Szereg Maclaurina: wzór, rozwinięcie i przykłady

Niektóre funkcje są zbyt złożone, by pracować z nimi bezpośrednio — dlatego matematycy wymyślili, jak „udawać” je wielomianami.

To właśnie podstawowa idea szeregu Maclaurina. Reprezentuje on funkcję jako nieskończoną sumę wyrazów wielomianowych, zbudowanych z pochodnych funkcji w zerze. Efekt to postać, z którą można wygodnie liczyć, nawet gdy pierwotna funkcja jest zbyt skomplikowana.

Szereg Maclaurina można traktować jako szczególny przypadek szeregu Taylora, tylko rozwinięty wokół zera. To ograniczenie upraszcza wyprowadzenia i ułatwia stosowanie.

W tym artykule omówię wzór szeregu Maclaurina, przejdę przez najczęstsze rozwinięcia i pokażę, jak je interpretować oraz stosować.

Czym jest szereg Maclaurina?

Szereg Maclaurina przedstawia funkcję jako nieskończoną sumę wyrazów zbudowanych z jej pochodnych w zerze.

Każdy wyraz to wielomian — potęga x przemnożona przez wartość odpowiedniej pochodnej. Gdy połączymy wystarczająco wiele takich wyrazów, otrzymujemy wielomian, który zachowuje się jak oryginalna funkcja, przynajmniej w pobliżu zera.

Przybliżanie złożonej funkcji wielomianem to sedno szeregu Maclaurina. Wielomiany łatwo się liczy, różniczkuje i całkuje. Większości innych funkcji — nie.

Szereg Maclaurina a szereg Taylora

Szereg Taylora przybliża funkcję jako nieskończony wielomian rozwinięty wokół dowolnego punktu a. Wybiera się punkt, buduje wokół niego szereg i otrzymuje wielomian, który dobrze działa w jego okolicy.

Szereg Maclaurina to po prostu szereg Taylora dla a = 0. To jedyna różnica.

Rozwinięcie w zerze upraszcza rachunki, bo wyrazy wielomianowe tracą przesunięcie (x - a) i stają się zwykłymi potęgami x. Dzięki temu większość standardowych funkcji używanych w analizie, fizyce czy uczeniu maszynowym ma czyste, dobrze znane rozwinięcia Maclaurina.

Porównanie szeregu Taylora i Maclaurina

Podsumowując: używaj szeregu Taylora, gdy trzeba przybliżyć funkcję w pobliżu konkretnego punktu innego niż zero. Używaj szeregu Maclaurina, gdy punktem odniesienia jest zero — a tak bywa często.

Wzór szeregu Maclaurina

Wzór na szereg Maclaurina zapisuje dowolną funkcję f(x) jako nieskończoną sumę:

Wzór szeregu Maclaurina

Po rozwinięciu wygląda to tak:

Rozwinięty wzór szeregu Maclaurina

Każdy wyraz ma trzy elementy:

• f⁽ⁿ⁾(0) — n-ta pochodna funkcji f obliczona w zerze. Pokazuje, jak funkcja zachowuje się w tym punkcie

• n! — silnia z n, która skaluje wyrazy, aby szereg pozostawał „grzeczny” wraz ze wzrostem n

• xⁿ — n-ta potęga x, która określa, jak daleko od zera „sięga” dany wyraz

Pierwszy wyraz f(0) ustawia wartość wielomianu w zerze. Każdy kolejny dodaje korektę — koryguje nachylenie, krzywiznę itd. — aż wielomian będzie wystarczająco bliski oryginalnej funkcji.

Krótko mówiąc: im więcej wyrazów, tym lepsze przybliżenie.

Jak działa szereg Maclaurina

Budowanie szeregu Maclaurina sprowadza się do powtarzalnej czynności: oblicz pochodne w zerze, a następnie złóż wyniki w wielomian.

Krok po kroku wygląda to tak.

1. Oceń funkcję w zerze: podstaw x = 0 do f(x). To daje pierwszy wyraz — stałą ustawiającą wartość początkową wielomianu
2. Policz pochodne: oblicz f'(x), f''(x), f'''(x) itd. Za każdym razem wyznacz wartość w zerze. Każda z nich mówi coś o zachowaniu funkcji — o nachyleniu, krzywiźnie, tempie zmiany krzywizny
3. Zbuduj wielomian. Każdą wartość pochodnej podziel przez odpowiednią silnię i pomnóż przez odpowiadającą jej potęgę x

Teraz zsumuj wszystkie wyrazy:

Jak działa szereg Maclaurina

Każdy wyraz poprawia przybliżenie. Pierwszy oddaje wartość. Drugi — nachylenie. Trzeci — krzywiznę. I tak dalej.

Kończysz, gdy dokładność jest wystarczająca — lub kontynuujesz, jeśli potrzebujesz większej precyzji.

Popularne rozwinięcia Maclaurina

Kilka funkcji pojawia się tak często, że warto zapamiętać ich rozwinięcia Maclaurina. Oto cztery najczęstsze.

eˣ

Funkcja wykładnicza to najprostszy przypadek — każda pochodna eˣ to nadal eˣ, co oznacza, że każda pochodna w zerze równa się 1.

Rozwinięcie e^x

Współczynniki to po prostu 1/n!. Szereg zbiega dla wszystkich wartości x, co czyni go jednym z najbardziej użytecznych w praktyce.

sin(x)

Sinus daje rozwinięcie zawierające tylko nieparzyste potęgi x, a znaki współczynników naprzemiennie są dodatnie i ujemne.

Rozwinięcie sin(x)

Wszystkie pochodne parzystego rzędu sin(x) w zerze są równe zeru, więc te wyrazy znikają. Zostają nieparzyste potęgi, silnie w mianownikach i naprzemienne znaki. Podobnie jak eˣ, ten szereg zbiega dla wszystkich x.

cos(x)

Rozwinięcie cosinusa jest lustrzanym odbiciem sinusa — pojawiają się wyłącznie parzyste potęgi x, z tym samym naprzemiennym wzorcem znaków.

Rozwinięcie cos(x)

Ma to sens, bo cos(x) jest pochodną sin(x), a to rozwinięcie można otrzymać, różniczkując szereg sin(x) wyraz po wyrazie. Wyrazy z nieparzystymi potęgami znikają z tego samego powodu, dla którego w sinusie znikają parzyste — pochodne w zerze je zerują. Szereg zbiega dla wszystkich x.

1 / (1 − x)

To rozwinięcie ma najprostszy wzorzec z całej czwórki: każdy współczynnik to 1, bez silni i bez naprzemiennych znaków.

Rozwinięcie 1/(1-x)

To szereg geometryczny, stąd tak czysty wzorzec. W odróżnieniu jednak od trzech powyższych funkcji, ten szereg zbiega tylko, gdy |x| < 1. Dla x poza tym zakresem wyrazy rosną bez ograniczeń zamiast maleć do zera.

Na koniec, dla wzrokowców, oto wykres porównujący wszystkie cztery rozwinięcia dla wielu wyrazów:

Popularne szeregi Maclaurina

Przybliżanie funkcji za pomocą szeregu Maclaurina

W praktyce rzadko potrzeba wszystkich nieskończonych wyrazów szeregu Maclaurina. Zwykle bierze się sumę częściową — pierwsze kilka wyrazów — i używa jej jako przybliżenia.

Im więcej wyrazów uwzględnisz, tym lepiej suma częściowa śledzi oryginalną funkcję. Po ucięciu na dwóch wyrazach dopasowanie blisko zera jest zgrubne. Dodanie kolejnych rozszerza zakres dobrej zgodności. Każdy nowy wyraz koryguje to, czego brakowało poprzednim.

Weźmy konkretny przykład sin(x). Pełny szereg to:

Wzór przybliżenia sin(x)

Oszacujmy sin(0.3) za pomocą sum częściowych i zobaczmy, jak każda ma się do wartości dokładnej.

• 1 wyraz: 0.3 — błąd ok. 0,0045

• 2 wyrazy: 0.3 - (0.3³/6) = 0.2955 — błąd ok. 0,0000196

• 3 wyrazy: dodaj (0.3⁵/120) = 0.29552 — błąd ok. 0,0000000239

Trzy wyrazy dają dokładność do sześciu miejsc po przecinku, co zwykle wystarcza. W większości przypadków nie trzeba iść dalej.

Ten sam pomysł w Pythonie:

import numpy as np
from math import factorial

def maclaurin_sin(x, n_terms):
    return sum(((-1)**n * x**(2*n+1)) / factorial(2*n+1) for n in range(n_terms))

vec_sin = np.vectorize(maclaurin_sin)
x_val = 0.3

print(f"Approximating sin({x_val}):")
print(f"  Exact value : {np.sin(x_val):.10f}")
for n in [1, 2, 3, 4]:
    approx = maclaurin_sin(x_val, n)
    error = abs(np.sin(x_val) - approx)
    print(f"  {n} term(s)   : {approx:.10f}  |  error: {error:.2e}"

Uruchomienie wypisze wartości sum częściowych i błędy dla x = 0.3:

Przykład w Pythonie: przybliżenie sin(x) szeregiem Maclaurina

Można to też obejrzeć na wykresie:

Wykres przybliżenia sin(x) szeregiem Maclaurina

Widać, jak dobrze każde przybliżenie śledzi funkcję sin(x).

Zbieżność szeregu Maclaurina

Szereg Maclaurina nie zawsze działa dla każdej wartości x. Dla niektórych funkcji szereg zbiega do właściwej wartości tylko w określonym zakresie wokół zera. Poza nim sumy częściowe rosną zamiast maleć.

Ten zakres to promień zbieżności. Informuje, jak daleko od zera szereg pozostaje wiarygodny.

Zachowanie zależy od funkcji:

• eˣ, sin(x), cos(x) — zbieżne dla wszystkich wartości x. Można wstawić dowolną liczbę i szereg da poprawny wynik

• 1/(1-x) — zbieżny tylko, gdy |x| < 1. Dla x = 1 sama funkcja „wybucha”, a szereg odzwierciedla to, nie zbliżając się do granicy w pobliżu tego punktu

Myśl o promieniu zbieżności jak o kręgu zaufania wokół zera. Szereg jest poprawnym przybliżeniem tylko w jego obrębie.

Nie zawsze trzeba go liczyć. Dla standardowych funkcji jest znany. Ale przy mniej typowych funkcjach warto sprawdzić zbieżność, zanim zaufa się przybliżeniu Maclaurina.

Dlaczego szeregi Maclaurina są ważne

Szeregi Maclaurina pojawiają się w realnych obliczeniach w matematyce, fizyce i uczeniu maszynowym.

Metody numeryczne

Komputery nie liczą większości funkcji symbolicznie. Liczą wielomiany. Gdy biblioteka oblicza sin(x) czy eˣ, często używa przybliżenia wielomianowego — wyprowadzonego z rozwinięcia Maclaurina lub Taylora. Szereg daje postać, z którą sprzęt potrafi szybko liczyć, bez nieskończonych pętli.

Przybliżenia w fizyce

Fizyka korzysta z szeregu Maclaurina, gdy rozwiązanie dokładne jest zbyt złożone. Najpopularniejszy przykład to przybliżenie małych kątów: dla małych wartości θ, sin(θ) ≈ θ. To po prostu pierwszy wyraz szeregu Maclaurina dla sin(x). Upraszcza to równania wahadła, obliczenia w optyce i modele fal — zamieniając problemy nieliniowe w liniowe, które da się rozwiązać.

Uczenie maszynowe i optymalizacja

W uczeniu maszynowym rozwinięcia Taylora i Maclaurina stoją za wieloma znanymi Ci na co dzień metodami. Spadek gradientowy używa przybliżeń pierwszego rzędu funkcji straty, by wybrać kierunek kroku. Metody drugiego rzędu, jak metoda Newtona, korzystają z informacji o krzywiźnie. Gdy badacze analizują lokalne zachowanie powierzchni straty modelu, często myślą w kategoriach rozwinięć Taylora wokół punktu.

Szereg Maclaurina służy też do teoretycznych przybliżeń funkcji aktywacji, takich jak sigmoid czy tanh. Rozwinięcie w wielomian ułatwia rozumienie gradientów i zjawiska nasycenia.

Wnioski

Szereg Maclaurina robi jedno: przybliża funkcję wielomianem rozwiniętym w zerze. Prosta idea o dalekim zasięgu.

Od obliczeń numerycznych, przez fizykę, po uczenie maszynowe, schemat jest ten sam: weź złożoną funkcję, zastąp ją wystarczająco bliskim wielomianem i przejdź do właściwego problemu. Matematyka stojąca za spadkiem gradientowym, przybliżeniem małych kątów czy funkcjami wbudowanymi w biblioteki sprowadza się do tej samej idei.

Warto zapamiętać rozwinięcia dla eˣ, sin(x), cos(x) i 1/(1-x). Pojawiają się na tyle często, że ich rozpoznanie oszczędza realny czas, zwłaszcza przy lekturze prac naukowych.