O número de Euler (e) explicado: seu significado e aplicações

O que juros compostos, regressão logística e modelos de crescimento populacional têm em comum? A resposta é que todos eles dependem do número de Euler, o e.

O número de Euler é, sem dúvida, uma das constantes mais importantes, perdendo apenas para pi. Ele é usado em disciplinas que vão da biologia, física e astronomia à ciência de dados, estatística e análise financeira.

Curiosidade: em todo laboratório em que trabalhei, alguém usava os primeiros dígitos de e ou de pi como senha em algum lugar. Por quê? Porque todo mundo conhecia esses números! É o quanto eles aparecem no dia a dia.

Então, vamos entender por que e é tão marcante, definir suas propriedades matemáticas e ver onde ele é aplicado.

Introdução ao número de Euler

O número de Euler é uma constante matemática aproximadamente igual a 2,71828. É a base do logaritmo natural e parte essencial de cálculos de crescimento e decaimento contínuos. Assim como 𝜋, e é uma constante universal. Mas, enquanto 𝜋 representa a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo, e surge naturalmente em processos exponenciais. O número de Euler aparece com frequência ao modelar processos que envolvem mudança contínua, por exemplo, ao calcular juros com capitalização contínua ou ao modelar crescimento populacional.

O número de Euler é irracional e transcendente. Isso significa que e não pode ser expresso como fração simples nem obtido ao resolver qualquer equação polinomial com coeficientes racionais. Seus dígitos se estendem infinitamente sem se repetir.

Contexto histórico

Vamos olhar um pouco a história:

Jacob Bernoulli e a descoberta de e

A história do número de Euler começa em 1683, quando Jacob Bernoulli estudava a matemática dos juros compostos. Ele fez uma pergunta aparentemente simples: o que acontece se capitalizarmos os juros continuamente, em vez de anualmente?

Para ilustrar, considere um principal inicial P investido a uma taxa anual r. Se os juros são capitalizados anualmente, o valor futuro após um ano é P(1 + r). Se semestralmente, torna-se P(1 + r/2)². À medida que o número de períodos de capitalização (n) aumenta, a fórmula passa a ser P(1 + r/n)ⁿ.

O gráfico acima mostra a diferença entre capitalização anual e capitalização contínua. É um exemplo bastante extremo, com principal de US$ 1.000 e juros de 50% ao ano, para demonstrar o padrão.

Bernoulli descobriu que, quando n tende ao infinito, o valor de (1 + 1/n)ⁿ converge para aproximadamente 2,718. Essa constante, mais tarde chamada de e, captura a essência da capitalização contínua.

Leonhard Euler: formalização e nome

Jacob Bernoulli pode ter descoberto a presença de e em juros compostos, mas foi Leonhard Euler quem desenvolveu completamente o conceito no início do século XVIII. Entre 1727 e 1731, Euler formalizou as propriedades de e e lhe deu o nome que usamos hoje.

Euler demonstrou que e pode ser representado como uma série infinita:

Essa série, derivada do cálculo diferencial e integral, permitiu calcular e com qualquer precisão desejada e abriu caminho para um entendimento mais profundo de suas propriedades.

Os gráficos acima mostram como calcular e somando uma série de números: e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …  A linha azul mostra o total conforme adicionamos mais termos, começando com apenas 1 e depois somando os termos da série. A linha vermelha tracejada representa o valor real de e. Você percebe que o total chega muito perto de e após poucos termos, e cada novo termo impacta muito pouco. Isso é importante porque indica que podemos estimar e com precisão sem somar um número infinito de termos.

A evolução de e na literatura matemática

Depois que Euler formalizou e no século XVIII, suas aplicações se expandiram rapidamente para diversas áreas. No século XIX, sua importância na solução de equações diferenciais ficou evidente. Matemáticos como Joseph Fourier usaram e em equações de transferência de calor, lançando as bases da termodinâmica. O trabalho de Fourier sobre difusão de calor depende de equações de decaimento exponencial envolvendo e, como detalhado em The Analytical Theory of Heat.

No século XX, e tornou-se ferramenta central na biologia e na dinâmica populacional. O modelo de crescimento exponencial, P(t) = P0 ert, passou a ser amplamente usado para descrever crescimento populacional em condições ideais. De forma semelhante, na física, e é útil em modelos de decaimento radioativo, em que o número de partículas remanescentes segue N(t) = N0 e-𝝺t.

Nas últimas décadas, e ganhou nova relevância em ciência da computação e machine learning. Por exemplo, a função sigmoide, crítica em redes neurais, é definida por 𝝈(x) = 1/(1+e-x). Essa função mapeia entradas para saídas entre 0 e 1, sendo essencial para tarefas de classificação. O número de Euler também aparece na análise de algoritmos aleatorizados e modelos probabilísticos, como discutido em Deep Learning, de Ian Goodfellow et al.

Propriedades matemáticas de e

Agora que entendemos um pouco da história, vamos explorar algumas das características e definições matemáticas mais importantes do número de Euler.

ex com diferentes valores de x. Imagem do autor.

e como limite

A definição de e como limite é uma de suas representações mais intuitivas e historicamente significativas. Ela surge naturalmente do estudo de juros compostos e é expressa como:

Essa fórmula define e como o resultado de capitalizar o crescimento infinitamente. É a base conceitual para entender como e modela processos contínuos. Essa definição por limite também mostra como e se conecta às funções exponenciais.

e como série infinita

Outra forma de definir e é por sua representação em série infinita:

Essa série é derivada do cálculo e fornece um meio preciso de computar e com qualquer nível de acurácia. Ela também destaca a conexão entre e e fatoriais, que aparecem com frequência em teoria das probabilidades e combinatória.

A função exponencial e o cálculo

A função exponencial, na qual e é a base, é uma das mais úteis da matemática, na minha opinião. e^x é sua própria derivada:

Isso significa que a taxa de variação de e^x é sempre proporcional ao seu valor atual. Essa propriedade torna e^x a ferramenta perfeita para modelar crescimento ou decaimento contínuos. É por isso que ele é tão útil para descrever decaimento radioativo, crescimento populacional e juros com capitalização contínua.

O logaritmo natural

O logaritmo natural, denotado por ln(x), é o inverso da função exponencial e^x:

O logaritmo natural é amplamente usado em matemática e estatística, especialmente para transformar dados.

A identidade de Euler

Entre nós, nerds da matemática, uma das equações mais divertidas é a identidade de Euler:

Essa equação é frequentemente considerada o auge da beleza matemática porque conecta cinco das constantes mais fundamentais: e, i (a unidade imaginária), 𝜋, 1 e 0. Ela também faz uma ponte entre áreas aparentemente desconectadas: funções exponenciais, números complexos e trigonometria.

e em probabilidade e estatística

O número de Euler tem papel importante na teoria das probabilidades e na estatística. Por exemplo, ele aparece na fórmula da distribuição de Poisson, que modela o número de eventos ocorrendo em um intervalo fixo:

Aqui, e garante que as probabilidades somem 1, tornando-se indispensável nessa distribuição tão utilizada.

Da mesma forma, e é importante para a distribuição exponencial, que modela o tempo entre eventos em um processo de Poisson:

Você também vê e na distribuição Gaussiana, onde ele faz com que valores mais distantes da média diminuam exponencialmente.

Como você viu, o número de Euler também conecta áreas aparentemente sem relação, do crescimento exponencial aos números complexos, por meio de equações como a identidade de Euler. Essa interconexão demonstra a natureza profunda e universal de e, tornando-o uma das constantes mais importantes da matemática. Sem e, não teríamos ferramentas matemáticas para modelar com precisão todo tipo de processo que muda de forma contínua ao longo do tempo.

Exemplos clássicos e cálculos

Vamos explorar três exemplos didáticos que mostram como aplicar e.

Exemplo 1: juros com capitalização contínua vs. mensal

Considere que você investe US$ 1.000 com taxa anual de 5%. Vamos calcular o valor futuro após um ano em dois métodos de capitalização: mensal e contínua.

Capitalização mensal

Na capitalização mensal, os juros são calculados e adicionados ao principal a cada mês. A fórmula para capitalização discreta é

em que P = 1000 é o principal inicial, r = 0,05 é a taxa anual, n = 12 é o número de períodos por ano (mensal) e t = 1 é o número de anos. Substituindo na fórmula, temos:

Esse cálculo mostra o valor futuro com capitalização mensal. Nesse caso, após um ano, o investimento cresce para aproximadamente US$ 1.051,16.

Capitalização contínua

Quando os juros são capitalizados continuamente, eles são adicionados a cada instante do tempo, criando uma curva de crescimento mais suave. A fórmula para capitalização contínua é:

em que P = 1000, r = 0,05 e t = 1. Substituindo os valores, obtemos:

O valor após um ano, neste caso, é US$ 1.051,27. Embora a diferença entre os métodos pareça pequena em apenas um ano, a capitalização contínua rende um valor ligeiramente maior. Em prazos mais longos ou com taxas mais altas, a diferença se torna muito mais significativa.

O uso de e aqui reflete o fato de que os juros são capitalizados continuamente, ou seja, crescem a cada instante, tornando a taxa de crescimento mais suave.

Exemplo 2: modelando crescimento populacional com e

Nosso segundo cenário vem da biologia. Imagine que uma população de moscas cresce com taxa de nascimento contínua de 20% por semana e taxa de morte contínua de 5% por semana. Se você começa com 1.000 moscas, quantas haverá após 5 semanas? Esse problema é muito parecido com a equação de juros compostos; de fato, você vai notar que a equação é quase a mesma!

O crescimento contínuo de uma população pode ser modelado por esta fórmula:

em que P(t) é a população no tempo t, P0 é a população inicial, b é a taxa de nascimento, d é a taxa de morte, e (b-d) é a taxa líquida de crescimento. Substituindo na fórmula:

Após 5 semanas, a população terá crescido para aproximadamente 2.117 moscas.

O papel de e aqui é essencial: ele permite modelar crescimento contínuo. Diferente de modelos discretos que medem o crescimento em intervalos fixos, o modelo contínuo com e considera que o crescimento ocorre a todo momento, representando melhor processos reais como o crescimento populacional, especialmente para populações grandes.

Exemplo 3: cenários de probabilidade envolvendo e

Nosso terceiro exemplo clássico vem da teoria das probabilidades. Vamos explorar o problema das derrogações (derangements), que pergunta: se você atribuir aleatoriamente n cartas a n envelopes, qual a probabilidade de nenhuma carta acabar no envelope correto? Isso é chamado de "derangement".

A probabilidade de um derangement é dada pela fórmula:

Quando n é muito grande, essa probabilidade se aproxima de 1/e, ou aproximadamente 0,3679. Isso significa que, para um grande número de cartas, há cerca de 37% de chance de nenhuma carta ficar no envelope correto.

Com 3 cartas, há 3!=6 arranjos possíveis. Desses, apenas 2 são derangements (nenhuma carta no envelope certo). A probabilidade é:

Vamos calcular a probabilidade para 10 cartas. Usando a fórmula:

Esse resultado mostra que, mesmo com apenas 10 cartas, a probabilidade de nenhum acerto já é muito próxima de 1/e. À medida que o número de cartas aumenta, a probabilidade converge para 1/e.

O número de Euler em áreas profissionais

O número de Euler aparece em incontáveis aplicações do mundo real. Suas propriedades únicas o tornam indispensável em áreas que vão do cálculo à biologia, finanças e engenharia.

e no cálculo

O número de Euler é fundamental no cálculo, onde está no centro do entendimento das mudanças contínuas. Como já mencionamos, a função exponencial e^x é única porque sua derivada é ela mesma:

Essa propriedade torna e^x essencial para modelar processos em que a taxa de variação é proporcional ao valor atual. O número de Euler está envolvido na solução de muitas equações diferenciais.

e na biologia e na saúde

Meu primeiro contato com e foi na biologia, onde ele é usado para modelar crescimento e decaimento contínuos. Por exemplo, populações bacterianas crescendo a uma taxa constante podem ser descritas pela clássica equação de crescimento populacional:

em que P₀ é a população inicial, r é a taxa de crescimento e t é o tempo.

De forma semelhante, na saúde, e é usado para modelar o metabolismo de fármacos, em que a concentração no corpo diminui exponencialmente ao longo do tempo:

Esses modelos são vitais para compreender processos biológicos e otimizar tratamentos médicos, como determinar dosagens eficazes ou prever crescimento bacteriano em ambientes controlados.

e na engenharia e na física

Em engenharia e física, e é usado para analisar sistemas que envolvem mudanças contínuas. Por exemplo, a fórmula de Euler:

é usada para representar formas de onda senoidais em circuitos de corrente alternada (CA). Em processamento de sinais, e aparece na transformada de Fourier, que decompõe sinais complexos em componentes de frequência mais simples. Essas aplicações são úteis em engenharia elétrica, mecânica quântica e telecomunicações.

e em finanças

Como você pode imaginar, o número de Euler é essencial em finanças, especialmente no cálculo de juros com capitalização contínua, como já vimos.

O número de Euler também é usado em modelos financeiros como a equação de Black-Scholes, que calcula o valor justo de opções considerando movimentos contínuos de preços de ativos. Ao incorporar e, o modelo Black-Scholes leva em conta a natureza contínua dos preços, permitindo precificação precisa de opções. Você pode saber mais sobre modelagem financeira no nosso curso Financial Analysts in Google Sheets.

e na computação

Em ciência da computação, e é amplamente utilizado em machine learning, criptografia e simulações. A função sigmoide, parte-chave de redes neurais, é definida como:

Essa função mapeia entradas para saídas entre 0 e 1, sendo útil para classificação. O número de Euler também aparece em algoritmos para simular processos de Poisson e decaimento exponencial, usados em geração de números aleatórios, simulações de Monte Carlo e sistemas criptográficos.

e em seguros e demografia

Na ciência atuarial, e é usado para modelar riscos e calcular o valor futuro de apólices de seguro de vida e anuidades. Por exemplo, a acumulação contínua de juros é modelada por e^rt. Em demografia, e é usado para descrever crescimento populacional e taxas de mortalidade. A função de Gompertz, que modela envelhecimento e mortalidade, usa e para estimar expectativa de vida.

e na geologia

Em geologia, e é essencial para modelar decaimento radioativo, conforme a equação:

em que N₀ é a quantidade inicial de um isótopo radioativo, 𝝀 é a constante de decaimento e t é o tempo. Essa equação é usada na datação por carbono, que ajuda a determinar a idade de rochas e fósseis. O número de Euler também é usado em sismologia para modelar a atenuação de ondas sísmicas, que decaem exponencialmente ao atravessar a Terra. Isso auxilia na análise e previsão de terremotos.

e na meteorologia

Meteorologistas usam e para modelar variações de temperatura e sistemas climáticos. Por exemplo, o resfriamento ou aquecimento de um objeto ao longo do tempo é descrito por:

em que T₀ é a temperatura inicial e 𝝀 é a constante de taxa. Modelos exponenciais envolvendo e também são usados em ciência do clima para prever efeitos de longo prazo das emissões de carbono e, na previsão do tempo, para modelar a evolução da pressão atmosférica e a formação de nuvens.

e na linguística

Acredite: o número de Euler também tem aplicações em linguística! Ele é usado em modelos estatísticos de frequência de palavras, como a lei de Zipf, que afirma que a frequência de uma palavra é inversamente proporcional ao seu ranking. Essa relação pode ser modelada com funções exponenciais envolvendo e.

Em processamento de linguagem natural (PLN), e está presente em algoritmos como LDA (latent Dirichlet allocation), que modela distribuições de tópicos em textos. Funções exponenciais também são usadas para estudar evolução linguística, acompanhando como as línguas mudam ao longo do tempo.

Como você percebe, o número de Euler é uma constante universal usada em campos extremamente variados. Suas aplicações são tão infinitas quanto seus dígitos!

Equívocos comuns sobre e

Por mais presente que e seja, há espaço para confusão.

Número de Euler (e) versus constante de Euler (γ)

É fácil confundir o número de Euler com a constante de Euler. Afinal, ambos levam o nome de Euler. Mas são números totalmente diferentes e aparecem em áreas distintas da matemática.

• e ≅ 2,718: é a base do logaritmo natural. É superimportante no cálculo, no crescimento exponencial e em tudo que envolve mudança contínua. Pense em e quando estiver lidando com juros compostos ou crescimento populacional.
• γ ≅ 0,577: é a constante de Euler–Mascheroni. Surge em teoria dos números e está relacionada à série harmônica (aquela soma de frações como 1 + 1/2 + 1/3 + ...). Pense em γ em problemas envolvendo série harmônica ou crescimento logarítmico.

Mau uso em aplicações reais

e aparece em muitos contextos e, às vezes, isso leva a confusões. É importante saber quando é apropriado usar e e quando não é. Por exemplo, muita gente ouve falar de capitalização contínua e assume que ela é sempre melhor do que a capitalização discreta. Mas muitos bancos usam capitalização mensal ou trimestral. Então, se você quer modelar ativos reais, precisa saber se a capitalização contínua ou a discreta é a mais adequada — caso contrário, seu modelo pode não refletir a realidade.

Conclusão

O número de Euler, e, é uma das constantes mais usadas na matemática, perdendo apenas para 𝜋. É uma ferramenta que simplifica cálculos complexos, modela crescimento e torna possível representar mudanças contínuas. Você pode aprender a usar e no seu código no nosso tutorial Exponents in Python. Se quiser aprender mais matemática, confira nossos cursos de Estatística introdutória ou de Álgebra linear.