan worden toegepast.

Voorbeeld 1: continue vs. maandelijkse samengestelde rente

Stel dat je $1.000 belegt tegen een jaarlijkse rente van 5%. We berekenen de toekomstige waarde van deze investering na één jaar onder twee verschillende samenstellingsmethoden: maandelijkse samenstelling en continue samenstelling.

Maandelijkse samenstelling

Bij maandelijkse samenstelling wordt de rente elke maand berekend en toegevoegd aan de hoofdsom. De formule voor discrete samenstelling is

waar P = 1000 de initiële hoofdsom is, r = 0,05 de jaarlijkse rente, n = 12 het aantal samenstellingsperioden per jaar (hier maandelijks), en t = 1 het aantal jaren. Door deze waarden in te vullen, krijgen we dit:

Deze berekening toont de toekomstige waarde van de investering bij maandelijkse samenstelling. In dit geval groeit de investering na één jaar naar ongeveer $1.051,16.

Continue samenstelling

Wanneer rente continu wordt samengesteld, betekent dit dat de rente op elk moment wordt toegevoegd, wat een vloeiendere groeicurve creëert. De formule voor continue samenstelling is:

waar P = 1000, r = 0,05 en t = 1. Door de waarden in te vullen, krijgen we dit:

De waarde na één jaar is in dit geval $1.051,27. Hoewel het verschil tussen de twee methoden na slechts één jaar klein lijkt, levert continue samenstelling een iets hogere waarde op. Over langere perioden of bij hogere rentes wordt het verschil veel significanter.

Het gebruik van e houdt hier rekening met het feit dat de rente continu wordt samengesteld — dus op elk moment groeit — waardoor het groeitempo vloeiender is.

Voorbeeld 2: modelleren van bevolkingsgroei met e

Ons tweede scenario komt uit de biologie. Stel dat een populatie vliegen groeit met een continue geboortegraad van 20% per week en een continue sterftegraad van 5% per week. Als je begint met 1.000 vliegen, hoeveel zijn er dan na 5 weken? Dit probleem lijkt sterk op de formule voor samengestelde rente; je zult zien dat de vergelijking bijna hetzelfde is!

De continue groei van een populatie kan worden gemodelleerd met deze formule:

waar P(t) de populatie is op tijdstip t, P0 de initiële populatie is, b de geboortegraad, d de sterftegraad, en (b-d) de nettogroeisnelheid. Door de waarden in te vullen:

Na 5 weken is de populatie gegroeid tot ongeveer 2.117 vliegen.

De rol van e is hier essentieel: het stelt ons in staat continue groei te modelleren. In tegenstelling tot discrete modellen die groei op vaste intervallen meten, houdt het continue groeimodel met e rekening met het feit dat groei op elk moment plaatsvindt, waardoor het een nauwkeurigere weergave is van reële processen zoals bevolkingsgroei, zeker bij grote populaties.

Voorbeeld 3: kansscenario’s waarin e voorkomt

Ons derde klassieke voorbeeld komt uit de kansrekening. Laten we het probleem van derangements bekijken, dat vraagt: als je willekeurig n brieven aan n enveloppen toewijst, wat is dan de kans dat geen enkele brief in de juiste envelop belandt? Dit heet een "derangement".

De kans op een derangement wordt gegeven door de formule:

Als n heel groot wordt, nadert deze kans 1/e, of ongeveer 0,3679. Dit betekent dat er bij een groot aantal brieven ongeveer 37% kans is dat geen enkele brief correct geplaatst wordt.

Bij 3 brieven zijn er 3!=6 mogelijke schikkingen. Daarvan zijn er slechts 2 derangements (waar geen enkele brief in de juiste envelop zit). De kans is:

Laten we de kans berekenen voor 10 brieven. Met de formule:

Dit resultaat laat zien dat zelfs bij slechts 10 brieven de kans op geen enkele match al heel dicht bij 1/e ligt. Naarmate het aantal brieven toeneemt, convergeert de kans naar 1/e.

Het getal van Euler in professionele domeinen

Het getal van Euler komt voor in talloze toepassingen in de echte wereld. De unieke eigenschappen maken het onmisbaar in gebieden van analyse en biologie tot financiën en techniek.

e in analyse

Het getal van Euler is fundamenteel in de analyse, waar het centraal staat bij het begrijpen van continue verandering. Zoals we al noemden, is de exponentiële functie e^x uniek omdat de afgeleide gelijk is aan zichzelf:

Deze eigenschap maakt e^x essentieel voor het modelleren van processen waarbij de snelheid van verandering evenredig is met de huidige waarde. Het getal van Euler is betrokken bij het oplossen van veel differentiaalvergelijkingen.

e in biologie en gezondheidszorg

Mijn eerste kennismaking met e was in de biologie, waar het wordt gebruikt om continue groei en afname te modelleren. Zo kunnen bacteriepopulaties die met een constante snelheid groeien, worden beschreven met de klassieke vergelijking voor bevolkingsgroei:

waar P₀ de initiële populatie is, r de groeisnelheid en t de tijd.

Evenzo wordt e in de gezondheidszorg gebruikt om medicijnmetabolisme te modelleren, waarbij de concentratie van een medicijn in het lichaam in de tijd exponentieel afneemt:

Deze modellen zijn essentieel om biologische processen te begrijpen en medische behandelingen te optimaliseren, zoals het bepalen van effectieve doseringen of het voorspellen van bacteriegroei in gecontroleerde omgevingen.

e in techniek en natuurkunde

In de techniek en de natuurkunde wordt e gebruikt om systemen met continue verandering te analyseren. Zo wordt Eulers formule:

gebruikt om sinusoïdale golfvormen in wisselstroom (AC) circuits weer te geven. In signaalverwerking wordt e gebruikt in de Fouriertransformatie, die complexe signalen opbreekt in eenvoudigere frequentiecomponenten. Deze toepassingen zijn nuttig in vakgebieden als elektrotechniek, kwantummechanica en telecommunicatie.

e in financiën

Zoals je je kunt voorstellen, is het getal van Euler essentieel in financiën, met name bij het berekenen van continu samengestelde rente, zoals we al hebben gezien.

Het getal van Euler wordt ook gebruikt in financiële modellen zoals de Black-Scholes-vergelijking, die de reële waarde van opties berekent door continue bewegingen in activaprijzen mee te nemen. Door e op te nemen, houdt het Black-Scholes-model rekening met het continue karakter van activaprijsbewegingen, wat precieze prijsstelling van opties mogelijk maakt. Meer over financieel modelleren leer je in onze Financial Analysts in Google Sheets-cursus.

e in informatica

In de informatica wordt e veel gebruikt in machine learning, cryptografie en simulaties. De sigmoidfunctie, een belangrijk onderdeel van neurale netwerken, wordt gedefinieerd als:

Deze functie zet inputs om naar outputs tussen 0 en 1 en is daardoor nuttig voor classificatietaken. Het getal van Euler verschijnt ook in algoritmen voor het simuleren van Poissonprocessen en exponentiële afname, die worden gebruikt bij het genereren van willekeurige getallen, Monte Carlo-simulaties en cryptografische systemen.

e in verzekeringen en demografie

In de actuariële wetenschappen wordt e gebruikt om risico’s te modelleren en de toekomstige waarde van levensverzekeringen en lijfrentes te berekenen. Continue rente-opbouw wordt bijvoorbeeld gemodelleerd met e^rt. In de demografie wordt e gebruikt om bevolkingsgroei en sterftecijfers te beschrijven. De Gompertz-functie, die veroudering en sterfte modelleert, gebruikt e om de levensverwachting te schatten.

e in geologie

In de geologie is e essentieel voor het modelleren van radioactief verval, zoals beschreven door de vergelijking:

waar N₀ de initiële hoeveelheid van een radioactieve isotoop is, 𝝀 de vervalconstante en t de tijd. Deze vergelijking wordt gebruikt voor koolstofdatering, waarmee de leeftijd van gesteenten en fossielen wordt bepaald. Het getal van Euler wordt in de seismologie ook gebruikt om de verzwakking van seismische golven te modelleren, die exponentieel afnemen naarmate ze door de aarde reizen. Dit helpt bij aardbevingsanalyse en -voorspelling.

e in meteorologie

Meteorologen gebruiken e om temperatuurveranderingen en weersystemen te modelleren. Zo wordt het afkoelen of opwarmen van een object in de tijd beschreven door:

waar T₀ de begintemperatuur is en 𝝀 de snelheidsconstante. Exponentiële modellen met e worden ook gebruikt in de klimaatwetenschap om de langetermijneffecten van koolstofemissies te voorspellen en in weersvoorspelling om de evolutie van luchtdruk en wolkvorming te modelleren.

e in taalkunde

Geloof het of niet, het getal van Euler heeft zelfs toepassingen in de taalkunde! Het wordt gebruikt in statistische modellen van woordfrequenties, zoals de wet van Zipf, die stelt dat de frequentie van een woord omgekeerd evenredig is met de rang. Deze relatie kan worden gemodelleerd met exponentiële functies waarin e voorkomt.

In natural language processing (NLP) is e betrokken bij algoritmen zoals latent Dirichlet allocation (LDA), dat onderwerpverdelingen in tekst modelleert. Exponentiële functies worden ook gebruikt om taalontwikkeling te bestuderen en bij te houden hoe talen in de tijd veranderen.

Zoals je ziet, is het getal van Euler een universele constante die in een breed scala aan verschillende vakgebieden wordt gebruikt. De toepassingen zijn zo oneindig als de cijfers!

Misvattingen over e

Hoe alomtegenwoordig e ook is, er zijn genoeg kansen op verwarring.

Het getal van Euler (e) versus de constante van Euler (γ)

Het is gemakkelijk om het getal van Euler en de constante van Euler door elkaar te halen. Ze dragen tenslotte allebei Eulers naam. Maar het zijn twee totaal verschillende getallen die in verschillende gebieden van de wiskunde opduiken.

• e ≅ 2,718: Dit is de basis van de natuurlijke logaritme. Het is superbelangrijk in analyse, exponentiële groei en alles wat met continue verandering te maken heeft. Denk aan e als je werkt met zaken als samengestelde rente of bevolkingsgroei.
• γ ≅ 0,577: Dit heet de Euler-Mascheroni-constante. Die duikt op in de getaltheorie en hangt samen met de harmonische reeks (een chique manier om breuken op te tellen zoals 1 + ½ + ⅓ +...). Denk aan γ bij problemen met de harmonische reeks of logaritmische groei.

Onjuist gebruik in toepassingen uit het echte leven

e duikt in veel verschillende situaties op en kan soms tot verwarring leiden. Het is belangrijk te weten wanneer het gepast is om e te gebruiken en wanneer niet. Mensen horen bijvoorbeeld vaak over continue samenstelling en nemen aan dat dit altijd beter is dan discrete rente. Maar veel banken gebruiken maandelijkse of kwartaalgewijze samenstelling. Als je dus echte activa wilt modelleren, moet je weten of continue of discrete samenstelling het meest geschikt is, anders kan het gebeuren dat je model de realiteit niet weerspiegelt.

Conclusie

Het getal van Euler, e, is een van de meest gebruikte constanten in de wiskunde, op 𝜋 na. Het is een hulpmiddel dat complexe berekeningen vereenvoudigt, groei modelleert en het mogelijk maakt continue verandering te beschrijven. Je kunt leren werken met e in je code in onze Exponents in Python-tutorial. Ben je geïnteresseerd in meer wiskunde? Bekijk dan onze Inleidende Statistiek- of Lineaire Algebra-cursussen.