Serie di Maclaurin: formula, sviluppo ed esempi

Alcune funzioni sono troppo complesse per lavorarci direttamente, quindi i matematici hanno capito come "imitarle" con polinomi.

Questa è l'idea di base dietro una serie di Maclaurin. Rappresenta una funzione come una somma infinita di termini polinomiali, ciascuno costruito a partire dalle derivate della funzione in zero. Il risultato è qualcosa con cui puoi calcolare, anche quando la funzione originale è troppo complessa.

Puoi pensare a una serie di Maclaurin come a un caso particolare della serie di Taylor, solo centrata in zero. Questo vincolo la rende più semplice da derivare e più facile da applicare.

In questo articolo, vedremo la formula della serie di Maclaurin, passeremo in rassegna gli sviluppi più comuni e ti mostrerò come interpretarli e applicarli.

Che cos'è una serie di Maclaurin?

Una serie di Maclaurin rappresenta una funzione come una somma infinita di termini costruiti a partire dalle sue derivate in zero.

Ogni termine è un polinomio: una potenza di x scalata da un valore di derivata. Quando ne combini a sufficienza, ottieni un polinomio che si comporta proprio come la funzione originale, almeno vicino a zero.

Approssimare una funzione complessa con un polinomio è l'idea centrale dietro le serie di Maclaurin. I polinomi sono facili da calcolare, derivare e integrare. La maggior parte delle altre funzioni no.

Serie di Maclaurin vs. serie di Taylor

Una serie di Taylor approssima una funzione come un polinomio infinito centrato in un punto qualunque a. Scegli il punto, costruisci la serie attorno ad esso e ottieni un polinomio che funziona bene vicino a quel punto.

Una serie di Maclaurin è semplicemente una serie di Taylor in cui a = 0. È l'unica differenza.

Centrarla in zero semplifica la matematica perché i termini polinomiali eliminano lo scarto (x - a) e diventano semplici potenze di x. La maggior parte delle funzioni standard con cui lavori in analisi, fisica e machine learning ha sviluppi di Maclaurin puliti e ben noti proprio per questo.

Confronto tra serie di Taylor e Maclaurin

Per chiudere questa sezione: usa una serie di Taylor quando devi approssimare una funzione vicino a un punto specifico diverso da zero. Usa una serie di Maclaurin quando zero è il punto di partenza, come spesso accade.

Formula della serie di Maclaurin

La formula della serie di Maclaurin esprime una funzione qualsiasi f(x) come una somma infinita:

Formula della serie di Maclaurin

Sviluppata, appare così:

Formula della serie di Maclaurin sviluppata

Ogni termine ha tre parti:

• f⁽ⁿ⁾(0) - la n-esima derivata di f, valutata in zero. Indica come si comporta la funzione in quel punto

• n! - il fattoriale di n, che ridimensiona ogni termine in modo che la serie resti ben comportata al crescere di n

• xⁿ - la n-esima potenza di x, che determina quanto ogni termine si spinge lontano da zero

Il primo termine f(0) imposta il polinomio al valore della funzione in zero. Ogni termine successivo aggiunge una correzione, regolando pendenza, curvatura e così via, finché il polinomio non coincide con la funzione originale quanto basta.

In sintesi, più termini includi, migliore è l'approssimazione.

Come funziona la serie di Maclaurin

Costruire una serie di Maclaurin si riduce a un'azione ripetuta: valutare le derivate in zero, quindi assemblare i risultati in un polinomio.

Ecco come funziona, passo dopo passo.

1. Valuta la funzione in zero: sostituisci x = 0 in f(x). Questo ti dà il primo termine, la costante che imposta il valore iniziale del polinomio
2. Calcola le derivate: trova f'(x), f''(x), f'''(x) e così via. A ogni passo, valuta il risultato in zero. Ogni valore ti dice qualcosa sul comportamento della funzione: pendenza, curvatura, quanto velocemente cambia la curvatura
3. Costruisci il polinomio. Prendi ciascun valore di derivata, dividilo per il fattoriale corrispondente e moltiplica per la potenza di x associata

Ora somma tutti i termini:

Come funziona la serie di Maclaurin

Ogni termine migliora l'approssimazione. Il primo sistema il valore. Il secondo la pendenza. Il terzo la curvatura. E così via.

Ti fermi quando l'approssimazione è sufficientemente vicina per le tue esigenze, oppure prosegui per maggiore precisione.

Sviluppi di Maclaurin più comuni

Alcune funzioni compaiono così spesso che i loro sviluppi di Maclaurin vale la pena impararli a memoria. Ecco i quattro che vedrai più spesso.

eˣ

La funzione esponenziale è il caso più semplice: ogni derivata di eˣ è ancora eˣ, il che significa che ogni derivata valutata in zero vale 1.

Sviluppo di e^x

I coefficienti sono semplicemente 1/n!. La serie converge per tutti i valori di x, il che la rende uno degli sviluppi più utili in pratica.

sin(x)

La funzione seno produce una serie con sole potenze dispari di x, e i segni alternano tra positivo e negativo.

Sviluppo di sin(x)

Le derivate di ordine pari di sin(x) in zero sono tutte nulle, quindi quei termini scompaiono. Restano potenze dispari, denominatori fattoriali, segni alternati. Come eˣ, questa serie converge per ogni x.

cos(x)

Lo sviluppo del coseno è l'immagine speculare del seno: compaiono solo potenze pari di x, con lo stesso schema di segni alternati.

Sviluppo di cos(x)

Ha senso perché cos(x) è la derivata di sin(x), e puoi ottenere questa serie derivando termine a termine lo sviluppo di sin(x). I termini con potenze dispari scompaiono per lo stesso motivo per cui in seno scompaiono quelli con potenze pari: le derivate in zero li annullano. Converge per ogni x.

1 / (1 − x)

Questo ha lo schema più semplice dei quattro: ogni coefficiente è semplicemente 1, senza fattoriali e senza segni alternati.

Sviluppo di 1/(1-x)

È una serie geometrica, ecco perché lo schema è così pulito. Ma a differenza delle tre funzioni sopra, questa serie converge solo quando |x| < 1. Se imposti x fuori da quell'intervallo, i termini crescono senza limite invece di tendere a zero.

Infine, per chi preferisce le immagini, ecco un grafico di confronto di tutti e quattro gli sviluppi con più termini:

Serie di Maclaurin comuni

Approssimare funzioni con la serie di Maclaurin

Una serie di Maclaurin raramente ha bisogno di tutti i suoi infiniti termini per essere utile. In pratica, prendi una somma parziale, cioè i primi termini, e la usi come approssimazione.

Più termini includi, più la somma parziale segue da vicino la funzione originale. Se ti fermi a due termini, ottieni un adattamento grossolano vicino a zero. Aggiungendone un paio, l'approssimazione regge più lontano. Ogni nuovo termine corregge ciò che i precedenti hanno mancato.

Prendiamo sin(x) come esempio concreto. La serie completa è:

Formula di approssimazione di sin(x)

Approssimiamo sin(0.3) usando somme parziali e vediamo come ciascuna si confronta con il valore esatto.

• 1 termine: 0.3 - errore di ~0,0045

• 2 termini: 0.3 - (0.3³/6) = 0.2955 - errore di ~0,0000196

• 3 termini: aggiunge (0.3⁵/120) = 0.29552 - errore di ~0,0000000239

Tre termini ti portano a sei decimali di accuratezza, che dovrebbe bastare. Nella maggior parte dei casi non serve andare oltre.

Ecco la stessa idea in Python:

import numpy as np
from math import factorial

def maclaurin_sin(x, n_terms):
    return sum(((-1)**n * x**(2*n+1)) / factorial(2*n+1) for n in range(n_terms))

vec_sin = np.vectorize(maclaurin_sin)
x_val = 0.3

print(f"Approximating sin({x_val}):")
print(f"  Exact value : {np.sin(x_val):.10f}")
for n in [1, 2, 3, 4]:
    approx = maclaurin_sin(x_val, n)
    error = abs(np.sin(x_val) - approx)
    print(f"  {n} term(s)   : {approx:.10f}  |  error: {error:.2e}"

Eseguendolo, stampa i valori delle somme parziali e gli errori in corrispondenza di x = 0.3:

Esempio Python di approssimazione di Maclaurin per sin(x)

Puoi anche ispezionarlo visivamente:

Grafico dell'approssimazione di Maclaurin di sin(x)

Puoi vedere quanto bene ciascuna approssimazione segue la funzione sin(x).

Convergenza delle serie di Maclaurin

Una serie di Maclaurin non funziona sempre per ogni valore di x. Per alcune funzioni, la serie converge al valore corretto solo entro un intervallo specifico attorno a zero. Fuori da quell'intervallo, le somme parziali crescono senza limite.

Questo intervallo si chiama raggio di convergenza. Indica fino a che distanza da zero la serie rimane affidabile.

Il comportamento varia a seconda della funzione:

• eˣ, sin(x), cos(x) - convergono per tutti i valori di x. Puoi inserire qualunque numero e la serie ti darà la risposta giusta

• 1/(1-x) - converge solo quando |x| < 1. A x = 1 la funzione stessa diverge, e la serie lo riflette non convergendo in prossimità di quel punto

Pensa al raggio di convergenza come a un cerchio di fiducia centrato in zero. La serie è una buona approssimazione solo al suo interno.

Non sempre serve calcolarlo. Per le funzioni standard è un valore noto. Ma quando lavori con una funzione meno familiare, verificare la convergenza prima di affidarti a un'approssimazione di Maclaurin è una buona abitudine.

Perché le serie di Maclaurin sono importanti

Le serie di Maclaurin compaiono nel lavoro computazionale reale in matematica, fisica e machine learning.

Metodi numerici

I computer non riescono a valutare la maggior parte delle funzioni simbolicamente. Valutano polinomi. Quando una libreria calcola sin(x) o eˣ, spesso usa un'approssimazione polinomiale, derivata dallo sviluppo di Maclaurin o di Taylor della funzione. La serie ti dà una forma con cui l'hardware può davvero calcolare, in modo veloce e senza cicli infiniti.

Approssimazioni in fisica

La fisica usa le serie di Maclaurin ogni volta che una soluzione esatta è troppo complessa. L'esempio più comune è l'approssimazione per piccoli angoli: per valori piccoli di θ, sin(θ) ≈ θ. È solo il primo termine della serie di Maclaurin di sin(x). Semplifica le equazioni del pendolo, i calcoli di ottica e i modelli d'onda, trasformando problemi non lineari in problemi lineari realmente risolvibili.

Machine learning e ottimizzazione

Nel machine learning, gli sviluppi di Taylor e Maclaurin stanno dietro a molta della matematica con cui hai a che fare ogni giorno. Il gradient descent usa approssimazioni di primo ordine della funzione di perdita per decidere in che direzione muoversi. Metodi di secondo ordine come il metodo di Newton usano il termine di curvatura. Quando i ricercatori analizzano localmente il comportamento della superficie di perdita di un modello, spesso ragionano in termini di sviluppi di Taylor attorno a un punto.

La serie di Maclaurin è anche il modo in cui funzioni di attivazione come sigmoid e tanh vengono approssimate nell'analisi teorica. Svilupparle in polinomi rende più facile ragionare su gradienti e saturazione.

Conclusione

Una serie di Maclaurin fa una cosa: approssima una funzione con un polinomio centrato in zero. Un'idea semplice con una grande portata.

Dal calcolo numerico alla fisica al machine learning, lo schema è sempre lo stesso: prendi una funzione complessa, sostituiscila con un polinomio sufficientemente vicino e passa al problema reale. La matematica alla base del gradient descent, delle approssimazioni per piccoli angoli e delle funzioni di libreria integrate risale a questa stessa idea di fondo.

Gli sviluppi di eˣ, sin(x), cos(x) e 1/(1-x) vale la pena ricordarli. Compaiono abbastanza spesso che riconoscerli al volo fa davvero risparmiare tempo, soprattutto se leggi articoli di ricerca.