Chuỗi Maclaurin: Công thức, khai triển và ví dụ

Một số hàm quá phức tạp để làm việc trực tiếp - vì thế các nhà toán học đã tìm ra cách “giả lập” chúng bằng đa thức.

Đó là ý tưởng cơ bản đằng sau chuỗi Maclaurin. Nó biểu diễn một hàm dưới dạng tổng vô hạn các hạng tử đa thức, mỗi hạng tử được xây dựng từ các đạo hàm của hàm tại điểm 0. Kết quả là một biểu thức bạn có thể tính toán được, ngay cả khi hàm gốc quá phức tạp.

Bạn có thể xem chuỗi Maclaurin là trường hợp đặc biệt của chuỗi Taylor, chỉ khác là lấy tâm tại 0. Ràng buộc này giúp việc suy ra công thức đơn giản hơn và dễ áp dụng hơn.

Trong bài viết này, tôi sẽ trình bày công thức chuỗi Maclaurin, đi qua các khai triển phổ biến nhất, và chỉ cho bạn cách diễn giải cũng như áp dụng chúng.

Chuỗi Maclaurin là gì?

Chuỗi Maclaurin biểu diễn một hàm dưới dạng tổng vô hạn các hạng tử được xây dựng từ các đạo hàm của nó tại 0.

Mỗi hạng tử là một đa thức - một lũy thừa của x được nhân với một giá trị đạo hàm. Khi bạn kết hợp đủ nhiều hạng tử như vậy, bạn sẽ có một đa thức cư xử giống hệt hàm gốc, ít nhất là trong lân cận 0.

Xấp xỉ một hàm phức tạp bằng một đa thức là ý tưởng cốt lõi của chuỗi Maclaurin. Đa thức thì dễ tính toán, dễ lấy đạo hàm và nguyên hàm. Hầu hết các loại hàm khác thì không.

Chuỗi Maclaurin so với chuỗi Taylor

Chuỗi Taylor xấp xỉ một hàm bằng một đa thức vô hạn lấy tâm tại một điểm bất kỳ a. Bạn chọn điểm đó, xây dựng chuỗi xung quanh nó, và thu được một đa thức hoạt động tốt gần điểm đã chọn.

Chuỗi Maclaurin chỉ đơn giản là chuỗi Taylor với a = 0. Đó là điểm khác biệt duy nhất.

Lấy tâm tại 0 làm đơn giản phép toán vì các hạng tử đa thức bỏ đi phần bù (x - a) và trở thành các lũy thừa thuần của x. Hầu hết các hàm tiêu chuẩn bạn gặp trong giải tích, vật lý, và machine learning đều có các khai triển Maclaurin gọn đẹp, đã được biết rõ.

So sánh chuỗi Taylor và Maclaurin

Tóm lại, hãy dùng chuỗi Taylor khi bạn cần xấp xỉ một hàm gần một điểm cụ thể khác 0. Dùng chuỗi Maclaurin khi 0 là điểm xuất phát - điều này xảy ra khá thường xuyên.

Công thức chuỗi Maclaurin

Công thức chuỗi Maclaurin biểu diễn bất kỳ hàm f(x) nào dưới dạng một tổng vô hạn:

Công thức chuỗi Maclaurin

Khai triển ra, nó trông như sau:

Công thức chuỗi Maclaurin dạng khai triển

Mỗi hạng tử có ba phần:

• f⁽ⁿ⁾(0) - đạo hàm bậc n của f tại 0. Điều này cho thấy hàm cư xử ra sao tại điểm đó

• n! - giai thừa của n, giúp thu nhỏ từng hạng tử để chuỗi vẫn “ngoan” khi n tăng

• xⁿ - lũy thừa bậc n của x, quyết định mỗi hạng tử “vươn” xa khỏi 0 đến mức nào

Hạng tử đầu tiên f(0) đặt giá trị đa thức bằng giá trị của hàm tại 0. Mỗi hạng tử tiếp theo thêm một điều chỉnh - tinh chỉnh độ dốc, độ cong, v.v. - cho đến khi đa thức khớp với hàm gốc đủ sát theo nhu cầu của bạn.

Tóm lại, càng lấy nhiều hạng tử, xấp xỉ càng tốt.

Chuỗi Maclaurin hoạt động như thế nào

Xây dựng chuỗi Maclaurin quy về một thao tác lặp lại: tính các đạo hàm tại 0, rồi ghép các kết quả đó thành một đa thức.

Cách làm từng bước như sau.

1. Đánh giá hàm tại 0: Thay x = 0 vào f(x). Điều này cho bạn hạng tử đầu tiên - hằng số đặt giá trị khởi đầu của đa thức
2. Lấy các đạo hàm: Tính f'(x), f''(x), f'''(x), v.v. Ở mỗi bước, đánh giá kết quả tại 0. Mỗi giá trị cho bạn biết điều gì đó về hành vi của hàm - độ dốc, độ cong, tốc độ thay đổi của độ cong
3. Xây dựng đa thức: Lấy mỗi giá trị đạo hàm, chia cho giai thừa tương ứng, và nhân với lũy thừa phù hợp của x

Giờ hãy cộng tất cả các hạng tử lại với nhau:

Cách chuỗi Maclaurin hoạt động

Mỗi hạng tử cải thiện mức độ xấp xỉ. Hạng tử thứ nhất khớp giá trị. Hạng tử thứ hai khớp độ dốc. Hạng tử thứ ba khớp độ cong. Cứ thế tiếp tục.

Bạn dừng lại khi mức xấp xỉ đủ tốt cho nhu cầu - hoặc tiếp tục nếu cần độ chính xác cao hơn.

Các khai triển Maclaurin thường gặp

Một vài hàm xuất hiện thường xuyên đến mức đáng để ghi nhớ khai triển Maclaurin của chúng. Dưới đây là bốn hàm bạn sẽ gặp nhiều nhất.

eˣ

Hàm mũ là trường hợp đơn giản nhất - mọi đạo hàm của eˣ đều bằng eˣ, nghĩa là mọi đạo hàm đánh giá tại 0 đều bằng 1.

Khai triển e^x

Các hệ số chỉ đơn giản là 1/n!. Chuỗi hội tụ với mọi giá trị của x, khiến nó trở thành một trong những khai triển hữu dụng nhất trong thực tế.

sin(x)

Hàm sin tạo ra một chuỗi chỉ có các lũy thừa lẻ của x, và dấu xen kẽ giữa dương và âm.

Khai triển sin(x)

Các đạo hàm bậc chẵn của sin(x) tại 0 đều bằng 0, nên những hạng tử đó biến mất. Phần còn lại là lũy thừa bậc lẻ, mẫu là giai thừa, dấu xen kẽ. Giống như eˣ, chuỗi này hội tụ với mọi x.

cos(x)

Khai triển cos là “hình ảnh phản chiếu” của sin - chỉ có các lũy thừa chẵn của x xuất hiện, với cùng mẫu hình dấu xen kẽ.

Khai triển cos(x)

Điều này hợp lý vì cos(x) là đạo hàm của sin(x), và bạn có thể thu được chuỗi này bằng cách lấy đạo hàm từng hạng tử của khai triển sin(x). Các hạng tử bậc lẻ biến mất vì cùng lý do các hạng tử bậc chẵn biến mất trong sin - các đạo hàm tại 0 triệt tiêu chúng. Chuỗi hội tụ với mọi x.

1 / (1 − x)

Trường hợp này có mẫu hình đơn giản nhất trong bốn hàm: mọi hệ số đều bằng 1, không có giai thừa và cũng không có dấu xen kẽ.

Khai triển 1/(1-x)

Đây là một chuỗi hình học, nên mẫu hình trông rất “sạch”. Nhưng khác với ba hàm ở trên, chuỗi này chỉ hội tụ khi |x| < 1. Nếu bạn đặt x ngoài khoảng đó, các hạng tử sẽ tăng vô hạn thay vì tiến dần về 0.

Cuối cùng, dành cho người học thiên về trực quan, dưới đây là biểu đồ so sánh cả bốn khai triển với nhiều hạng tử:

Các chuỗi Maclaurin thường gặp

Xấp xỉ hàm bằng chuỗi Maclaurin

Chuỗi Maclaurin hiếm khi cần đến toàn bộ vô số hạng tử để hữu ích. Trên thực tế, bạn dùng một tổng riêng phần - vài hạng tử đầu - và coi đó là xấp xỉ.

Càng lấy nhiều hạng tử, tổng riêng phần càng bám sát hàm gốc. Nếu cắt ở hai hạng tử, bạn được một khớp gần đúng quanh 0. Khi thêm vài hạng tử nữa, xấp xỉ giữ được độ chính xác ở xa hơn. Mỗi hạng tử mới sửa những gì các hạng tử trước bỏ lỡ.

Lấy sin(x) làm ví dụ cụ thể. Chuỗi đầy đủ là:

Công thức xấp xỉ sin(x)

Hãy xấp xỉ sin(0.3) bằng các tổng riêng phần và xem mỗi tổng so với giá trị chính xác như thế nào.

• 1 hạng tử: 0.3 - sai số khoảng ~0.0045

• 2 hạng tử: 0.3 - (0.3³/6) = 0.2955 - sai số khoảng ~0.0000196

• 3 hạng tử: cộng thêm (0.3⁵/120) = 0.29552 - sai số khoảng ~0.0000000239

Ba hạng tử cho độ chính xác đến 6 chữ số thập phân, như vậy là đủ. Trong hầu hết trường hợp, bạn không cần đi xa hơn.

Đây là cùng ý tưởng đó trong Python:

import numpy as np
from math import factorial

def maclaurin_sin(x, n_terms):
    return sum(((-1)**n * x**(2*n+1)) / factorial(2*n+1) for n in range(n_terms))

vec_sin = np.vectorize(maclaurin_sin)
x_val = 0.3

print(f"Approximating sin({x_val}):")
print(f"  Exact value : {np.sin(x_val):.10f}")
for n in [1, 2, 3, 4]:
    approx = maclaurin_sin(x_val, n)
    error = abs(np.sin(x_val) - approx)
    print(f"  {n} term(s)   : {approx:.10f}  |  error: {error:.2e}"

Chạy đoạn mã này sẽ in ra các giá trị tổng riêng phần và sai số tại x = 0.3:

Ví dụ Python xấp xỉ chuỗi Maclaurin của sin(x)

Bạn cũng có thể quan sát trực quan như sau:

Biểu đồ xấp xỉ chuỗi Maclaurin của sin(x)

Bạn có thể thấy mỗi mức xấp xỉ bám theo hàm sin(x) tốt đến mức nào.

Sự hội tụ của chuỗi Maclaurin

Chuỗi Maclaurin không phải lúc nào cũng hoạt động với mọi giá trị x. Với một số hàm, chuỗi chỉ hội tụ đến giá trị đúng trong một khoảng cụ thể quanh 0. Ngoài khoảng đó, các tổng riêng phần sẽ tăng vô hạn thay vì co lại.

Khoảng này được gọi là bán kính hội tụ. Nó cho biết chuỗi đáng tin cậy đến mức nào khi rời xa 0.

Hành vi thay đổi tùy theo hàm:

• eˣ, sin(x), cos(x) - hội tụ với mọi giá trị x. Bạn có thể thay bất kỳ số nào và chuỗi sẽ cho ra đáp án đúng

• 1/(1-x) - chỉ hội tụ khi |x| < 1. Tại x = 1 bản thân hàm bị “nổ”, và chuỗi phản ánh điều đó bằng việc không hội tụ gần điểm này

Hãy coi bán kính hội tụ như một “vòng tròn tin cậy” lấy tâm tại 0. Chuỗi chỉ là xấp xỉ hợp lệ bên trong đó.

Bạn không phải lúc nào cũng cần tính bán kính hội tụ. Với các hàm tiêu chuẩn, giá trị này đã được biết. Nhưng khi làm việc với một hàm ít quen thuộc hơn, kiểm tra hội tụ trước khi dựa vào xấp xỉ Maclaurin là một thói quen tốt.

Vì sao chuỗi Maclaurin quan trọng

Chuỗi Maclaurin xuất hiện trong công việc tính toán thực tế ở toán học, vật lý và machine learning.

Phương pháp số

Máy tính không thể tính hầu hết các hàm một cách ký hiệu. Chúng tính các đa thức. Khi một thư viện tính sin(x) hay eˣ, thường là dùng một xấp xỉ đa thức - được suy ra từ khai triển Maclaurin hoặc Taylor của hàm. Chuỗi đưa ra một dạng mà phần cứng có thể tính được, nhanh và không rơi vào vòng lặp vô hạn.

Xấp xỉ trong vật lý

Vật lý dùng chuỗi Maclaurin bất cứ khi nào nghiệm chính xác quá phức tạp để thao tác. Ví dụ phổ biến nhất là xấp xỉ góc nhỏ: với θ nhỏ, sin(θ) ≈ θ. Đó chỉ là hạng tử đầu tiên của chuỗi Maclaurin cho sin(x). Nó làm đơn giản các phương trình con lắc, tính toán quang học, và mô hình sóng - biến các bài toán phi tuyến thành tuyến tính để có thể giải được.

Machine learning và tối ưu hóa

Trong machine learning, các khai triển Taylor và Maclaurin đứng sau nhiều phép toán bạn tương tác hằng ngày. Gradient descent dùng xấp xỉ bậc nhất của hàm mất mát để quyết định hướng bước. Các phương pháp bậc hai như Newton dùng đến thành phần độ cong. Khi các nhà nghiên cứu phân tích cách bề mặt mất mát của mô hình cư xử cục bộ, họ thường suy nghĩ theo các khai triển Taylor quanh một điểm.

Chuỗi Maclaurin cũng được dùng để xấp xỉ các hàm kích hoạt như sigmoid và tanh trong phân tích lý thuyết. Khai triển chúng thành đa thức giúp dễ suy luận về gradient và hiện tượng bão hòa.

Kết luận

Chuỗi Maclaurin làm một việc: xấp xỉ một hàm bằng đa thức lấy tâm tại 0. Một ý tưởng đơn giản nhưng có sức ảnh hưởng rộng.

Từ tính toán số đến vật lý đến machine learning, mẫu hình luôn giống nhau: lấy một hàm phức tạp, thay bằng một đa thức đủ gần, và tập trung vào bài toán thực sự. Toán học đằng sau gradient descent, xấp xỉ góc nhỏ, và các hàm dựng sẵn trong thư viện đều quay về cùng một ý tưởng cốt lõi này.

Các khai triển cho eˣ, sin(x), cos(x), và 1/(1-x) rất đáng ghi nhớ. Chúng xuất hiện đủ thường xuyên để việc nhận ra ngay bằng mắt tiết kiệm được thời gian thực sự, đặc biệt khi bạn đọc các bài báo nghiên cứu.