Maclaurin-reeks: formule, ontwikkeling en voorbeelden

Sommige functies zijn te complex om rechtstreeks mee te werken - dus bedachten wiskundigen hoe je ze kunt nabootsen met polynomen.

Dat is het basisidee achter een Maclaurin-reeks. Die stelt een functie voor als een oneindige som van polynomiale termen, elk opgebouwd uit de afgeleiden van de functie in nul. Het resultaat is iets waar je mee kunt rekenen, zelfs als de oorspronkelijke functie te complex is.

Je kunt een Maclaurin-reeks zien als een speciaal geval van de Taylor-reeks, maar dan gecentreerd in nul. Die beperking maakt het eenvoudiger om af te leiden en makkelijker toe te passen.

In dit artikel behandel ik de Maclaurin-formule, loop ik door de meest voorkomende ontwikkelingen en laat ik zien hoe je ze interpreteert en toepast.

Wat is een Maclaurin-reeks?

Een Maclaurin-reeks stelt een functie voor als een oneindige som van termen die zijn opgebouwd uit haar afgeleiden in nul.

Elke term is een polynoom - een macht van x geschaald met een afgeleidewaarde. Als je genoeg van deze termen combineert, krijg je een polynoom dat zich gedraagt als de oorspronkelijke functie, in elk geval in de buurt van nul.

Een complexe functie benaderen met een polynoom is de kern van de Maclaurin-reeks. Polynomen zijn makkelijk te berekenen, te differentiëren en te integreren. De meeste andere functies niet.

Maclaurin-reeks vs. Taylor-reeks

Een Taylor-reeks benadert een functie als een oneindig polynoom gecentreerd in een willekeurig punt a. Je kiest het punt, bouwt de reeks eromheen en krijgt een polynoom dat goed werkt in de buurt van dat punt.

Een Maclaurin-reeks is gewoon een Taylor-reeks met a = 0. Dat is het enige verschil.

Centreren in nul vereenvoudigt de wiskunde omdat de polynomiale termen de (x - a)-verschuiving laten vallen en gewone machten van x worden. De meeste standaardfuncties waarmee je in analyse, natuurkunde en machine learning werkt, hebben daardoor nette, bekende Maclaurin-ontwikkelingen.

Vergelijking Taylor- en Maclaurin-reeks

Kort samengevat: gebruik een Taylor-reeks als je een functie wilt benaderen in de buurt van een specifiek punt anders dan nul. Gebruik een Maclaurin-reeks als nul het startpunt is - wat vaak zo is.

Formule van de Maclaurin-reeks

De formule van de Maclaurin-reeks drukt elke functie f(x) uit als een oneindige som:

Formule van de Maclaurin-reeks

Uitgeschreven ziet het er zo uit:

Uitgeschreven formule van de Maclaurin-reeks

Elke term heeft drie delen:

• f⁽ⁿ⁾(0) - de n-de afgeleide van f, geëvalueerd in nul. Dit laat zien hoe de functie zich op dat punt gedraagt

• n! - de faculteit van n, die elke term schaalt zodat de reeks netjes blijft als n groeit

• xⁿ - de n-de macht van x, die bepaalt hoe ver van nul elke term reikt

De eerste term f(0) zet het polynoom op de functiewaarde in nul. Elke volgende term voegt een correctie toe - die de helling, de kromming, enzovoort aanpast - totdat het polynoom zo dicht mogelijk bij de oorspronkelijke functie komt als je nodig hebt.

Kort gezegd: hoe meer termen je opneemt, hoe beter de benadering.

Hoe de Maclaurin-reeks werkt

Een Maclaurin-reeks bouwen komt neer op één herhaalde handeling: evalueer afgeleiden in nul en stapel de resultaten tot een polynoom.

Zo werkt het, stap voor stap.

1. Evalueer de functie in nul: vul x = 0 in in f(x). Dit geeft je de eerste term - de constante die de beginwaarde van het polynoom bepaalt
2. Neem de afgeleiden: bereken f'(x), f''(x), f'''(x), enzovoort. Evalueer bij elke stap het resultaat in nul. Elke waarde vertelt je iets over het gedrag van de functie - de helling, de kromming, hoe snel de kromming verandert
3. Bouw het polynoom. Neem elke afgeleidewaarde, deel die door de overeenkomstige faculteit en vermenigvuldig met de bijbehorende macht van x

Tel nu alle termen bij elkaar op:

Hoe de Maclaurin-reeks werkt

Elke term verbetert de benadering. De eerste term pakt de waarde. De tweede de helling. De derde de kromming. En zo verder.

Je stopt dit proces wanneer de benadering nauwkeurig genoeg is voor jouw doel - of gaat door voor meer precisie.

Veelvoorkomende Maclaurin-ontwikkelingen

Een paar functies komen zo vaak terug dat hun Maclaurin-ontwikkeling het onthouden waard is. Dit zijn de vier die je het meest ziet.

eˣ

De exponentiële functie is het eenvoudigste geval - elke afgeleide van eˣ is nog steeds eˣ, wat betekent dat elke afgeleide in nul gelijk is aan 1.

ontwikkeling van e^x

De coëfficiënten zijn gewoon 1/n!. De reeks convergeert voor alle waarden van x, wat het in de praktijk een van de meest bruikbare ontwikkelingen maakt.

sin(x)

De sinusfunctie levert een reeks op met alleen oneven machten van x, en de tekens wisselen af tussen positief en negatief.

ontwikkeling van sin(x)

De afgeleiden van even orde van sin(x) in nul zijn allemaal nul, dus die termen vallen weg. Wat overblijft zijn oneven machten, faculteiten in de noemer, afwisselende tekens. Net als bij eˣ convergeert deze reeks voor alle x.

cos(x)

De cosinus-ontwikkeling is het spiegelbeeld van sinus - er verschijnen alleen even machten van x, met hetzelfde patroon van afwisselende tekens.

ontwikkeling van cos(x)

Dat is logisch, want cos(x) is de afgeleide van sin(x), en je krijgt deze reeks door de sin(x)-ontwikkeling term voor term te differentiëren. De termen met oneven machten verdwijnen om dezelfde reden als de termen met even machten bij sinus verdwijnen - de afgeleiden in nul heffen ze op. De reeks convergeert voor alle x.

1 / (1 − x)

Deze heeft het eenvoudigste patroon van de vier: elke coëfficiënt is gewoon 1, zonder faculteiten en zonder afwisselende tekens.

ontwikkeling van 1/(1-x)

Het is een meetkundige reeks, daarom ziet het patroon er zo strak uit. Maar in tegenstelling tot de drie functies hierboven, convergeert deze reeks alleen als |x| < 1. Zet je x buiten dat bereik, dan groeien de termen onbegrensd in plaats van naar nul te krimpen.

Tot slot, voor de visuele lezers, hier is een grafische vergelijking van alle vier de reeksen met meerdere termen:

Veelvoorkomende Maclaurin-reeksen

Functies benaderen met Maclaurin-reeksen

Een Maclaurin-reeks heeft zelden al zijn oneindige termen nodig om nuttig te zijn. In de praktijk neem je een deelsom - de eerste paar termen - en gebruik je die als benadering.

Hoe meer termen je opneemt, hoe dichter de deelsom de oorspronkelijke functie volgt. Kap je af op twee termen, dan krijg je een ruwe fit in de buurt van nul. Voeg je er een paar toe, dan houdt de benadering verder van nul stand. Elke nieuwe term corrigeert wat de vorige misten.

Neem sin(x) als concreet voorbeeld. De volledige reeks is:

formule voor benadering van sin(x)

Laten we sin(0.3) benaderen met deelsommen en kijken hoe elk zich verhoudt tot de exacte waarde.

• 1 term: 0.3 - fout van ~0,0045

• 2 termen: 0.3 - (0.3³/6) = 0.2955 - fout van ~0,0000196

• 3 termen: voegt toe (0.3⁵/120) = 0.29552 - fout van ~0,0000000239

Drie termen brengen je tot op zes decimalen nauwkeurig, wat meestal genoeg is. In de meeste gevallen hoef je niet verder te gaan dan dat.

Hier hetzelfde idee in Python:

import numpy as np
from math import factorial

def maclaurin_sin(x, n_terms):
    return sum(((-1)**n * x**(2*n+1)) / factorial(2*n+1) for n in range(n_terms))

vec_sin = np.vectorize(maclaurin_sin)
x_val = 0.3

print(f"Approximating sin({x_val}):")
print(f"  Exact value : {np.sin(x_val):.10f}")
for n in [1, 2, 3, 4]:
    approx = maclaurin_sin(x_val, n)
    error = abs(np.sin(x_val) - approx)
    print(f"  {n} term(s)   : {approx:.10f}  |  error: {error:.2e}"

Dit print de deelsommen en fouten bij x = 0.3:

Python-voorbeeld van Maclaurin-benadering van sin(x)

Je kunt dit ook visueel bekijken:

Grafiek van Maclaurin-benadering van sin(x)

Je ziet precies hoe goed elke benadering de functie sin(x) volgt.

Convergentie van Maclaurin-reeksen

Een Maclaurin-reeks werkt niet altijd voor elke waarde van x. Voor sommige functies convergeert de reeks alleen binnen een specifiek bereik rond nul naar de juiste waarde. Buiten dat bereik groeien de deelsommen juist onbegrensd.

Dit bereik heet de convergentiestraal. Die vertelt je hoe ver van nul de reeks betrouwbaar blijft.

Het gedrag verschilt per functie:

• eˣ, sin(x), cos(x) - convergeren voor alle waarden van x. Je kunt elk getal invullen en de reeks geeft je het juiste antwoord

• 1/(1-x) - convergeert alleen als |x| < 1. Bij x = 1 loopt de functie zelf uit de hand, en de reeks weerspiegelt dat door niet te convergeren in de buurt van dat punt

Zie de convergentiestraal als een cirkel van vertrouwen met middelpunt nul. De reeks is alleen daarbinnen een geldige benadering.

Je hoeft de convergentiestraal niet altijd uit te rekenen. Voor de standaardfuncties is die bekend. Maar werk je met een minder bekende functie, dan is het een goede gewoonte om de convergentie te checken voordat je op een Maclaurin-benadering vertrouwt.

Waarom Maclaurin-reeksen ertoe doen

Maclaurin-reeksen duiken op in echt rekenwerk in wiskunde, natuurkunde en machine learning.

Numerieke methoden

Computers kunnen de meeste functies niet symbolisch evalueren. Ze evalueren polynomen. Wanneer een bibliotheek sin(x) of eˣ berekent, gebruikt die vaak een polynomiale benadering - afgeleid uit de Maclaurin- of Taylor-ontwikkeling van de functie. De reeks geeft je een vorm waar hardware echt mee kan rekenen, snel en zonder eindeloze lussen.

Natuurkundige benaderingen

De natuurkunde gebruikt Maclaurin-reeksen wanneer een exacte oplossing te complex is om mee te werken. Het meest voorkomende voorbeeld is de kleinhoekbenadering: voor kleine waarden van θ geldt sin(θ) ≈ θ. Dat is gewoon de eerste term van de Maclaurin-reeks van sin(x). Het vereenvoudigt slingervergelijkingen, optische berekeningen en golfmodellen - en maakt niet-lineaire problemen lineair en dus oplosbaar.

Machine learning en optimalisatie

In machine learning liggen Taylor- en Maclaurin-ontwikkelingen ten grondslag aan veel van de wiskunde waar je dagelijks mee werkt. Gradient descent gebruikt eerstegraadsbenaderingen van de verliesfunctie om te bepalen welke kant je op stapt. Tweedegraads methoden zoals de methode van Newton gebruiken de krommingsterm. Wanneer onderzoekers analyseren hoe het verlieslandschap van een model zich lokaal gedraagt, denken ze vaak in Taylor-ontwikkelingen rond een punt.

De Maclaurin-reeks is ook hoe activatiefuncties zoals sigmoid en tanh in theoretische analyses worden benaderd. Ze als polynomen ontwikkelen maakt het makkelijker om over gradiënten en verzadigingsgedrag te redeneren.

Conclusie

Een Maclaurin-reeks doet één ding: ze benadert een functie als een polynoom gecentreerd in nul. Dat is een simpel idee met een groot bereik.

Van numeriek rekenen tot natuurkunde en machine learning is het patroon steeds hetzelfde: neem een complexe functie, vervang die door een polynoom dat dicht genoeg in de buurt komt, en ga verder met het echte probleem. De wiskunde achter gradient descent, kleinhoekbenaderingen en ingebouwde bibliotheekfuncties gaat terug op ditzelfde kernidee.

De ontwikkelingen voor eˣ, sin(x), cos(x) en 1/(1-x) zijn het onthouden waard. Ze komen vaak genoeg terug dat ze herkennen je echt tijd bespaart, zeker als je onderzoekspapers leest.