Giải thích Số Euler (e): Ý nghĩa và Ứng dụng

Điểm chung giữa lãi kép, hồi quy logistic và các mô hình tăng trưởng dân số là gì? Câu trả lời là tất cả đều dựa vào số Euler, hay e.

Số Euler có lẽ là một trong những hằng số quan trọng nhất, chỉ sau số pi. Nó được sử dụng trong nhiều lĩnh vực, từ sinh học, vật lý, thiên văn học đến khoa học dữ liệu, thống kê và phân tích tài chính.

Một điều thú vị: mọi phòng thí nghiệm tôi từng làm việc đều dùng vài chữ số đầu của e hoặc pi làm mật khẩu ở đâu đó trong lab. Tại sao? Vì ai cũng thuộc những con số đó! Chúng được dùng thường xuyên đến vậy.

Vậy, hãy cùng tìm hiểu điều gì khiến e đáng nhớ đến thế, xác định các tính chất toán học của nó và xem nó được áp dụng ra sao.

Tóm tắt nhanh

• Số Euler (e ≈ 2.71828) là cơ số của logarit tự nhiên và xuất hiện ở bất cứ đâu có sự tăng trưởng hoặc suy giảm liên tục — từ lãi kép đến động lực học dân số.

• Nó được Jacob Bernoulli phát hiện khi nghiên cứu lãi kép năm 1683 và sau đó được Leonhard Euler hệ thống hoá, người cũng biểu diễn nó dưới dạng chuỗi vô hạn 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...

• Hàm eˣ là duy nhất vì đạo hàm của nó bằng chính nó, khiến nó trở thành lựa chọn tự nhiên để mô hình hoá những tốc độ thay đổi tỉ lệ với giá trị hiện tại — hữu ích trong giải tích, phương trình vi phân và các phân phối xác suất như Poisson và Gaussian.

Giới thiệu về số Euler

Số Euler là một hằng số toán học xấp xỉ bằng 2,71828. Nó là cơ số của logarit tự nhiên và là thành phần then chốt trong các phép tính tăng trưởng và suy giảm liên tục. Tương tự 𝜋, e là một hằng số phổ quát. Nhưng trong khi 𝜋 biểu thị tỉ số giữa chu vi và đường kính hình tròn, e là hằng số nảy sinh tự nhiên từ các quá trình mũ. Số Euler thường xuất hiện khi mô hình hoá các quá trình có sự thay đổi liên tục, ví dụ khi tính lãi kép liên tục hoặc mô hình hoá tăng trưởng dân số.

Số Euler vừa là số vô tỉ vừa là siêu việt. Điều này có nghĩa là e không thể biểu diễn dưới dạng phân số đơn giản hoặc thu được bằng cách giải bất kỳ phương trình đa thức nào có hệ số hữu tỉ. Các chữ số của nó kéo dài vô hạn mà không lặp lại.

Bối cảnh lịch sử

Hãy điểm lại đôi nét lịch sử:

Jacob Bernoulli và sự phát hiện e

Câu chuyện về số Euler bắt đầu năm 1683, khi Jacob Bernoulli nghiên cứu toán học của lãi kép. Ông đặt ra một câu hỏi tưởng chừng đơn giản: điều gì xảy ra nếu ta ghép lãi liên tục thay vì hàng năm?

Để minh hoạ, xét số tiền gốc ban đầu P được đầu tư với lãi suất năm r. Nếu lãi được ghép hàng năm, giá trị tương lai sau một năm là P(1 + r). Nếu ghép nửa năm một lần, sẽ thành P(1 + r/2)². Khi số lần ghép lãi (n) tăng lên, công thức trở thành P(1 + r/n)ⁿ.

Biểu đồ trên cho thấy sự khác biệt giữa lãi ghép hàng năm và lãi ghép liên tục. Đây là một ví dụ khá cực đoan với số tiền gốc 1.000 đô và lãi suất năm 50%, nhằm minh hoạ mô hình.

Bernoulli phát hiện rằng khi n tiến tới vô cùng, giá trị của (1 + 1/n)ⁿ hội tụ xấp xỉ 2,718. Hằng số này, sau đó được đặt tên là e, thể hiện bản chất của ghép lãi liên tục.

Leonhard Euler: hệ thống hoá và đặt tên

Jacob Bernoulli có thể đã phát hiện sự hiện diện của e trong lãi kép, nhưng Leonhard Euler mới là người phát triển đầy đủ khái niệm này vào đầu thế kỷ 18. Trong giai đoạn 1727–1731, Euler hệ thống hoá các tính chất của e và đặt cho nó cái tên quen thuộc ngày nay.

Euler chứng minh rằng e có thể được biểu diễn thành chuỗi vô hạn:

Chuỗi này, bắt nguồn từ giải tích, cho phép tính e đến bất kỳ độ chính xác mong muốn nào và mở đường cho việc hiểu sâu hơn các tính chất của nó.

Biểu đồ trên cho thấy cách ta có thể tính e bằng cách cộng dồn một dãy số: e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …  Đường màu xanh biểu diễn tổng khi ta thêm nhiều hạng tử hơn, bắt đầu chỉ từ 1 rồi thêm các hạng trong chuỗi. Đường đứt đoạn màu đỏ biểu diễn giá trị thực của e. Bạn có thể thấy tổng tiến rất gần e chỉ sau vài hạng tử, và mỗi hạng mới chỉ tạo ra khác biệt rất nhỏ. Điều này quan trọng vì cho thấy ta có thể ước tính e chính xác mà không cần cộng vô hạn số hạng.

Sự phát triển của e trong văn liệu toán học

Sau khi Euler hệ thống hoá e vào thế kỷ 18, các ứng dụng của nó nhanh chóng mở rộng sang nhiều lĩnh vực. Sang thế kỷ 19, tầm quan trọng của nó trong việc giải phương trình vi phân trở nên rõ ràng. Các nhà toán học như Joseph Fourier đã dùng e trong các phương trình truyền nhiệt, đặt nền móng cho lĩnh vực nhiệt động lực học. Công trình của Fourier về khuếch tán nhiệt dựa trên các phương trình suy giảm mũ có e, như trình bày trong The Analytical Theory of Heat.

Đến thế kỷ 20, e đã trở thành công cụ trung tâm trong sinh học và động lực học dân số. Mô hình tăng trưởng mũ, P(t) = P0 ert, được dùng rộng rãi để mô tả tăng trưởng dân số trong điều kiện lý tưởng. Tương tự, trong vật lý, e hữu dụng trong các mô hình phân rã phóng xạ, nơi số hạt còn lại tuân theo N(t) = N0 e-𝝺t.

Trong vài thập kỷ gần đây, e lại có ý nghĩa mới trong khoa học máy tính và máy học. Chẳng hạn, hàm sigmoid, rất quan trọng trong mạng nơ-ron, được định nghĩa bởi 𝝈(x) = 1/(1+e-x). Hàm này ánh xạ đầu vào thành đầu ra trong khoảng 0 đến 1, rất cần thiết cho các bài toán phân loại. Số Euler cũng đóng vai trò trong phân tích thuật toán ngẫu nhiên và các mô hình xác suất, như được bàn trong Deep Learning của Ian Goodfellow, v.v.

Các tính chất toán học của e

Giờ đã hiểu đôi chút lịch sử, hãy khám phá một số đặc trưng và định nghĩa toán học quan trọng nhất của số Euler.

ex với các giá trị x khác nhau. Hình do Tác giả tạo.

e dưới dạng giới hạn

Định nghĩa e như một giới hạn là một trong những biểu diễn trực quan và có ý nghĩa lịch sử nhất. Nó xuất hiện tự nhiên từ việc nghiên cứu lãi kép và được biểu diễn như sau:

Công thức này định nghĩa e là kết quả của việc ghép tăng trưởng đến vô hạn. Đây là nền tảng khái niệm để hiểu cách e mô hình hoá các quá trình liên tục. Định nghĩa giới hạn này cũng cho thấy e kết nối với các hàm mũ như thế nào.

e dưới dạng chuỗi vô hạn

Một cách khác để định nghĩa e là thông qua biểu diễn chuỗi vô hạn của nó:

Chuỗi này bắt nguồn từ giải tích và cung cấp cách chính xác để tính e tới bất kỳ mức độ chính xác nào mong muốn. Nó cũng làm nổi bật mối liên hệ giữa e và giai thừa, vốn thường xuất hiện trong lý thuyết xác suất và tổ hợp.

Hàm mũ và giải tích

Theo tôi, hàm mũ với e làm cơ số là một trong những hàm hữu ích nhất trong toán học. e^x là đạo hàm của chính nó:

Điều này có nghĩa là tốc độ thay đổi của e^x luôn tỉ lệ với giá trị hiện tại của nó. Tính chất này khiến e^x trở thành công cụ toán học hoàn hảo để mô hình hoá tăng trưởng hoặc suy giảm liên tục. Đây là lý do nó hữu ích khi mô tả phân rã phóng xạ, tăng trưởng dân số và lãi kép liên tục.

Logarit tự nhiên

Logarit tự nhiên, ký hiệu ln(x), là hàm ngược của hàm mũ e^x:

Logarit tự nhiên được sử dụng rộng rãi trong toán học và thống kê, đặc biệt khi biến đổi dữ liệu.

Đồng nhất thức Euler

Trong giới những người mê toán, một trong những phương trình thú vị nhất là đồng nhất thức Euler:

Phương trình này thường được xem là đỉnh cao của vẻ đẹp toán học vì nó kết nối năm hằng số cơ bản nhất: e, i (đơn vị ảo), 𝜋, 1 và 0. Nó cũng bắc cầu giữa những lĩnh vực tưởng như không liên quan: hàm mũ, số phức và lượng giác.

e trong xác suất và thống kê

Số Euler đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất và thống kê. Ví dụ, nó xuất hiện trong công thức của phân phối Poisson, mô hình hoá số sự kiện xảy ra trong một khoảng cố định:

Ở đây, e đảm bảo tổng các xác suất bằng 1, khiến nó không thể thiếu trong phân phối được dùng rộng rãi này.

Tương tự, e quan trọng với phân phối mũ, mô hình hoá thời gian giữa các sự kiện trong một quá trình Poisson:

Bạn cũng có thể thấy e xuất hiện trong phân phối Gaussian, nơi nó làm cho các giá trị càng xa trung bình càng suy giảm theo hàm mũ.

Như bạn đã thấy, số Euler cũng kết nối những lĩnh vực tưởng như không liên quan của toán học, từ tăng trưởng mũ đến số phức, thông qua các phương trình như đồng nhất thức Euler. Sự liên thông này cho thấy bản chất sâu sắc và phổ quát của e, khiến nó trở thành một trong những hằng số quan trọng nhất của toán học. Nếu không có e, chúng ta sẽ thiếu các công cụ toán học để mô hình chính xác đủ loại quá trình thay đổi trơn theo thời gian.

Ví dụ giáo trình và phép tính

Hãy xem ba phép tính kinh điển cho thấy e có thể được áp dụng như thế nào.

Ví dụ 1: lãi ghép liên tục so với lãi ghép hàng tháng

Xét tình huống bạn đầu tư 1.000 đô với lãi suất năm 5%. Ta sẽ tính giá trị tương lai của khoản đầu tư này sau một năm theo hai phương thức ghép lãi khác nhau: ghép hàng tháng và ghép liên tục.

Ghép lãi hàng tháng

Với ghép lãi hàng tháng, lãi được tính và cộng vào gốc mỗi tháng. Công thức cho ghép lãi rời rạc là

trong đó P = 1000 là tiền gốc ban đầu, r = 0,05 là lãi suất năm, n = 12 là số kỳ ghép lãi mỗi năm (trong trường hợp này là hàng tháng), và t = 1 là số năm. Thay các giá trị này vào công thức, ta được:

Phép tính này cho thấy giá trị tương lai của khoản đầu tư khi ghép hàng tháng. Trong trường hợp này, sau một năm, khoản đầu tư tăng lên xấp xỉ 1.051,16 đô.

Ghép lãi liên tục

Khi lãi được ghép liên tục, nghĩa là lãi được cộng vào ở mọi khoảnh khắc thời gian, tạo ra một đường tăng trưởng mượt hơn. Công thức cho ghép lãi liên tục là:

trong đó P = 1000, r = 0,05, và t = 1. Thay các giá trị vào phương trình, ta được:

Giá trị sau một năm trong trường hợp này là 1.051,27 đô. Dù chênh lệch giữa hai phương pháp có vẻ nhỏ sau chỉ một năm, ghép lãi liên tục cho giá trị cao hơn đôi chút. Trong khoảng thời gian dài hơn hoặc lãi suất cao hơn, chênh lệch trở nên đáng kể hơn nhiều.

Việc dùng e ở đây phản ánh thực tế lãi được ghép liên tục, nghĩa là tăng trưởng xảy ra ở mọi khoảnh khắc, làm cho tốc độ tăng trưởng mượt mà hơn.

Ví dụ 2: mô hình hoá tăng trưởng dân số bằng e

Tình huống thứ hai đến từ sinh học. Hãy hình dung một quần thể ruồi có tốc độ sinh liên tục 20% mỗi tuần và tốc độ tử vong liên tục 5% mỗi tuần. Nếu bắt đầu với 1.000 con, sau 5 tuần sẽ có bao nhiêu? Bài toán này rất giống phương trình lãi kép; thực tế, bạn sẽ thấy phương trình gần như y hệt!

Tăng trưởng liên tục của một quần thể có thể được mô hình hoá bằng công thức sau:

trong đó P(t) là dân số tại thời điểm t, P0 là dân số ban đầu, b là tỷ lệ sinh, d là tỷ lệ tử, và (b-d) là tốc độ tăng trưởng ròng. Thay các giá trị vào công thức:

Sau 5 tuần, quần thể sẽ tăng lên xấp xỉ 2.117 con.

Vai trò của e ở đây là thiết yếu: nó cho phép ta mô hình hoá tăng trưởng liên tục. Khác với các mô hình rời rạc đo tăng trưởng theo các khoảng cố định, mô hình liên tục với e tính đến việc tăng trưởng xảy ra ở mọi thời điểm, thể hiện chính xác hơn các quá trình thực như tăng trưởng dân số, đặc biệt với quần thể lớn.

Ví dụ 3: các kịch bản xác suất liên quan đến e

Ví dụ cổ điển thứ ba đến từ lý thuyết xác suất. Hãy xem bài toán hoán vị lệch chỗ (derangement), hỏi rằng: nếu bạn ngẫu nhiên gán n lá thư vào n phong bì, xác suất để không lá thư nào vào đúng phong bì của nó là bao nhiêu? Đây được gọi là một "derangement".

Xác suất của một derangement được cho bởi công thức:

Khi n rất lớn, xác suất này tiến tới 1/e, xấp xỉ 0,3679. Nghĩa là với số lượng thư lớn, có khoảng 37% khả năng không lá thư nào được đặt đúng chỗ.

Với 3 lá thư, có 3!=6 cách sắp xếp. Trong đó chỉ có 2 là derangement (không lá nào vào đúng phong bì). Xác suất là:

Hãy tính xác suất cho 10 lá thư. Dùng công thức:

Kết quả này cho thấy ngay cả với chỉ 10 lá thư, xác suất không có trùng khớp đã rất gần 1/e. Khi số lượng thư tăng, xác suất hội tụ về 1/e.

Số Euler trong các lĩnh vực chuyên môn

Số Euler xuất hiện trong vô số ứng dụng đời thực. Các tính chất độc đáo của nó khiến e không thể thiếu trong các lĩnh vực từ giải tích và sinh học đến tài chính và kỹ thuật.

e trong giải tích

Số Euler là nền tảng của giải tích, nơi nó giữ vai trò trung tâm trong việc hiểu sự thay đổi liên tục. Như đã đề cập, hàm mũ e^x là duy nhất vì đạo hàm của nó bằng chính nó:

Tính chất này khiến e^x trở nên thiết yếu để mô hình các quá trình mà tốc độ thay đổi tỉ lệ với giá trị hiện tại. Số Euler tham gia vào việc giải nhiều phương trình vi phân.

e trong sinh học và y tế

Lần đầu tôi biết đến e là trong môn sinh học, nơi nó được dùng để mô hình tăng trưởng và suy giảm liên tục. Ví dụ, quần thể vi khuẩn tăng trưởng với tốc độ không đổi có thể được mô tả bởi phương trình tăng trưởng dân số kinh điển:

trong đó P₀ là dân số ban đầu, r là tốc độ tăng trưởng, và t là thời gian.

Tương tự, trong y tế, e được dùng để mô hình hoá chuyển hoá thuốc, nơi nồng độ thuốc trong cơ thể giảm theo hàm mũ theo thời gian:

Các mô hình này rất quan trọng để hiểu các quá trình sinh học và tối ưu hoá điều trị y khoa, như xác định liều dùng thuốc hiệu quả hoặc dự đoán tăng trưởng vi khuẩn trong môi trường kiểm soát.

e trong kỹ thuật và vật lý

Trong kỹ thuật và vật lý, e được dùng để phân tích các hệ thống có sự thay đổi liên tục. Ví dụ, công thức Euler:

được dùng để biểu diễn dạng sóng hình sin trong mạch dòng xoay chiều (AC). Trong xử lý tín hiệu, e được dùng trong biến đổi Fourier, giúp phân rã tín hiệu phức tạp thành các thành phần tần số đơn giản hơn. Những ứng dụng này hữu ích trong các lĩnh vực như kỹ thuật điện, cơ học lượng tử và viễn thông.

e trong tài chính

Như bạn có thể hình dung, số Euler là thiết yếu trong tài chính, đặc biệt khi tính lãi ghép liên tục, như ta đã thấy.

Số Euler cũng được dùng trong các mô hình tài chính như phương trình Black–Scholes, tính giá hợp lý của quyền chọn bằng cách xét đến biến động giá tài sản liên tục. Bằng cách đưa e vào, mô hình Black–Scholes phản ánh bản chất liên tục của biến động giá tài sản, cho phép định giá quyền chọn chính xác. Bạn có thể tìm hiểu thêm về mô hình tài chính trong khóa Financial Analysts in Google Sheets của chúng tôi.

e trong khoa học máy tính

Trong khoa học máy tính, e được dùng rộng rãi trong máy học, mật mã và mô phỏng. Hàm sigmoid, một thành phần then chốt của mạng nơ-ron, được định nghĩa là:

Hàm này ánh xạ đầu vào thành đầu ra trong khoảng 0 đến 1, hữu ích cho các tác vụ phân loại. Số Euler cũng xuất hiện trong các thuật toán mô phỏng quá trình Poisson và suy giảm mũ, được dùng trong sinh số ngẫu nhiên, mô phỏng Monte Carlo và các hệ mật mã.

e trong bảo hiểm và nhân khẩu học

Trong khoa học định phí, e được dùng để mô hình rủi ro và tính giá trị tương lai của hợp đồng bảo hiểm nhân thọ và niên kim. Ví dụ, tích luỹ lãi liên tục được mô hình bằng e^rt. Trong nhân khẩu học, e được dùng để mô tả tăng trưởng dân số và tỷ lệ tử vong. Hàm Gompertz, mô hình hoá lão hoá và tỷ lệ tử, dùng e để ước tính tuổi thọ.

e trong địa chất

Trong địa chất, e rất quan trọng để mô hình phân rã phóng xạ, được mô tả bởi phương trình:

trong đó N₀ là lượng ban đầu của đồng vị phóng xạ, 𝝀 là hằng số phân rã, và t là thời gian. Phương trình này được dùng trong định tuổi bằng carbon, giúp xác định tuổi đá và hoá thạch. Số Euler cũng được dùng trong địa chấn học để mô hình suy giảm biên độ sóng địa chấn, vốn giảm theo hàm mũ khi truyền qua Trái Đất. Điều này hỗ trợ phân tích và dự báo động đất.

e trong khí tượng

Các nhà khí tượng dùng e để mô hình hoá thay đổi nhiệt độ và các hệ thống thời tiết. Ví dụ, việc làm nguội hoặc đốt nóng của một vật theo thời gian được mô tả bởi:

trong đó T₀ là nhiệt độ ban đầu và 𝝀 là hằng số tốc độ. Các mô hình mũ có e cũng được dùng trong khoa học khí hậu để dự báo tác động dài hạn của phát thải carbon và trong dự báo thời tiết để mô hình sự tiến triển của áp suất khí quyển và hình thành mây.

e trong ngôn ngữ học

Nghe có vẻ lạ nhưng số Euler còn có ứng dụng trong ngôn ngữ học! Nó được dùng trong các mô hình thống kê về tần suất từ, như định luật Zipf, phát biểu rằng tần suất của một từ tỉ lệ nghịch với thứ hạng của nó. Mối quan hệ này có thể được mô hình bằng các hàm mũ có e.

Trong xử lý ngôn ngữ tự nhiên (NLP), e tham gia vào các thuật toán như phân bổ Dirichlet tiềm ẩn (LDA), mô hình hoá phân bố chủ đề trong văn bản. Các hàm mũ cũng được dùng để nghiên cứu tiến hoá ngôn ngữ, theo dõi cách ngôn ngữ thay đổi theo thời gian.

Như bạn thấy, số Euler là một hằng số phổ quát được dùng trong rất nhiều lĩnh vực đa dạng. Ứng dụng của nó cũng vô hạn như chính các chữ số của nó vậy!

Những hiểu lầm về e

Dù e phổ biến, vẫn có những chỗ dễ gây nhầm lẫn.

Số Euler (e) so với hằng số Euler (γ)

Rất dễ nhầm lẫn giữa số Euler và hằng số Euler. Suy cho cùng, cả hai đều mang tên Euler. Nhưng thực ra chúng là hai số hoàn toàn khác nhau và xuất hiện ở những mảng toán học khác nhau.

• e ≅ 2,718: Đây là cơ số của logarit tự nhiên. Nó cực kỳ quan trọng trong giải tích, tăng trưởng mũ và mọi thứ liên quan đến thay đổi liên tục. Hãy nghĩ đến e khi bạn làm việc với những thứ như lãi kép hoặc tăng trưởng dân số.
• γ ≅ 0,577: Đây gọi là hằng số Euler–Mascheroni. Nó xuất hiện trong lý thuyết số và liên quan đến chuỗi điều hoà (cách cộng các phân số như 1 + 1/2 + 1/3 + ...). Hãy nghĩ đến γ khi bạn làm việc với các bài toán liên quan đến chuỗi điều hoà hoặc tăng trưởng logarit.

Lạm dụng trong ứng dụng thực tế

e xuất hiện trong rất nhiều tình huống và đôi khi có thể gây nhầm lẫn. Điều quan trọng là biết khi nào nên dùng e và khi nào không. Ví dụ, mọi người thường nghe về ghép lãi liên tục và cho rằng nó luôn tốt hơn lãi rời rạc. Nhưng nhiều ngân hàng dùng ghép lãi hàng tháng hoặc hàng quý. Vì vậy nếu bạn đang cố mô hình hoá tài sản thực, bạn cần biết ghép lãi liên tục hay rời rạc phù hợp hơn, nếu không mô hình có thể không phản ánh thực tế.

Kết luận

Số Euler, e, là một trong những hằng số được dùng rộng rãi nhất trong toán học, chỉ sau 𝜋. Nó là công cụ giúp đơn giản hoá các phép tính phức tạp, mô hình hoá tăng trưởng và cho phép mô hình sự thay đổi liên tục. Bạn có thể học cách dùng e trong lập trình qua hướng dẫn Exponents in Python của chúng tôi. Nếu bạn muốn học thêm toán học, hãy xem các khoá Introductory Statistics hoặc Linear Algebra của chúng tôi.