Séries de Maclaurin : formule, développement et exemples

Certaines fonctions sont trop complexes pour être manipulées directement : les mathématiciens ont donc trouvé comment les « imiter » avec des polynômes.

C’est l’idée de base d’une série de Maclaurin. Elle représente une fonction comme une somme infinie de termes polynomiaux, chacun construit à partir des dérivées de la fonction en zéro. Le résultat est un objet calculable, même lorsque la fonction d’origine est trop compliquée.

Vous pouvez voir la série de Maclaurin comme un cas particulier de la série de Taylor, simplement centrée en zéro. Cette contrainte la rend plus simple à dériver et plus facile à appliquer.

Dans cet article, nous passons en revue la formule des séries de Maclaurin, les développements les plus courants, et comment les interpréter et les utiliser.

Qu’est-ce qu’une série de Maclaurin ?

Une série de Maclaurin représente une fonction comme une somme infinie de termes construits à partir de ses dérivées en zéro.

Chaque terme est un polynôme : une puissance de x pondérée par une valeur de dérivée. En combinant suffisamment de ces termes, on obtient un polynôme qui se comporte comme la fonction d’origine, du moins au voisinage de zéro.

Approcher une fonction complexe par un polynôme est l’idée clé derrière les séries de Maclaurin. Les polynômes se calculent, se dérivent et s’intègrent facilement. La plupart des autres fonctions, non.

Série de Maclaurin vs série de Taylor

Une série de Taylor approche une fonction par un polynôme infini centré en un point quelconque a. Vous choisissez le point, vous construisez la série autour, et vous obtenez un polynôme pertinent près de ce point.

Une série de Maclaurin n’est rien d’autre qu’une série de Taylor avec a = 0. C’est la seule différence.

Centrer en zéro simplifie les calculs, car les termes polynomiaux perdent le décalage (x - a) et deviennent de simples puissances de x. La plupart des fonctions usuelles en analyse, en physique et en apprentissage automatique ont ainsi des développements de Maclaurin propres et bien connus.

Comparaison entre séries de Taylor et de Maclaurin

En résumé : utilisez une série de Taylor pour approximer une fonction près d’un point spécifique autre que zéro. Utilisez une série de Maclaurin lorsque zéro est un bon point de départ – ce qui est souvent le cas.

Formule de la série de Maclaurin

La formule de Maclaurin exprime toute fonction f(x) comme une somme infinie :

Formule de la série de Maclaurin

Développée, elle s’écrit ainsi :

Formule de Maclaurin développée

Chaque terme comporte trois éléments :

• f⁽ⁿ⁾(0) : la n-ième dérivée de f évaluée en zéro. Elle décrit le comportement local de la fonction en ce point

• n! : la factorielle de n, qui atténue chaque terme pour que la série reste bien comportée quand n croît

• xⁿ : la puissance n-ième de x, qui détermine jusqu’où chaque terme « porte » à partir de zéro

Le premier terme f(0) fixe le polynôme à la valeur de la fonction en zéro. Chaque terme suivant apporte une correction : pente, courbure, etc., jusqu’à ce que le polynôme colle à la fonction d’origine aussi finement que nécessaire.

En bref, plus vous incluez de termes, meilleure est l’approximation.

Comment fonctionne une série de Maclaurin

Construire une série de Maclaurin revient à répéter une même opération : évaluer les dérivées en zéro, puis assembler les résultats en un polynôme.

Étape par étape :

1. Évaluer la fonction en zéro : remplacez x = 0 dans f(x). Vous obtenez le premier terme – la constante qui fixe la valeur de départ du polynôme
2. Prendre les dérivées : calculez f'(x), f''(x), f'''(x), etc. À chaque étape, évaluez en zéro. Chaque valeur renseigne sur le comportement de la fonction : pente, courbure, vitesse de variation de la courbure
3. Construire le polynôme : prenez chaque valeur de dérivée, divisez-la par la factorielle correspondante, puis multipliez par la puissance de x adéquate

Additionnez ensuite tous les termes :

Fonctionnement de la série de Maclaurin

Chaque terme affine l’approximation. Le premier fixe la valeur. Le second capte la pente. Le troisième la courbure. Et ainsi de suite.

Vous vous arrêtez lorsque l’approximation est suffisamment précise pour votre usage — ou vous continuez pour gagner en précision.

Développements de Maclaurin courants

Certaines fonctions reviennent si souvent que leurs développements de Maclaurin valent la peine d’être mémorisés. Voici les quatre plus fréquents.

eˣ

Le cas le plus simple : chaque dérivée de eˣ est encore eˣ, donc chaque dérivée évaluée en zéro vaut 1.

Développement de e^x

Les coefficients sont simplement 1/n!. La série converge pour tout x, ce qui en fait l’un des développements les plus utiles en pratique.

sin(x)

Le sinus produit une série ne comportant que des puissances impaires de x, avec des signes alternés positifs et négatifs.

Développement de sin(x)

Les dérivées d’ordre pair de sin(x) en zéro sont nulles, ces termes disparaissent donc. Il reste des puissances impaires, des factorielles au dénominateur, et des signes alternés. Comme pour eˣ, la série converge pour tout x.

cos(x)

Le développement du cosinus est l’image en miroir de celui du sinus : seules des puissances paires de x apparaissent, avec la même alternance de signes.

Développement de cos(x)

C’est logique puisque cos(x) est la dérivée de sin(x), et l’on peut obtenir cette série en dérivant terme à terme le développement de sin(x). Les termes de puissance impaire disparaissent pour la même raison que les termes de puissance paire disparaissent dans le sinus : les dérivées en zéro les annulent. La convergence est assurée pour tout x.

1 / (1 − x)

Ici, le motif est le plus simple des quatre : chaque coefficient vaut 1, sans factorielles ni alternances de signes.

Développement de 1/(1-x)

C’est une série géométrique, d’où le motif très régulier. Mais contrairement aux trois fonctions ci-dessus, cette série ne converge que lorsque |x| < 1. En dehors de cet intervalle, les termes croissent au lieu de tendre vers zéro.

Enfin, pour les personnes visuelles, voici un graphique comparant les quatre développements avec plusieurs termes :

Séries de Maclaurin courantes

Approcher des fonctions avec les séries de Maclaurin

Une série de Maclaurin n’a presque jamais besoin de tous ses termes infinis pour être utile. En pratique, on prend une somme partielle – les premiers termes – et on l’utilise comme approximation.

Plus vous gardez de termes, plus la somme partielle colle à la fonction d’origine. Avec deux termes, l’ajustement est grossier près de zéro. En ajoutant quelques termes, l’approximation reste pertinente plus loin. Chaque nouveau terme corrige ce que les précédents ont laissé de côté.

Prenons sin(x) comme exemple concret. La série complète est :

Formule d’approximation de sin(x)

Approchons sin(0.3) par des sommes partielles et voyons comment chacune se compare à la valeur exacte.

• 1 terme : 0.3 — erreur ≈ 0,0045

• 2 termes : 0.3 - (0.3³/6) = 0.2955 — erreur ≈ 0,0000196

• 3 termes : ajout de (0.3⁵/120) = 0.29552 — erreur ≈ 0,0000000239

Trois termes suffisent pour atteindre une précision au millionième près ; c’est généralement amplement suffisant.

Voici la même idée en Python :

import numpy as np
from math import factorial

def maclaurin_sin(x, n_terms):
    return sum(((-1)**n * x**(2*n+1)) / factorial(2*n+1) for n in range(n_terms))

vec_sin = np.vectorize(maclaurin_sin)
x_val = 0.3

print(f"Approximating sin({x_val}):")
print(f"  Exact value : {np.sin(x_val):.10f}")
for n in [1, 2, 3, 4]:
    approx = maclaurin_sin(x_val, n)
    error = abs(np.sin(x_val) - approx)
    print(f"  {n} term(s)   : {approx:.10f}  |  error: {error:.2e}"

L’exécution affiche les valeurs des sommes partielles et les erreurs en x = 0.3 :

Exemple Python d’approximation de sin(x) par Maclaurin

Vous pouvez aussi l’inspecter visuellement :

Graphique de l’approximation de sin(x) par Maclaurin

On voit clairement la qualité de suivi de chaque approximation de la fonction sin(x).

Convergence des séries de Maclaurin

Une série de Maclaurin ne fonctionne pas toujours pour toutes les valeurs de x. Pour certaines fonctions, la série ne converge vers la bonne valeur que dans un certain intervalle autour de zéro. En dehors, les sommes partielles divergent.

Cet intervalle est défini par le rayon de convergence. Il indique jusqu’où, à partir de zéro, la série reste fiable.

Le comportement dépend de la fonction :

• eˣ, sin(x), cos(x) : convergent pour toute valeur de x. Vous pouvez saisir n’importe quel nombre et la série donnera le bon résultat

• 1/(1-x) : ne converge que lorsque |x| < 1. En x = 1, la fonction elle-même diverge, et la série reflète ce comportement en ne convergeant pas au voisinage

Voyez le rayon de convergence comme un « cercle de confiance » centré en zéro. La série n’est valable qu’à l’intérieur.

Il n’est pas toujours nécessaire de calculer ce rayon. Pour les fonctions usuelles, il est connu. Mais avec des fonctions moins familières, vérifier la convergence avant de s’appuyer sur une approximation de Maclaurin est une bonne habitude.

Pourquoi les séries de Maclaurin comptent

Les séries de Maclaurin apparaissent dans des calculs concrets en mathématiques, en physique et en apprentissage automatique.

Méthodes numériques

Les ordinateurs ne peuvent pas évaluer la plupart des fonctions symboliquement. Ils évaluent des polynômes. Lorsqu’une bibliothèque calcule sin(x) ou eˣ, elle utilise souvent une approximation polynomiale — issue du développement de Maclaurin ou de Taylor. La série fournit une forme que le matériel sait calculer, rapidement et sans boucles infinies.

Approximations en physique

En physique, on utilise des séries de Maclaurin dès qu’une solution exacte est trop lourde. L’exemple classique est l’approximation des petits angles : pour de faibles θ, sin(θ) ≈ θ. Ce n’est que le premier terme de la série de sin(x). Elle simplifie les équations du pendule, les calculs d’optique et les modèles d’ondes, transformant des problèmes non linéaires en problèmes linéaires solvables.

Apprentissage automatique et optimisation

En apprentissage automatique, les développements de Taylor et Maclaurin sous-tendent une grande partie des méthodes utilisées au quotidien. La descente de gradient s’appuie sur des approximations du premier ordre de la fonction de perte pour choisir la direction de descente. Les méthodes du second ordre comme la méthode de Newton utilisent la courbure. Quand on analyse localement la surface de perte d’un modèle, on raisonne souvent en termes de développements de Taylor autour d’un point.

Les séries de Maclaurin servent aussi à approximer, en analyse théorique, des fonctions d’activation comme sigmoid et tanh. Les développer en polynômes facilite l’étude des gradients et des phénomènes de saturation.

Conclusion

Une série de Maclaurin fait une chose : elle approxime une fonction par un polynôme centré en zéro. Une idée simple, à l’impact considérable.

Du calcul numérique à la physique en passant par l’apprentissage automatique, le schéma est toujours le même : prendre une fonction complexe, la remplacer par un polynôme « suffisamment proche », et se concentrer sur le problème de fond. Les maths derrière la descente de gradient, l’approximation des petits angles et nombre de fonctions de bibliothèques remontent toutes à cette idée centrale.

Les développements de eˣ, sin(x), cos(x) et 1/(1-x) valent la peine d’être retenus. Ils reviennent assez souvent pour que les reconnaître d’emblée fasse gagner un temps précieux, notamment à la lecture d’articles de recherche.