Deret Maclaurin: Rumus, Ekspansi, dan Contoh

Beberapa fungsi terlalu kompleks untuk dikerjakan secara langsung—jadi para matematikawan menemukan cara untuk menirunya dengan polinom.

Itulah gagasan dasar di balik deret Maclaurin. Deret ini merepresentasikan suatu fungsi sebagai jumlah tak hingga dari suku-suku polinomial, masing-masing dibangun dari turunan fungsi di nol. Hasilnya adalah sesuatu yang dapat Anda hitung, bahkan ketika fungsi aslinya terlalu kompleks.

Anda dapat memandang deret Maclaurin sebagai kasus khusus dari deret Taylor, hanya saja dipusatkan di nol. Batasan itu membuatnya lebih sederhana diturunkan dan lebih mudah diterapkan.

Dalam artikel ini, saya akan membahas rumus deret Maclaurin, menelusuri ekspansi yang paling umum, dan menunjukkan cara menafsirkan serta menerapkannya.

Apa Itu Deret Maclaurin?

Deret Maclaurin merepresentasikan suatu fungsi sebagai jumlah tak hingga dari suku-suku yang dibangun dari turunannya di nol.

Setiap suku adalah polinom—pangkat x yang diskalakan oleh nilai turunan. Saat Anda menggabungkan cukup banyak suku ini, Anda mendapatkan polinom yang berperilaku seperti fungsi asli, setidaknya di sekitar nol.

Mendekati fungsi kompleks dengan polinom adalah ide inti di balik deret Maclaurin. Polinom mudah dihitung, diturunkan, dan diintegralkan. Kebanyakan fungsi lain tidak demikian.

Deret Maclaurin vs. Deret Taylor

Deret Taylor mendekati suatu fungsi sebagai polinom tak hingga yang dipusatkan di sembarang titik a. Anda memilih titiknya, membangun deret di sekitarnya, dan mendapatkan polinom yang bekerja baik di dekat titik itu.

Deret Maclaurin hanyalah deret Taylor dengan a = 0. Itu saja perbedaannya.

Memusatkan di nol menyederhanakan perhitungan karena suku-suku polinom menjatuhkan offset (x - a) dan menjadi pangkat murni dari x. Sebagian besar fungsi standar yang akan Anda temui dalam kalkulus, fisika, dan machine learning memiliki ekspansi Maclaurin yang rapi dan terkenal sebagai akibatnya.

Perbandingan deret Taylor dan Maclaurin

Sebagai penutup bagian ini, gunakan deret Taylor ketika Anda perlu mendekati fungsi di dekat titik tertentu selain nol. Gunakan deret Maclaurin ketika nol adalah titik awal—yang sering kali terjadi.

Rumus Deret Maclaurin

Rumus deret Maclaurin mengekspresikan fungsi apa pun f(x) sebagai jumlah tak hingga:

Rumus deret Maclaurin

Jika diperluas, tampilannya seperti ini:

Rumus deret Maclaurin yang diperluas

Setiap suku memiliki tiga bagian:

• f⁽ⁿ⁾(0) - turunan ke-n dari f, dievaluasi di nol. Ini menunjukkan bagaimana fungsi berperilaku pada titik tersebut

• n! - faktorial dari n, yang menskalakan setiap suku agar deret tetap tertib saat n bertambah

• xⁿ - pangkat ke-n dari x, yang menentukan seberapa jauh dari nol setiap suku menjangkau

Suku pertama f(0) menetapkan nilai polinom sama dengan nilai fungsi di nol. Setiap suku berikutnya menambahkan koreksi—menyesuaikan kemiringan, kelengkungan, dan seterusnya—hingga polinom meniru fungsi asli sedekat yang Anda perlukan.

Singkatnya, semakin banyak suku yang Anda sertakan, semakin baik pendekatannya.

Cara Kerja Deret Maclaurin

Membangun deret Maclaurin bermuara pada satu tindakan berulang: evaluasi turunan di nol, lalu susun hasilnya menjadi polinom.

Berikut cara kerjanya, langkah demi langkah.

1. Evaluasi fungsi di nol: Masukkan x = 0 ke f(x). Ini memberi Anda suku pertama—konstanta yang menetapkan nilai awal polinom
2. Ambil turunan: Hitung f'(x), f''(x), f'''(x), dan seterusnya. Di setiap langkah, evaluasi hasilnya di nol. Setiap nilai memberi tahu Anda sesuatu tentang perilaku fungsi—kemiringannya, kelengkungannya, seberapa cepat kelengkungan berubah
3. Bentuk polinom. Ambil setiap nilai turunan, bagi dengan faktorial yang sesuai, dan kalikan dengan pangkat x yang cocok

Sekarang jumlahkan semua suku:

Cara kerja deret Maclaurin

Setiap suku memperbaiki pendekatan. Suku pertama mendapatkan nilainya. Suku kedua mendapatkan kemiringannya. Suku ketiga mendapatkan kelengkungannya. Dan seterusnya.

Anda menghentikan proses ini ketika pendekatan sudah cukup dekat untuk kebutuhan Anda—atau lanjutkan untuk presisi lebih tinggi.

Ekspansi Deret Maclaurin yang Umum

Beberapa fungsi muncul begitu sering sehingga ekspansi Maclaurinnya layak dihafal. Berikut empat yang paling sering Anda jumpai.

eˣ

Fungsi eksponensial adalah kasus paling sederhana—setiap turunan dari eˣ tetap eˣ, yang berarti setiap turunan yang dievaluasi di nol bernilai 1.

Ekspansi e^x

Koefisiennya hanyalah 1/n!. Deret ini konvergen untuk semua nilai x, yang membuatnya menjadi salah satu ekspansi paling berguna dalam praktik.

sin(x)

Fungsi sinus menghasilkan deret dengan hanya pangkat ganjil dari x, dan tandanya bergantian antara positif dan negatif.

Ekspansi sin(x)

Turunan berorde genap dari sin(x) di nol semuanya nol, sehingga suku-suku itu hilang. Yang tersisa adalah pangkat ganjil, penyebut faktorial, tanda bergantian. Seperti eˣ, deret ini konvergen untuk semua x.

cos(x)

Ekspansi cosinus adalah bayangan cermin dari sinus—hanya pangkat genap dari x yang muncul, dengan pola tanda bergantian yang sama.

Ekspansi cos(x)

Ini masuk akal karena cos(x) adalah turunan dari sin(x), dan Anda bisa mendapatkan deret ini dengan mendiferensiasikan ekspansi sin(x) suku demi suku. Suku berpangkat ganjil hilang karena alasan yang sama suku berpangkat genap hilang pada sinus—turunan di nol meniadakannya. Deret ini konvergen untuk semua x.

1 / (1 − x)

Yang satu ini memiliki pola paling sederhana di antara keempatnya: setiap koefisien bernilai 1, tanpa faktorial dan tanpa tanda bergantian.

Ekspansi 1/(1-x)

Ini adalah deret geometri, itulah sebabnya polanya tampak begitu rapi. Namun tidak seperti tiga fungsi di atas, deret ini hanya konvergen ketika |x| < 1. Jika Anda menetapkan x di luar rentang itu, suku-sukunya tumbuh tanpa batas alih-alih menyusut menuju nol.

Terakhir, untuk pembelajar visual, berikut perbandingan grafik dari keempat ekspansi deret dengan banyak suku:

Deret Maclaurin yang umum

Mendekati Fungsi Menggunakan Deret Maclaurin

Deret Maclaurin jarang memerlukan semua suku tak hingganya agar berguna. Dalam praktiknya, Anda mengambil jumlah parsial—beberapa suku pertama—dan menggunakannya sebagai pendekatan.

Semakin banyak suku yang Anda sertakan, semakin dekat jumlah parsial mengikuti fungsi asli. Jika Anda memotong pada dua suku, Anda mendapat kecocokan kasar di dekat nol. Saat Anda menambahkan beberapa lagi, pendekatannya bertahan lebih jauh. Setiap suku baru mengoreksi apa yang terlewat oleh suku sebelumnya.

Ambil sin(x) sebagai contoh konkret. Deret penuhnya adalah:

Rumus pendekatan sin(x)

Mari mendekati sin(0.3) menggunakan jumlah parsial dan melihat bagaimana masing-masing dibandingkan dengan nilai tepatnya.

• 1 suku: 0.3 - galat sekitar ~0,0045

• 2 suku: 0.3 - (0.3³/6) = 0.2955 - galat sekitar ~0,0000196

• 3 suku: menambah (0.3⁵/120) = 0.29552 - galat sekitar ~0,0000000239

Tiga suku membawa Anda ke akurasi enam angka desimal, yang seharusnya cukup. Dalam banyak kasus, Anda tidak perlu melangkah lebih jauh.

Berikut gagasan yang sama dalam Python:

import numpy as np
from math import factorial

def maclaurin_sin(x, n_terms):
    return sum(((-1)**n * x**(2*n+1)) / factorial(2*n+1) for n in range(n_terms))

vec_sin = np.vectorize(maclaurin_sin)
x_val = 0.3

print(f"Approximating sin({x_val}):")
print(f"  Exact value : {np.sin(x_val):.10f}")
for n in [1, 2, 3, 4]:
    approx = maclaurin_sin(x_val, n)
    error = abs(np.sin(x_val) - approx)
    print(f"  {n} term(s)   : {approx:.10f}  |  error: {error:.2e}"

Menjalankan ini akan mencetak nilai jumlah parsial dan galat pada x = 0.3:

Contoh Python pendekatan Maclaurin sin(x)

Anda juga dapat memeriksanya secara visual:

Grafik pendekatan Maclaurin sin(x)

Anda dapat melihat seberapa baik setiap pendekatan mengikuti fungsi sin(x).

Konvergensi Deret Maclaurin

Deret Maclaurin tidak selalu bekerja untuk setiap nilai x. Untuk beberapa fungsi, deret hanya konvergen ke nilai yang benar dalam rentang tertentu di sekitar nol. Di luar rentang itu, jumlah parsialnya tumbuh tanpa batas alih-alih menyusut.

Rentang ini disebut jari-jari konvergensi. Ini memberi tahu Anda seberapa jauh dari nol deret tetap andal.

Perilakunya berbeda-beda tergantung fungsinya:

• eˣ, sin(x), cos(x) - konvergen untuk semua nilai x. Anda dapat memasukkan angka apa pun dan deret akan memberi jawaban yang benar

• 1/(1-x) - hanya konvergen ketika |x| < 1. Pada x = 1 fungsi itu sendiri meledak, dan deret mencerminkannya dengan gagal konvergen di dekat titik tersebut

Pikirkan jari-jari konvergensi sebagai lingkaran kepercayaan yang dipusatkan di nol. Deret adalah pendekatan yang valid hanya di dalamnya.

Anda tidak selalu perlu menghitung jari-jari konvergensi. Untuk fungsi standar, nilainya sudah diketahui. Namun saat Anda bekerja dengan fungsi yang kurang familiar, memeriksa konvergensi sebelum mengandalkan pendekatan Maclaurin adalah kebiasaan yang baik.

Mengapa Deret Maclaurin Penting

Deret Maclaurin muncul dalam pekerjaan komputasi nyata di matematika, fisika, dan machine learning.

Metode numerik

Komputer tidak dapat mengevaluasi sebagian besar fungsi secara simbolik. Komputer mengevaluasi polinom. Ketika sebuah pustaka menghitung sin(x) atau eˣ, sering kali digunakan pendekatan polinomial—yang diturunkan dari ekspansi Maclaurin atau Taylor fungsi tersebut. Deret memberikan bentuk yang benar-benar dapat dihitung oleh perangkat keras, cepat dan tanpa loop tak hingga.

Pendekatan dalam fisika

Fisika menggunakan deret Maclaurin kapan pun solusi eksak terlalu kompleks untuk dikerjakan. Contoh paling umum adalah pendekatan sudut kecil: untuk nilai θ yang kecil, sin(θ) ≈ θ. Itu hanyalah suku pertama dari deret Maclaurin sin(x). Ia menyederhanakan persamaan bandul, perhitungan optik, dan model gelombang—mengubah masalah nonlinier menjadi linier yang benar-benar dapat diselesaikan.

Machine learning dan optimisasi

Dalam machine learning, ekspansi Taylor dan Maclaurin berada di balik banyak matematika yang Anda temui setiap hari. Gradient descent menggunakan pendekatan orde pertama dari fungsi rugi untuk menentukan arah langkah. Metode orde kedua seperti metode Newton menggunakan suku kelengkungan. Ketika peneliti menganalisis bagaimana permukaan rugi model berperilaku secara lokal, mereka sering berpikir dalam kerangka ekspansi Taylor di sekitar suatu titik.

Deret Maclaurin juga menjadi cara fungsi aktivasi seperti sigmoid dan tanh didekati dalam analisis teoretis. Mengekspansinya sebagai polinom memudahkan penalaran tentang gradien dan perilaku saturasi.

Kesimpulan

Deret Maclaurin melakukan satu hal: mendekati suatu fungsi sebagai polinom yang dipusatkan di nol. Itu ide sederhana dengan jangkauan luas.

Dari komputasi numerik hingga fisika hingga machine learning, polanya selalu sama: ambil fungsi kompleks, gantikan dengan polinom yang cukup dekat, dan lanjutkan ke masalah sebenarnya. Matematika di balik gradient descent, pendekatan sudut kecil, dan fungsi pustaka bawaan semuanya kembali ke gagasan inti yang sama ini.

Ekspansi untuk eˣ, sin(x), cos(x), dan 1/(1-x) layak diingat. Mereka cukup sering muncul sehingga mengenalinya sekilas menghemat waktu nyata, terutama jika Anda membaca makalah riset.