Le nombre d’Euler (e) expliqué : importance et applications

Qu’ont en commun les intérêts composés, la régression logistique et les modèles de croissance de population ? La réponse : ils s’appuient tous sur le nombre d’Euler, noté e.

Le nombre d’Euler est sans doute l’une des constantes les plus importantes, juste après pi. On l’utilise dans des disciplines aussi variées que la biologie, la physique et l’astronomie, mais aussi la data science, les statistiques et l’analyse financière.

Anecdote : dans chaque labo où j’ai travaillé, on utilisait les premiers chiffres de e ou de pi comme mot de passe quelque part. Pourquoi ? Parce que tout le monde les connaissait ! C’est dire à quel point ils servent au quotidien.

Voyons donc ce qui rend e si incontournable, définissons ses propriétés mathématiques et examinons ses applications concrètes.

Introduction au nombre d’Euler

Le nombre d’Euler est une constante mathématique approximativement égale à 2,71828. C’est la base du logarithme naturel et un élément clé des calculs de croissance et de décroissance continues. À l’instar de 𝜋, e est une constante universelle. Mais tandis que 𝜋 représente le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre, e apparaît naturellement dans les processus exponentiels. On rencontre souvent e lorsqu’on modélise des phénomènes à variation continue, par exemple pour les intérêts composés en continu ou la croissance d’une population.

Le nombre d’Euler est à la fois irrationnel et transcendant. Cela signifie qu’on ne peut pas l’exprimer comme une fraction simple ni le déduire de la résolution d’un polynôme à coefficients rationnels. Ses chiffres se poursuivent à l’infini sans se répéter.

Repères historiques

Jetons un coup d’œil à l’histoire :

Jacob Bernoulli et la découverte de e

L’histoire du nombre d’Euler commence en 1683, lorsque Jacob Bernoulli étudie les mathématiques des intérêts composés. Il pose une question en apparence simple : que se passe-t-il si l’on compose les intérêts en continu plutôt qu’annuellement ?

Pour l’illustrer, prenons un capital initial P placé à un taux annuel r. Si les intérêts sont composés annuellement, la valeur future après un an est P(1 + r). S’ils sont composés semestriellement, c’est P(1 + r/2)². Quand le nombre de périodes de composition (n) augmente, la formule devient P(1 + r/n)ⁿ.

Le graphique ci-dessus compare des intérêts composés annuellement à des intérêts composés en continu. L’exemple est volontairement extrême : 1 000 $ de capital à 50 % par an, pour bien illustrer le phénomène.

Bernoulli a montré qu’à mesure que n tend vers l’infini, la valeur de (1 + 1/n)ⁿ converge vers environ 2,718. Cette constante, plus tard nommée e, capture l’essence de la composition continue.

Leonhard Euler : formalisation et dénomination

Jacob Bernoulli a mis en évidence e dans les intérêts composés, mais c’est Leonhard Euler qui a pleinement développé le concept au début du XVIII^e siècle. Entre 1727 et 1731, Euler a formalisé les propriétés de e et lui a donné le nom que nous utilisons aujourd’hui.

Euler a montré que e peut s’écrire sous forme de série infinie :

Cette série, issue de l’analyse, permet de calculer e avec la précision souhaitée et ouvre la voie à une compréhension plus profonde de ses propriétés.

Les graphiques ci-dessus illustrent le calcul de e par somme d’une série : e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …  La courbe bleue trace la somme au fur et à mesure qu’on ajoute des termes, en partant de 1. La ligne rouge en pointillé représente la valeur réelle de e. On constate que la somme s’approche très vite de e après quelques termes, et que chaque terme supplémentaire n’apporte qu’une infime correction. C’est essentiel : on peut estimer e avec une très bonne précision sans aller à l’infini.

L’essor de e dans la littérature mathématique

Après la formalisation de e par Euler au XVIII^e siècle, ses applications se sont rapidement étendues. Au XIX^e siècle, son rôle dans la résolution des équations différentielles s’impose. Des mathématiciens comme Joseph Fourier ont utilisé e dans les équations de transfert de chaleur, posant les bases de la thermodynamique. Les travaux de Fourier sur la diffusion de la chaleur s’appuyaient sur des équations de décroissance exponentielle faisant intervenir e, comme détaillé dans The Analytical Theory of Heat.

Au XX^e siècle, e devient central en biologie et en dynamique des populations. Le modèle de croissance exponentielle, P(t) = P0 ert, s’impose pour décrire la croissance en conditions idéales. En physique, e est au cœur des modèles de décroissance radioactive, où le nombre de particules restantes suit N(t) = N0 e-𝝺t.

Ces dernières décennies, e a trouvé un nouveau souffle en informatique et en apprentissage automatique. Par exemple, la fonction sigmoïde, cruciale pour les réseaux de neurones, est définie par 𝝈(x) = 1/(1+e-x). Elle transforme des entrées en valeurs comprises entre 0 et 1, ce qui la rend essentielle pour la classification. Le nombre d’Euler intervient aussi dans l’analyse d’algorithmes randomisés et de modèles probabilistes, comme évoqué dans Deep Learning, par Ian Goodfellow et al..

Propriétés mathématiques de e

Maintenant que nous avons un aperçu historique, explorons quelques-unes des caractéristiques et définitions mathématiques essentielles du nombre d’Euler.

ex pour différentes valeurs de x. Image de l’auteur.

e comme limite

La définition de e comme limite est l’une de ses représentations les plus intuitives et historiquement marquantes. Elle découle naturellement de l’étude des intérêts composés et s’exprime ainsi :

Cette formule définit e comme le résultat d’une croissance composée à l’infini. Elle constitue la base conceptuelle de la modélisation des processus continus et révèle le lien entre e et les fonctions exponentielles.

e comme série infinie

On peut aussi définir e via sa représentation en série infinie :

Issue de l’analyse, cette série fournit un moyen précis de calculer e à n’importe quel niveau d’exactitude. Elle met également en lumière le lien entre e et les factorielles, omniprésentes en probabilité et en combinatoire.

La fonction exponentielle et le calcul différentiel

La fonction exponentielle de base e est, à mon sens, l’une des plus utiles en mathématiques. e^x est sa propre dérivée :

Autrement dit, le taux de variation de e^x est toujours proportionnel à sa valeur actuelle. Cette propriété fait de e^x l’outil idéal pour modéliser une croissance ou une décroissance continue. C’est ce qui la rend si utile pour décrire la décroissance radioactive, la croissance d’une population ou les intérêts composés en continu.

Le logarithme népérien

Le logarithme naturel, noté ln(x), est la fonction réciproque de la fonction exponentielle e^x :

Le logarithme népérien est très utilisé en mathématiques et en statistiques, notamment pour transformer des données.

L’identité d’Euler

Parmi les amateurs de maths, l’une des équations les plus élégantes est l’identité d’Euler :

Souvent considérée comme un sommet de beauté mathématique, elle relie cinq constantes fondamentales : e, i (l’unité imaginaire), 𝜋, 1 et 0. Elle fait aussi le pont entre des domaines en apparence éloignés : fonctions exponentielles, nombres complexes et trigonométrie.

e en probabilités et statistiques

Le nombre d’Euler joue un rôle majeur en théorie des probabilités et en statistiques. Par exemple, il apparaît dans la formule de la loi de Poisson, qui modélise le nombre d’événements sur un intervalle donné :

Ici, e garantit que la somme des probabilités vaut 1, ce qui est indispensable pour cette loi très utilisée.

De même, e est essentielle pour la loi exponentielle, qui modélise le temps entre événements dans un processus de Poisson :

Vous verrez aussi e dans la loi gaussienne, où elle fait décroître exponentiellement les valeurs éloignées de la moyenne.

Comme vous l’avez constaté, le nombre d’Euler relie aussi des domaines mathématiques a priori sans lien, de la croissance exponentielle aux nombres complexes, via des équations comme l’identité d’Euler. Cette interdépendance révèle la nature profonde et universelle de e, qui en fait l’une des constantes majeures des mathématiques. Sans e, il nous manquerait des outils pour modéliser avec précision une foule de phénomènes qui évoluent en continu dans le temps.

Exemples et calculs types

Voyons trois exercices classiques qui illustrent l’usage de e.

Exemple 1 : intérêts composés en continu vs mensuels

Supposons que vous investissiez 1 000 $ à un taux annuel de 5 %. Calculons la valeur future au bout d’un an selon deux méthodes : composition mensuelle et composition continue.

Composition mensuelle

Avec une composition mensuelle, les intérêts sont calculés et ajoutés au capital chaque mois. La formule pour une composition discrète est :

où P = 1000 est le capital initial, r = 0,05 le taux annuel, n = 12 le nombre de périodes par an (ici mensuelles), et t = 1 le nombre d’années. En remplaçant dans la formule, on obtient :

Ce calcul donne la valeur future lorsque l’on compose mensuellement. Après un an, l’investissement atteint environ 1 051,16 $.

Composition continue

Avec une composition continue, les intérêts sont ajoutés à chaque instant, ce qui produit une courbe de croissance plus lisse. La formule est :

où P = 1000, r = 0,05 et t = 1. En remplaçant, on obtient :

La valeur après un an est de 1 051,27 $. La différence semble faible sur un an, mais la composition continue donne un montant légèrement supérieur. Sur des horizons plus longs ou à des taux plus élevés, l’écart devient significatif.

L’usage de e tient ici au fait que les intérêts sont composés en continu : la croissance se fait à chaque instant, ce qui lisse le taux effectif.

Exemple 2 : modéliser la croissance d’une population avec e

Deuxième scénario, en biologie. Imaginez une population de mouches avec un taux de naissance continu de 20 % par semaine et un taux de mortalité continu de 5 % par semaine. En partant de 1 000 mouches, combien y en aura-t-il après 5 semaines ? Ce problème ressemble fortement à celui des intérêts composés ; vous verrez que l’équation est presque identique.

La croissance continue d’une population se modélise par :

où P(t) est la population au temps t, P0 la population initiale, b le taux de naissance, d le taux de mortalité, et (b−d) le taux de croissance net. En remplaçant les valeurs :

Après 5 semaines, la population atteindra environ 2 117 mouches.

Le rôle de e est essentiel : il permet de modéliser une croissance continue. Contrairement aux modèles discrets qui évaluent la croissance à intervalles fixes, le modèle continu avec e tient compte du fait que la croissance se produit à chaque instant, offrant une représentation plus fidèle des phénomènes réels, notamment pour de grandes populations.

Exemple 3 : scénarios probabilistes impliquant e

Troisième exemple classique, en probabilités : le problème des dérangements. Si vous attribuez au hasard n lettres à n enveloppes, quelle est la probabilité qu’aucune lettre ne se retrouve dans la bonne enveloppe ? On parle alors de « dérangement ».

La probabilité d’un dérangement est donnée par :

Quand n devient très grand, cette probabilité tend vers 1/e, soit environ 0,3679. Autrement dit, pour un grand nombre de lettres, il y a près de 37 % de chances qu’aucune ne soit placée correctement.

Avec 3 lettres, il y a 3 != 6 arrangements possibles. Parmi eux, seuls 2 sont des dérangements (aucune lettre à sa place). La probabilité est :

Calculons la probabilité pour 10 lettres. En utilisant la formule :

On constate que, même avec 10 lettres, la probabilité d’aucune correspondance est déjà très proche de 1/e. Quand le nombre de lettres augmente, elle converge vers 1/e.

Le nombre d’Euler dans les domaines professionnels

On retrouve le nombre d’Euler dans d’innombrables applications réelles. Ses propriétés uniques le rendent indispensable, de l’analyse à la biologie, en passant par la finance et l’ingénierie.

e en calcul différentiel

Le nombre d’Euler est fondamental en calcul différentiel et intégral, au cœur de la compréhension du changement continu. Comme évoqué, la fonction exponentielle e^x est unique car sa dérivée est elle-même :

Cette propriété rend e^x indispensable pour modéliser les processus où le taux de variation est proportionnel à la valeur courante. Le nombre d’Euler intervient dans la résolution de nombreuses équations différentielles.

e en biologie et santé

J’ai découvert e en biologie, où il sert à modéliser croissance et décroissance continues. Par exemple, des populations bactériennes à taux de croissance constant sont décrites par l’équation classique :

où P₀ est la population initiale, r le taux de croissance et t le temps.

En santé, e sert aussi à modéliser le métabolisme des médicaments, où la concentration dans l’organisme décroît exponentiellement dans le temps :

Ces modèles sont essentiels pour comprendre les processus biologiques et optimiser les traitements, par exemple pour déterminer des posologies efficaces ou prévoir la croissance bactérienne en milieu contrôlé.

e en ingénierie et physique

En ingénierie et en physique, e sert à analyser des systèmes en évolution continue. Par exemple, la formule d’Euler :

est utilisée pour représenter les ondes sinusoïdales dans les circuits en courant alternatif (AC). En traitement du signal, e intervient dans la transformée de Fourier, qui décompose des signaux complexes en composantes fréquentielles plus simples. Ces applications sont clés en génie électrique, mécanique quantique et télécommunications.

e en finance

Sans surprise, le nombre d’Euler est essentiel en finance, notamment pour le calcul des intérêts composés en continu, comme nous l’avons vu.

On le retrouve aussi dans des modèles comme l’équation de Black‑Scholes, qui calcule la juste valeur des options en tenant compte des mouvements continus des prix d’actifs. En intégrant e, le modèle de Black‑Scholes reflète la nature continue des prix et permet un calcul précis des options. Pour en savoir plus sur la modélisation financière, découvrez notre cours Financial Analysts in Google Sheets.

e en informatique

En informatique, e est omniprésent en apprentissage automatique, cryptographie et simulations. La fonction sigmoïde, un composant clé des réseaux de neurones, est définie par :

Elle ramène les entrées à des sorties comprises entre 0 et 1, ce qui est utile pour la classification. Le nombre d’Euler intervient aussi dans les algorithmes de simulation de processus de Poisson et de décroissance exponentielle, utilisés pour la génération de nombres aléatoires, les simulations de Monte Carlo et des systèmes cryptographiques.

e en assurance et démographie

En actuariat, e sert à modéliser les risques et à calculer la valeur future des contrats d’assurance vie et des rentes. Par exemple, l’accumulation d’intérêt en continu se modélise par e^rt. En démographie, e décrit la croissance des populations et les taux de mortalité. La fonction de Gompertz, qui modélise le vieillissement et les taux de décès, utilise e pour estimer l’espérance de vie.

e en géologie

En géologie, e est indispensable pour modéliser la décroissance radioactive, via l’équation :

où N₀ est la quantité initiale d’un isotope radioactif, 𝝀 la constante de décroissance et t le temps. Cette équation sert notamment à la datation au carbone, pour estimer l’âge de roches et de fossiles. Le nombre d’Euler intervient aussi en sismologie pour modéliser l’atténuation des ondes sismiques, qui décroissent exponentiellement en traversant la Terre, aidant ainsi à l’analyse et à la prévision des séismes.

e en météorologie

Les météorologues utilisent e pour modéliser l’évolution des températures et des systèmes météo. Par exemple, le refroidissement ou le réchauffement d’un objet au cours du temps se décrit par :

où T₀ est la température initiale et 𝝀 la constante de taux. Les modèles exponentiels impliquant e sont également utilisés en climatologie pour prévoir les effets à long terme des émissions de carbone et, en prévision météo, pour modéliser l’évolution de la pression atmosphérique et la formation des nuages.

e en linguistique

Aussi surprenant que cela paraisse, le nombre d’Euler a des applications en linguistique ! Il intervient dans des modèles statistiques de fréquence des mots, comme la loi de Zipf, selon laquelle la fréquence d’un mot est inversement proportionnelle à son rang. Cette relation peut se modéliser à l’aide de fonctions exponentielles faisant intervenir e.

En traitement automatique du langage (NLP), e intervient dans des algorithmes comme l’allocation de Dirichlet latente (LDA), qui modélise la répartition des thèmes dans les textes. Les fonctions exponentielles servent aussi à étudier l’évolution linguistique, en suivant les changements des langues dans le temps.

Vous le voyez, le nombre d’Euler est une constante universelle utilisée dans une multitude de domaines. Ses applications sont aussi infinies que ses décimales !

Idées reçues autour de e

Aussi omniprésent soit-il, e peut prêter à confusion.

Le nombre d’Euler (e) vs la constante d’Euler (γ)

Il est facile de les confondre, puisqu’ils portent le même nom. Pourtant, ce sont deux nombres différents, qui interviennent dans des domaines distincts.

• e ≅ 2,718 : base du logarithme naturel. Il est crucial en calcul, pour la croissance exponentielle et tout ce qui implique un changement continu. Pensez à e pour les intérêts composés ou la croissance d’une population.
• γ ≅ 0,577 : la constante d’Euler‑Mascheroni. Elle apparaît en théorie des nombres et est liée à la série harmonique (somme de fractions comme 1 + 1/2 + 1/3 + ...). Pensez à γ pour les problèmes impliquant la série harmonique ou des croissances logarithmiques.

Mauvais usages en pratique

Parce qu’on le retrouve dans de nombreuses situations, e peut être source de confusion. Il est important de savoir quand l’utiliser… et quand s’en abstenir. Par exemple, on entend souvent que la composition continue est toujours meilleure que la composition discrète. Or, de nombreuses banques appliquent une composition mensuelle ou trimestrielle. Si vous modélisez des actifs réels, vérifiez si la composition continue ou discrète est la plus adaptée, sous peine d’obtenir un modèle qui ne reflète pas la réalité.

Conclusion

Le nombre d’Euler, e, est l’une des constantes les plus utilisées en mathématiques, juste après 𝜋. Il simplifie des calculs complexes, modélise la croissance et permet de décrire des évolutions continues. Vous pouvez apprendre à utiliser e dans votre code avec notre tutoriel Exponents in Python. Pour aller plus loin en mathématiques, découvrez nos cours Introductory Statistics ou Linear Algebra.