Il numero di Eulero (e) spiegato: significato e applicazioni

Cosa hanno in comune l’interesse composto, la regressione logistica e i modelli di crescita della popolazione? La risposta è che si basano tutti sul numero di Eulero, ovvero e.

Il numero di Eulero è probabilmente una delle costanti più importanti, seconda solo a pi greco. È usata in discipline che vanno dalla biologia, fisica e astronomia, fino alla data science, statistica e analisi finanziaria.

Curiosità: in ogni laboratorio in cui ho lavorato, da qualche parte si usavano le prime cifre di e o di pi greco come password. Perché? Perché tutti conoscevano quei numeri! Ecco quanto spesso vengono usati.

Quindi, vediamo cosa rende e così memorabile, definiamone le proprietà matematiche ed esaminiamo come viene applicato.

TL;DR

• Il numero di Eulero (e ≈ 2.71828) è la base del logaritmo naturale e compare ovunque qualcosa cresca o decada in modo continuo — dall’interesse composto alla dinamica di popolazione.

• Fu scoperto da Jacob Bernoulli studiando l’interesse composto nel 1683 e successivamente formalizzato da Leonhard Euler, che lo rappresentò anche come la serie infinita 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...

• La funzione eˣ è unica perché è la propria derivata, il che la rende la scelta naturale per modellare tassi di variazione proporzionali al valore attuale — utile in calcolo, equazioni differenziali e distribuzioni di probabilità come la Poisson e la gaussiana.

Introduzione al numero di Eulero

Il numero di Eulero è una costante matematica approssimativamente uguale a 2,71828. È la base del logaritmo naturale ed è fondamentale nei calcoli di crescita e decadimento continui. Similmente a 𝜋, e è una costante universale. Ma mentre 𝜋 rappresenta il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro, e è una costante che nasce naturalmente dai processi esponenziali. Il numero di Eulero compare spesso quando si modellano processi che coinvolgono cambiamenti continui, ad esempio nel calcolo dell’interesse composto continuo o nel modellare la crescita della popolazione.

Il numero di Eulero è sia irrazionale sia trascendente. Ciò significa che e non può essere espresso come frazione semplice né derivato risolvendo un’equazione polinomiale con coefficienti razionali. Le sue cifre proseguono all’infinito senza ripetersi.

Contesto storico

Vediamo brevemente la storia:

Jacob Bernoulli e la scoperta di e

La storia del numero di Eulero inizia nel 1683, quando Jacob Bernoulli studiò la matematica dell’interesse composto. Si pose una domanda apparentemente semplice: cosa succede se componiamo l’interesse in modo continuo invece che annuale?

Per illustrare, considera un capitale iniziale P investito a un tasso annuo r. Se l’interesse è composto annualmente, il valore futuro dopo un anno è P(1 + r). Se composto semestralmente, diventa P(1 + r/2)². All’aumentare del numero di intervalli di capitalizzazione (n), la formula diventa P(1 + r/n)ⁿ.

Il grafico sopra mostra la differenza tra interesse composto annualmente e interesse composto continuamente. Questo è un esempio piuttosto estremo di un capitale di $1000 con il 50% di interesse annuo, per evidenziare l’andamento.

Bernoulli scoprì che al tendere di n all’infinito, il valore di (1 + 1/n)ⁿ converge approssimativamente a 2,718. Questa costante, poi chiamata e, incarna l’essenza della capitalizzazione continua.

Leonhard Euler: formalizzazione e denominazione

Jacob Bernoulli può aver scoperto la presenza di e nell’interesse composto, ma fu Leonhard Euler a sviluppare pienamente il concetto all’inizio del XVIII secolo. Tra il 1727 e il 1731, Euler formalizzò le proprietà di e e gli diede il nome con cui lo conosciamo oggi.

Euler dimostrò che e può essere rappresentato come una serie infinita:

Questa serie, derivata dall’analisi, consentì di calcolare e con qualsiasi precisione desiderata e aprì la strada a una comprensione più profonda delle sue proprietà.

Il grafico sopra mostra come possiamo calcolare e sommando una serie di numeri: e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …  La linea blu mostra il totale via via che aggiungiamo termini, partendo da 1 e poi aggiungendo i termini della serie. La linea tratteggiata rossa rappresenta il valore reale di e. Si vede che il totale si avvicina moltissimo a e già dopo pochi termini, e ogni nuovo termine incide solo minimamente. Questo è importante perché dimostra che possiamo stimare e con precisione senza dover sommare un numero infinito di termini.

L’evoluzione di e nella letteratura matematica

Dopo che Euler formalizzò e nel XVIII secolo, le sue applicazioni si ampliarono rapidamente a una grande varietà di campi. Nel XIX secolo, si affermò la sua importanza nella risoluzione delle equazioni differenziali. Matematici come Joseph Fourier usarono e nelle equazioni di trasferimento del calore, gettando le basi della termodinamica. Il lavoro di Fourier sulla diffusione del calore si basava su equazioni di decadimento esponenziale che coinvolgono e, come descritto in The Analytical Theory of Heat.

Nel XX secolo, e divenne uno strumento centrale in biologia e nella dinamica di popolazione. Il modello di crescita esponenziale, P(t) = P0 ert, fu ampiamente utilizzato per descrivere la crescita della popolazione in condizioni ideali. Allo stesso modo, in fisica, e è utile per i modelli di decadimento radioattivo, dove il numero di particelle rimanenti segue N(t) = N0 e-𝝺t.

In decenni più recenti, e ha trovato nuova rilevanza in informatica e machine learning. Per esempio, la funzione sigmoide, fondamentale nelle reti neurali, è definita da 𝝈(x) = 1/(1+e-x). Questa funzione mappa gli input in output tra 0 e 1, rendendola essenziale per i compiti di classificazione. Il numero di Eulero ha un ruolo anche nell’analisi di algoritmi randomizzati e modelli probabilistici, come discusso in Deep Learning di Ian Goodfellow, et al.

Proprietà matematiche di e

Ora che ne abbiamo capito un po’ la storia, esploriamo alcune delle caratteristiche e definizioni matematiche più importanti del numero di Eulero.

ex con diversi valori di x. Immagine dell’autore.

e come limite

La definizione di e come limite è una delle sue rappresentazioni più intuitive e storicamente significative. Sorge naturalmente dallo studio dell’interesse composto ed è espressa così:

Questa formula definisce e come il risultato di una crescita composta all’infinito. È un fondamento concettuale per capire come e modelli processi continui. Questa definizione tramite limite mostra anche come e si colleghi alle funzioni esponenziali.

e come serie infinita

Un altro modo di definire e è tramite la sua rappresentazione come serie infinita:

Questa serie è derivata dall’analisi e fornisce un modo preciso per calcolare e con qualsiasi livello di accuratezza. Evidenzia anche la connessione tra e e i fattoriali, che compaiono spesso in teoria della probabilità e combinatoria.

La funzione esponenziale e il calcolo

La funzione esponenziale, in cui e è la base, è una delle funzioni più utili in matematica, a mio avviso. e^x è la propria derivata:

Questo significa che il tasso di variazione di e^x è sempre proporzionale al suo valore corrente. Questa proprietà rende e^x lo strumento matematico perfetto per modellare crescita o decadimento continui. È la proprietà che lo rende utile nel descrivere decadimento radioattivo, crescita della popolazione e interesse composto continuo.

Il logaritmo naturale

Il logaritmo naturale, indicato con ln(x), è l’inverso della funzione esponenziale e^x:

Il logaritmo naturale è ampiamente utilizzato in matematica e statistica, in particolare per trasformare i dati.

L’identità di Eulero

Tra noi nerd della matematica, una delle equazioni più divertenti è l’identità di Eulero:

Questa equazione è spesso considerata l’apice della bellezza matematica perché collega cinque delle costanti più fondamentali della matematica: e, i (l’unità immaginaria), 𝜋, 1 e 0. Collega inoltre ambiti apparentemente non correlati: funzioni esponenziali, numeri complessi e trigonometria.

e in probabilità e statistica

Il numero di Eulero svolge un ruolo importante nella teoria della probabilità e nella statistica. Per esempio, compare nella formula della distribuzione di Poisson, che modella il numero di eventi che si verificano in un intervallo fissato:

Qui, e garantisce che le probabilità sommino a 1, rendendolo indispensabile in questa distribuzione ampiamente utilizzata.

Allo stesso modo, e è importante per la distribuzione esponenziale, che modella il tempo tra eventi in un processo di Poisson:

Si vede che e compare anche nella distribuzione gaussiana, dove fa diminuire esponenzialmente i valori più lontani dalla media.

Come hai visto, il numero di Eulero collega anche ambiti apparentemente non correlati della matematica, dalla crescita esponenziale ai numeri complessi, tramite equazioni come l’identità di Eulero. Questa interconnessione dimostra la natura profonda e universale di e, rendendolo una delle costanti più importanti della matematica. Senza e, ci mancherebbero gli strumenti matematici per modellare con precisione tutti i tipi di processi che cambiano gradualmente nel tempo.

Esempi da manuale e calcoli

Esploriamo tre calcoli da manuale che mostrano come applicare e.

Esempio 1: interesse composto continuo vs. mensile

Considera uno scenario in cui investi $1.000 a un tasso annuo del 5%. Calcoliamo il valore futuro di questo investimento dopo un anno con due metodi di capitalizzazione diversi: mensile e continua.

Capitalizzazione mensile

Con la capitalizzazione mensile, l’interesse viene calcolato e aggiunto al capitale ogni mese. La formula per la capitalizzazione discreta è

dove P = 1000 è il capitale iniziale, r = 0,05 è il tasso annuo, n = 12 è il numero di periodi di capitalizzazione all’anno (in questo caso, mensili) e t = 1 è il numero di anni. Sostituendo questi valori nella formula otteniamo questo:

Questo calcolo mostra il valore futuro dell’investimento con capitalizzazione mensile. In questo caso, dopo un anno, l’investimento cresce a circa $1.051,16.

Capitalizzazione continua

Quando l’interesse è composto continuamente, significa che l’interesse viene aggiunto in ogni istante di tempo, creando una curva di crescita più regolare. La formula per la capitalizzazione continua è:

dove P = 1000, r = 0,05 e t = 1. Sostituendo i valori nell’equazione, otteniamo:

Il valore dopo un anno in questo caso è $1.051,27. Sebbene la differenza tra i due metodi possa sembrare piccola dopo un solo anno, la capitalizzazione continua produce un valore leggermente più alto. Su periodi più lunghi o a tassi d’interesse più elevati, la differenza diventa molto più significativa.

L’uso di e qui tiene conto del fatto che l’interesse viene composto continuamente, cioè cresce in ogni istante, rendendo più regolare il tasso di crescita.

Esempio 2: modellare la crescita della popolazione con e

Il nostro secondo scenario viene dalla biologia. Immagina che una popolazione di mosche cresca con un tasso di nascita continuo del 20% a settimana e un tasso di mortalità continuo del 5% a settimana. Se parti da 1.000 mosche, quante ce ne saranno dopo 5 settimane? Questo problema è molto simile all’equazione dell’interesse composto; infatti, noterai che l’equazione è quasi la stessa!

La crescita continua di una popolazione può essere modellata con questa formula:

dove P(t) è la popolazione al tempo t, P0 è la popolazione iniziale, b è il tasso di nascita, d è il tasso di morte e (b-d) è il tasso di crescita netto. Sostituendo i valori nella formula:

Dopo 5 settimane, la popolazione sarà cresciuta a circa 2.117 mosche.

Il ruolo di e qui è essenziale: ci permette di modellare la crescita continua. A differenza dei modelli discreti che misurano la crescita a intervalli fissi, il modello di crescita continua con e tiene conto del fatto che la crescita avviene in ogni momento, rappresentando in modo più accurato processi reali come la crescita della popolazione, specialmente per popolazioni grandi.

Esempio 3: scenari di probabilità che coinvolgono e

Il nostro terzo esempio classico viene dalla teoria della probabilità. Esploriamo il problema dei derangements (spiazzamenti), che chiede: se assegni casualmente n lettere a n buste, qual è la probabilità che nessuna lettera finisca nella busta corretta? Questo è noto come "derangement".

La probabilità di un derangement è data dalla formula:

Quando n diventa molto grande, questa probabilità si avvicina a 1/e, ovvero circa 0,3679. Ciò significa che per un gran numero di lettere, c’è circa il 37% di probabilità che nessuna lettera venga collocata correttamente.

Con 3 lettere, ci sono 3!=6 disposizioni possibili. Di queste, solo 2 sono derangements (nessuna lettera nella busta corretta). La probabilità è:

Calcoliamo la probabilità per 10 lettere. Usando la formula:

Questo risultato mostra che anche con appena 10 lettere, la probabilità di nessuna corrispondenza è già molto vicina a 1/e. All’aumentare del numero di lettere, la probabilità converge a 1/e.

Il numero di Eulero nei contesti professionali

Il numero di Eulero compare in innumerevoli applicazioni reali. Le sue proprietà uniche lo rendono indispensabile in campi che vanno dal calcolo e dalla biologia alla finanza e all’ingegneria.

e nel calcolo

Il numero di Eulero è fondamentale nel calcolo, dove è centrale per comprendere il cambiamento continuo. Come abbiamo già detto, la funzione esponenziale e^x è unica perché la sua derivata è essa stessa:

Questa proprietà rende e^x essenziale per modellare processi in cui il tasso di variazione è proporzionale al valore corrente. Il numero di Eulero è coinvolto nella risoluzione di molte equazioni differenziali.

e in biologia e sanità

La mia prima introduzione a e è stata in biologia, dove viene usato per modellare crescita e decadimento continui. Per esempio, popolazioni batteriche che crescono a ritmo costante possono essere descritte dalla classica equazione di crescita della popolazione:

dove P₀ è la popolazione iniziale, r è il tasso di crescita e t è il tempo.

Allo stesso modo, in sanità, e è usato per modellare il metabolismo dei farmaci, dove la concentrazione di un farmaco nell’organismo diminuisce esponenzialmente nel tempo:

Questi modelli sono vitali per comprendere i processi biologici e ottimizzare i trattamenti medici, ad esempio determinando dosaggi efficaci o prevedendo la crescita batterica in ambienti controllati.

e in ingegneria e fisica

In ingegneria e fisica, e è utilizzato per analizzare sistemi che coinvolgono cambiamenti continui. Per esempio, la formula di Eulero:

viene usata per rappresentare forme d’onda sinusoidali nei circuiti in corrente alternata (AC). Nell’elaborazione dei segnali, e è usato nella trasformata di Fourier, che scompone segnali complessi in componenti di frequenza più semplici. Queste applicazioni sono utili in campi come l’ingegneria elettrica, la meccanica quantistica e le telecomunicazioni.

e in finanza

Come puoi immaginare, il numero di Eulero è essenziale in finanza, in particolare nel calcolo dell’interesse composto continuo, come abbiamo già visto.

Il numero di Eulero è usato anche in modelli finanziari come l’equazione di Black-Scholes, che calcola il fair value delle opzioni considerando i movimenti continui dei prezzi degli asset. Incorporando e, il modello di Black-Scholes tiene conto della natura continua dei movimenti dei prezzi, consentendo una valutazione precisa delle opzioni. Puoi saperne di più sulla modellazione finanziaria nel nostro corso Financial Analysts in Google Sheets.

e in informatica

In informatica, e è ampiamente usato in machine learning, crittografia e simulazioni. La funzione sigmoide, un elemento chiave delle reti neurali, è definita come:

Questa funzione mappa gli input in output tra 0 e 1, rendendola utile per i compiti di classificazione. Il numero di Eulero compare anche in algoritmi per simulare processi di Poisson e decadimento esponenziale, usati nella generazione di numeri casuali, nelle simulazioni Monte Carlo e nei sistemi crittografici.

e in assicurazioni e demografia

Nelle scienze attuariali, e è usato per modellare i rischi e calcolare il valore futuro di polizze vita e rendite. Per esempio, l’accumulazione continua degli interessi è modellata usando e^rt. In demografia, e è usato per descrivere la crescita della popolazione e i tassi di mortalità. La funzione di Gompertz, che modella invecchiamento e tassi di morte, usa e per stimare l’aspettativa di vita.

e in geologia

In geologia, e è essenziale per modellare il decadimento radioattivo, come descritto dall’equazione:

dove N₀ è la quantità iniziale di un isotopo radioattivo, 𝝀 è la costante di decadimento e t è il tempo. Questa equazione è usata per la datazione al carbonio, che aiuta a determinare l’età di rocce e fossili. Il numero di Eulero è usato anche in sismologia per modellare l’attenuazione delle onde sismiche, che decadono esponenzialmente mentre si propagano attraverso la Terra. Questo supporta l’analisi e la previsione dei terremoti.

e in meteorologia

I meteorologi usano e per modellare cambiamenti di temperatura e sistemi meteorologici. Per esempio, il raffreddamento o riscaldamento di un oggetto nel tempo è descritto da:

dove T₀ è la temperatura iniziale e 𝝀 è la costante di tasso. Modelli esponenziali che coinvolgono e sono usati anche nella climatologia per prevedere gli effetti a lungo termine delle emissioni di carbonio e nelle previsioni meteo per modellare l’evoluzione della pressione atmosferica e la formazione delle nubi.

e in linguistica

Che ci creda o no, il numero di Eulero ha applicazioni anche in linguistica! È usato in modelli statistici delle frequenze delle parole, come la legge di Zipf, che afferma che la frequenza di una parola è inversamente proporzionale al suo rango. Questa relazione può essere modellata con funzioni esponenziali che coinvolgono e.

Nel natural language processing (NLP), e è coinvolto in algoritmi come la latent Dirichlet allocation (LDA), che modella le distribuzioni di argomenti nei testi. Le funzioni esponenziali sono usate anche per studiare l’evoluzione linguistica, tracciando come le lingue cambiano nel tempo.

Come vedi, il numero di Eulero è una costante universale usata in una vasta gamma di campi diversi. Le sue applicazioni sono infinite come le sue cifre!

Fraintendimenti su e

Per quanto e sia diffuso, non mancano le possibilità di confusione.

Numero di Eulero (e) contro costante di Eulero (γ)

È facile confondere il numero di Eulero con la costante di Eulero. Dopotutto, portano entrambi il suo nome. Ma in realtà sono due numeri completamente diversi e compaiono in ambiti differenti della matematica.

• e ≅ 2,718: è la base del logaritmo naturale. È importantissima nel calcolo, nella crescita esponenziale e in tutto ciò che comporta cambiamenti continui. Pensa a e quando lavori con cose come l’interesse composto o la crescita della popolazione.
• γ ≅ 0,577: è chiamata costante di Eulero-Mascheroni. Compare in teoria dei numeri ed è legata alla serie armonica (un modo elaborato di sommare frazioni come 1 + 1/2 + 1/3 + ...). Pensa a γ quando lavori con problemi che coinvolgono la serie armonica o la crescita logaritmica.

Uso improprio nelle applicazioni reali

e compare in molte situazioni diverse e a volte può generare confusione. È importante sapere quando è appropriato usare e e quando no. Per esempio, spesso si sente parlare di capitalizzazione continua e si presume che sia sempre migliore di quella discreta. Ma molte banche usano la capitalizzazione mensile o trimestrale. Quindi, se stai cercando di modellare asset reali, devi sapere se è più appropriata la capitalizzazione continua o discreta, altrimenti potresti ritrovarti con un modello che non riflette la realtà.

Conclusione

Il numero di Eulero, e, è una delle costanti più utilizzate in matematica, seconda solo a 𝜋. È uno strumento che semplifica calcoli complessi, modella la crescita e rende possibile descrivere il cambiamento continuo. Puoi imparare a usare e nel tuo codice nel nostro tutorial Exponents in Python. Se vuoi approfondire la matematica, dai un’occhiata ai nostri corsi Introductory Statistics o Linear Algebra.