El número de Euler (e) explicado: su importancia y aplicaciones

¿Qué tienen en común el interés compuesto, la regresión logística y los modelos de crecimiento de poblaciones? La respuesta es que todos dependen del número de Euler, o e.

El número de Euler es, probablemente, una de las constantes más importantes, solo por detrás de pi. Se utiliza en disciplinas tan variadas como la biología, la física y la astronomía, y también en ciencia de datos, estadística y análisis financiero.

Dato curioso: en todos los laboratorios en los que trabajé, en algún sitio usábamos los primeros dígitos de e o de pi como contraseña. ¿Por qué? ¡Porque todo el mundo los conocía! Así de a menudo aparecen.

Vamos a ver qué hace que e sea tan memorable, a definir sus propiedades matemáticas y a explorar sus aplicaciones.

Resumen

• El número de Euler (e ≈ 2.71828) es la base del logaritmo natural y aparece siempre que algo crece o decrece de forma continua: desde el interés compuesto hasta la dinámica de poblaciones.

• Lo descubrió Jacob Bernoulli al estudiar el interés compuesto en 1683 y más tarde lo formalizó Leonhard Euler, quien también lo representó como la serie infinita 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...

• La función eˣ es única porque su derivada es ella misma, lo que la convierte en la opción natural para modelar tasas de cambio proporcionales al valor actual, muy útil en cálculo, ecuaciones diferenciales y distribuciones de probabilidad como la de Poisson y la normal.

Introducción al número de Euler

El número de Euler es una constante matemática aproximadamente igual a 2,71828. Es la base del logaritmo natural y una pieza clave en cálculos de crecimiento y descomposición continuos. Al igual que 𝜋, e es una constante universal. Pero mientras 𝜋 representa la razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo, e surge de forma natural en procesos exponenciales. El número de Euler aparece a menudo al modelar procesos con cambio continuo, por ejemplo, al calcular interés compuesto continuamente o al modelar el crecimiento de poblaciones.

El número de Euler es irracional y trascendente. Esto significa que e no puede expresarse como una fracción simple ni derivarse resolviendo ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales. Sus cifras se prolongan infinitamente sin repetirse.

Contexto histórico

Echemos un vistazo a su historia:

Jacob Bernoulli y el descubrimiento de e

La historia del número de Euler comienza en 1683, cuando Jacob Bernoulli estudió las matemáticas del interés compuesto. Planteó una pregunta en apariencia sencilla: ¿qué ocurre si capitalizamos intereses de forma continua en vez de anual?

Para ilustrarlo, considera un capital inicial P invertido a un tipo anual r. Si el interés se capitaliza anualmente, el valor futuro tras un año es P(1 + r). Si se capitaliza semestralmente, pasa a ser P(1 + r/2)². A medida que aumenta el número de periodos de capitalización (n), la fórmula es P(1 + r/n)ⁿ.

El gráfico anterior muestra la diferencia entre capitalización anual y capitalización continua. Es un ejemplo bastante extremo con un principal de 1000 $ y un 50% de interés anual, para resaltar el patrón.

Bernoulli descubrió que, cuando n tiende a infinito, el valor de (1 + 1/n)ⁿ converge aproximadamente a 2,718. Esta constante, a la que más tarde se llamó e, capta la esencia de la capitalización continua.

Leonhard Euler: formalización y nombre

Jacob Bernoulli pudo haber descubierto la presencia de e en el interés compuesto, pero fue Leonhard Euler quien desarrolló plenamente el concepto a principios del siglo XVIII. Entre 1727 y 1731, Euler formalizó las propiedades de e y le dio el nombre con el que hoy la conocemos.

Euler demostró que e puede representarse como una serie infinita:

Esta serie, derivada del cálculo, permite calcular e con la precisión que quieras y abrió la puerta a una comprensión más profunda de sus propiedades.

Los gráficos anteriores muestran cómo calcular e sumando una serie de números: e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …  La línea azul muestra el total al añadir más términos, empezando por 1 y sumando términos de la serie. La línea roja discontinua representa el valor real de e. Puedes ver que el total se aproxima mucho a e tras solo unos pocos términos, y cada término nuevo apenas cambia el resultado. Esto es clave porque demuestra que podemos estimar e con gran precisión sin necesitar infinitos términos.

Evolución de e en la literatura matemática

Tras la formalización de e en el siglo XVIII, sus aplicaciones se expandieron con rapidez a numerosos campos. En el siglo XIX, se reconoció su importancia en la resolución de ecuaciones diferenciales. Matemáticos como Joseph Fourier emplearon e en ecuaciones de transferencia de calor, sentando las bases de la termodinámica. El trabajo de Fourier sobre la difusión del calor se apoyaba en ecuaciones de decaimiento exponencial con e, como detalla The Analytical Theory of Heat.

Ya en el siglo XX, e se convirtió en una herramienta central en biología y dinámica de poblaciones. El modelo de crecimiento exponencial, P(t) = P0 ert, se popularizó para describir el crecimiento poblacional en condiciones ideales. De forma similar, en física, e resulta útil para modelos de decaimiento radiactivo, donde el número de partículas restantes sigue N(t) = N0 e-𝝺t.

En décadas más recientes, e ha cobrado nueva relevancia en informática y aprendizaje automático. Por ejemplo, la función sigmoide, crucial en redes neuronales, se define como 𝝈(x) = 1/(1+e-x). Esta función mapea entradas a salidas entre 0 y 1, lo que la hace esencial para tareas de clasificación. El número de Euler también interviene en el análisis de algoritmos aleatorizados y modelos probabilísticos, como se comenta en Deep Learning by Ian Goodfellow, et al.

Propiedades matemáticas de e

Ahora que conocemos un poco su historia, veamos algunas de las características y definiciones matemáticas más importantes del número de Euler.

ex con distintos valores de x. Imagen de la autora.

e como límite

La definición de e como límite es una de sus representaciones más intuitivas e históricamente significativas. Surge de forma natural al estudiar el interés compuesto y se expresa así:

Esta fórmula define e como el resultado de capitalizar el crecimiento de forma infinita. Es la base conceptual para entender cómo e modela procesos continuos. Esta definición como límite también muestra cómo e se conecta con las funciones exponenciales.

e como serie infinita

Otra manera de definir e es mediante su representación como serie infinita:

Esta serie se deriva del cálculo y ofrece una manera precisa de computar e con el nivel de exactitud que necesites. También resalta la conexión entre e y los factoriales, muy frecuentes en probabilidad y combinatoria.

La función exponencial y el cálculo

La función exponencial, con e como base, es de las más útiles de las matemáticas, en mi opinión. e^x es su propia derivada:

Esto significa que la tasa de cambio de e^x siempre es proporcional a su valor actual. Esta propiedad convierte a e^x en la herramienta perfecta para modelar crecimiento o decrecimiento continuos. Gracias a esto puede describir el decaimiento radiactivo, el crecimiento poblacional o el interés compuesto continuo.

El logaritmo natural

El logaritmo natural, denotado como ln(x), es la inversa de la función exponencial e^x:

El logaritmo natural se usa ampliamente en matemáticas y estadística, especialmente para transformar datos.

La identidad de Euler

Entre quienes disfrutamos de las mates, una de las ecuaciones más bonitas es la identidad de Euler:

Suele considerarse la cumbre de la belleza matemática porque conecta cinco de las constantes más fundamentales: e, i (la unidad imaginaria), 𝜋, 1 y 0. Además, tiende puentes entre áreas aparentemente no relacionadas: funciones exponenciales, números complejos y trigonometría.

e en probabilidad y estadística

El número de Euler desempeña un papel importante en teoría de la probabilidad y estadística. Por ejemplo, aparece en la fórmula de la distribución de Poisson, que modela el número de sucesos en un intervalo fijo:

Aquí, e garantiza que las probabilidades sumen 1, por lo que es indispensable en esta distribución tan utilizada.

De forma similar, e es clave en la distribución exponencial, que modela el tiempo entre eventos en un proceso de Poisson:

También verás e en la distribución normal (gaussiana), donde hace que los valores más alejados de la media decrezcan exponencialmente.

Como has visto, el número de Euler también conecta áreas de las matemáticas que parecen no tener relación, desde el crecimiento exponencial hasta los números complejos, a través de ecuaciones como la identidad de Euler. Esta interconexión demuestra la naturaleza profunda y universal de e, lo que la convierte en una de las constantes más importantes. Sin e, nos faltarían las herramientas matemáticas para modelar con precisión todo tipo de procesos que cambian suavemente con el tiempo.

Ejemplos y cálculos de manual

Veamos tres ejercicios clásicos que muestran cómo aplicar e.

Ejemplo 1: interés con capitalización continua vs. mensual

Imagina que inviertes 1000 $ a un 5% anual. Calcularemos el valor futuro tras un año con dos métodos de capitalización: mensual y continua.

Capitalización mensual

Con capitalización mensual, los intereses se calculan y añaden al principal cada mes. La fórmula para capitalización discreta es

donde P = 1000 es el capital inicial, r = 0,05 es el tipo anual, n = 12 es el número de periodos por año (mensual) y t = 1 es el número de años. Sustituyendo en la fórmula obtenemos:

Este cálculo muestra el valor futuro con capitalización mensual. En este caso, tras un año la inversión crece hasta aproximadamente 1051,16 $.

Capitalización continua

Cuando el interés se capitaliza de forma continua, se añade en cada instante, generando una curva de crecimiento más suave. La fórmula para capitalización continua es:

donde P = 1000, r = 0,05 y t = 1. Sustituyendo valores, obtenemos:

El valor tras un año en este caso es 1051,27 $. Aunque la diferencia entre métodos parezca pequeña tras un año, la capitalización continua da un valor ligeramente mayor. En horizontes más largos o con tipos más altos, la diferencia se vuelve mucho más significativa.

El uso de e aquí refleja que el interés se capitaliza continuamente: crece en cada instante, lo que suaviza la tasa de crecimiento.

Ejemplo 2: modelar crecimiento poblacional con e

Nuestro segundo escenario viene de la biología. Imagina que una población de moscas crece con una tasa continua de nacimientos del 20% semanal y una tasa continua de muertes del 5% semanal. Si empiezas con 1000 moscas, ¿cuántas habrá tras 5 semanas? Este problema es muy parecido al del interés compuesto; de hecho, verás que la ecuación es casi la misma.

El crecimiento continuo de una población puede modelarse con esta fórmula:

donde P(t) es la población en el tiempo t, P0 es la población inicial, b es la tasa de nacimientos, d la de muertes y (b-d) la tasa neta de crecimiento. Sustituyendo valores en la fórmula:

Tras 5 semanas, la población habrá crecido hasta aproximadamente 2117 moscas.

El papel de e aquí es esencial: nos permite modelar el crecimiento continuo. A diferencia de los modelos discretos que miden el crecimiento en intervalos fijos, el modelo continuo con e refleja que el crecimiento ocurre en cada instante, lo que lo hace más fiel a procesos reales como el crecimiento poblacional, especialmente en poblaciones grandes.

Ejemplo 3: escenarios de probabilidad con e

Nuestro tercer ejemplo clásico viene de la teoría de probabilidades. Veamos el problema de los desarreglos: si asignas al azar n cartas a n sobres, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna carta acabe en su sobre correcto? A esto se le llama un "desarreglo".

La probabilidad de un desarreglo viene dada por la fórmula:

Cuando n es muy grande, esta probabilidad se aproxima a 1/e, o aproximadamente 0,3679. Es decir, con un número grande de cartas, hay alrededor de un 37% de probabilidad de que ninguna quede en su sobre correcto.

Con 3 cartas, hay 3!=6 disposiciones posibles. De ellas, solo 2 son desarreglos (ninguna carta en su sobre). La probabilidad es:

Calculemos la probabilidad para 10 cartas. Usando la fórmula:

Este resultado muestra que, incluso con solo 10 cartas, la probabilidad de no acertar ninguna ya está muy cerca de 1/e. A medida que aumenta el número de cartas, la probabilidad converge a 1/e.

El número de Euler en el mundo profesional

El número de Euler aparece en infinidad de aplicaciones reales. Sus propiedades únicas lo hacen imprescindible en campos que van del cálculo y la biología a las finanzas y la ingeniería.

e en cálculo

El número de Euler es fundamental en cálculo, donde es clave para entender el cambio continuo. Como ya dijimos, la función exponencial e^x es única porque su derivada es ella misma:

Esta propiedad hace que e^x sea esencial para modelar procesos en los que la tasa de cambio es proporcional al valor actual. El número de Euler interviene en la resolución de muchas ecuaciones diferenciales.

e en biología y salud

Mi primer contacto con e fue en biología, donde se usa para modelar crecimiento y decrecimiento continuos. Por ejemplo, las poblaciones bacterianas que crecen a una tasa constante pueden describirse con la ecuación clásica de crecimiento poblacional:

donde P₀ es la población inicial, r la tasa de crecimiento y t el tiempo.

De forma similar, en salud, e se usa para modelar el metabolismo de fármacos, donde la concentración en el organismo decrece de manera exponencial con el tiempo:

Estos modelos son vitales para entender procesos biológicos y optimizar tratamientos, como determinar dosis eficaces o predecir el crecimiento bacteriano en entornos controlados.

e en ingeniería y física

En ingeniería y física, e se usa para analizar sistemas con cambio continuo. Por ejemplo, la fórmula de Euler:

se usa para representar ondas sinusoidales en circuitos de corriente alterna (CA). En procesamiento de señal, e interviene en la transformada de Fourier, que descompone señales complejas en componentes de frecuencia simples. Estas aplicaciones son útiles en ingeniería eléctrica, mecánica cuántica y telecomunicaciones.

e en finanzas

Como te imaginarás, el número de Euler es esencial en finanzas, especialmente en el cálculo del interés compuesto continuo, como ya vimos.

El número de Euler también aparece en modelos financieros como la ecuación de Black‑Scholes, que calcula el valor justo de las opciones incorporando movimientos continuos del precio del activo. Al usar e, el modelo Black‑Scholes tiene en cuenta la naturaleza continua de los precios, lo que permite un precio más preciso de las opciones. Puedes aprender más sobre modelización financiera en nuestro curso Financial Analysts in Google Sheets.

e en informática

En informática, e se usa ampliamente en aprendizaje automático, criptografía y simulaciones. La función sigmoide, pieza clave de las redes neuronales, se define como:

Esta función transforma entradas en salidas entre 0 y 1, por lo que es útil en clasificación. El número de Euler también aparece en algoritmos para simular procesos de Poisson y decaimiento exponencial, usados en generación de números aleatorios, simulaciones de Monte Carlo y sistemas criptográficos.

e en seguros y demografía

En ciencias actuariales, e se usa para modelar riesgos y calcular el valor futuro de pólizas de vida y rentas. Por ejemplo, la acumulación continua de interés se modela con e^rt. En demografía, e se usa para describir crecimiento poblacional y tasas de mortalidad. La función de Gompertz, que modela envejecimiento y tasas de muerte, emplea e para estimar la esperanza de vida.

e en geología

En geología, e es esencial para modelar el decaimiento radiactivo, descrito por la ecuación:

donde N₀ es la cantidad inicial de un isótopo radiactivo, 𝝀 es la constante de decaimiento y t el tiempo. Esta ecuación se usa en datación por carbono para determinar la antigüedad de rocas y fósiles. El número de Euler también se usa en sismología para modelar la atenuación de ondas sísmicas, que decaen exponencialmente al viajar por la Tierra. Esto ayuda en el análisis y la predicción de terremotos.

e en meteorología

Las y los meteorólogos usan e para modelar cambios de temperatura y sistemas meteorológicos. Por ejemplo, el enfriamiento o calentamiento de un objeto con el tiempo se describe por:

donde T₀ es la temperatura inicial y 𝝀 la constante de tasa. Los modelos exponenciales con e también se usan en climatología para prever efectos a largo plazo de emisiones de carbono y, en predicción del tiempo, para modelar la evolución de la presión atmosférica y la formación de nubes.

e en lingüística

Aunque no lo parezca, ¡el número de Euler también tiene aplicaciones en lingüística! Se usa en modelos estadísticos de frecuencias de palabras, como la ley de Zipf, que afirma que la frecuencia de una palabra es inversamente proporcional a su rango. Esta relación puede modelarse con funciones exponenciales que involucran e.

En procesamiento del lenguaje natural (PLN), e interviene en algoritmos como la asignación latente de Dirichlet (LDA), que modela distribuciones de temas en textos. Las funciones exponenciales también se usan para estudiar la evolución lingüística y cómo cambian las lenguas con el tiempo.

Como ves, el número de Euler es una constante universal usada en campos muy diversos. ¡Sus aplicaciones son tan infinitas como sus cifras!

Ideas equivocadas sobre e

Aunque e es omnipresente, también da pie a confusiones.

El número de Euler (e) frente a la constante de Euler (γ)

Es fácil confundir el número de Euler con la constante de Euler. Al fin y al cabo, ambas llevan su nombre. Pero en realidad son números completamente distintos y aparecen en áreas diferentes de las matemáticas.

• e ≅ 2,718: es la base del logaritmo natural. Es crucial en cálculo, crecimiento exponencial y todo lo que implique cambio continuo. Piensa en e cuando trabajes con interés compuesto o crecimiento poblacional.
• γ ≅ 0,577: es la constante de Euler‑Mascheroni. Aparece en teoría de números y está relacionada con la serie armónica (esa suma de fracciones como 1 + 1/2 + 1/3 + ...). Piensa en γ cuando trabajes con problemas que involucren la serie armónica o crecimiento logarítmico.

Mal uso en aplicaciones reales

e aparece en muchos contextos y, a veces, lleva a confusión. Es importante saber cuándo es apropiado usar e y cuándo no. Por ejemplo, mucha gente oye hablar de capitalización continua y asume que siempre es mejor que la discreta. Pero muchos bancos usan capitalización mensual o trimestral. Si vas a modelar activos reales, debes saber si conviene usar capitalización continua o discreta, o tu modelo puede no reflejar la realidad.

Conclusión

El número de Euler, e, es una de las constantes más utilizadas en matemáticas, solo por detrás de 𝜋. Es una herramienta que simplifica cálculos complejos, modela el crecimiento y nos permite describir el cambio continuo. Puedes aprender a usar e en tu código en nuestro tutorial Exponents in Python. Si te interesa aprender más matemáticas, echa un vistazo a nuestros cursos de estadística introductoria o álgebra lineal.