什么是线性回归？
线性回归是最简单的机器学习技术之一。它通过一个或多个自变量来预测因变量的取值。
例如，线性回归可用于根据房屋面积预测房价，或根据身高预测体重。线性回归模型主要分为两类：简单线性回归和多元线性回归。
- 简单线性回归关注一个因变量与一个自变量之间关系的建模。
- 多元线性回归使用多个自变量来预测因变量。
Image by OpenAI
上图展示的是简单线性回归，建模房屋面积（自变量）与房价（因变量）之间的关系。从可视化中可见，房子越大，价格越高。
回归线的方程为：
y = mx + c + ⍷
如果这个公式看起来很熟悉，那是因为您可能在学校学过 y = mx + c 是直线方程。在该方程中：
- Y 是因变量
- X 是自变量
- M 是斜率，量化自变量每增加一个单位时因变量的变化量。
- C 是截距，表示当 x 为 0 时 y 的取值。
⍷ 表示残差或误差项。这是实际值与回归预测值之间的差异。它将回归线与纯粹确定性的直线区分开来，使 x 和 y 之间的关系不再完美可预测。
想要更系统的介绍，请阅读我们的文章，了解线性回归基础。
为什么用 Excel 做线性回归？
以下因素使 Excel 成为执行线性回归的高效工具：
1. 统一的平台
据 Statista 报道，截至 2024 年，仅在美国就有超过 731,000 家公司在使用 Excel，全球范围更是数不胜数。各层级管理者都在用 Excel 进行数据管理与报告。
在 Excel 中创建线性回归等预测模型，能将报告与预测建模整合到同一平台。这样组织就能精简流程，而无需在编程环境与 Excel 表格之间频繁切换。
2. 易于上手
如果您是数据行业的初学者，想到要构建预测模型可能会因为涉及编码而感到畏惧。Excel 简化了这个过程，让您在熟悉的界面中工作。使用 Excel，构建线性回归模型只需点几下即可完成。
3. 报告与可视化
Excel 具有强大的可视化能力，您可以绘制不同变量之间的关系，更好地理解数据。此外，它还能简化报告制作，便于将可视化嵌入 PowerPoint 中，与相关方高效沟通。
如何在 Excel 中实现线性回归
在开始本教程前，请从这个 GitHub 仓库下载数据集。该数据集由 OpenAI 专为教学目的创建。掌握基本的表格操作（如输入数据、应用简单公式、在工作表间导航）将有助于您更好地跟进本教程。
步骤 1：启用 Excel 的“数据分析工具库”
首先，我们需要在 Excel 中启用“数据分析工具库”。这是一个提供多种数据分析工具的 Excel 外接程序，其中就包含我们将用于线性回归的工具。
具体操作：先打开 Excel 文件，转到文件 -> 选项。在“选项”对话框中，选择加载项 -> Excel 加载项，然后点击转到：
在加载项对话框中，勾选分析工具库选项并点击确定。
现在，您应能在“数据”选项卡中看到数据分析工具。
步骤 2：在 Excel 中执行线性回归
启用“数据分析工具库”后，我们就可以对数据集执行线性回归。打开冰淇淋销售数据集，转到数据选项卡。在分析组中，点击数据分析。
然后，从分析工具列表中选择回归并点击“确定”。
在回归对话框中，“输入 Y 区间”选择包含冰淇淋销售数据的列；“输入 X 区间”选择包含气温和价格数据的列。确保勾选“标签”，这样 Excel 能识别表头并将其余行视为数值数据。在“输出选项”部分，选择“新工作表”，以便在新工作表中查看结果。
然后点击确定，对数据集运行回归分析。
步骤 3：解读结果
执行回归后，您会在 Excel 文件中看到一个新工作表自动出现，展示类似如下的一系列结果表格：
回归输出结果被拆分为多个部分：回归统计、ANOVA、系数、标准误、t 统计量、P 值以及置信区间。
我们逐一详细看看这些组成部分：
1. 汇总统计
Excel 会在回归分析结果中报告以下汇总统计量：
Multiple R（复相关系数）
这是衡量变量间线性关系强度与方向的相关系数，范围为 -1 到 1。数值接近 -1 或 1 表明关系强，接近 0 则表明几乎无相关。
在我们的分析中，相关系数约为 0.65，显示因变量（冰淇淋销量）与自变量（价格与气温）之间存在中等程度的正相关。
R Square（R 平方）
R2 是衡量数据与回归模型拟合程度的统计量。它是复相关系数（Multiple R）的平方，表示因变量方差中可由自变量解释的比例。
R2 介于 0 与 1 之间，越接近 1 表明模型拟合越好。我们的 R2 约为 0.419，意味着约有 41.9% 的冰淇淋销量方差可由该模型解释。
Adjusted R Square（调整后 R 平方）
这是根据模型中预测变量个数进行调整的 R 平方。在比较包含不同数量预测变量的模型时，它通常更合适。在我们的案例中，调整后 R2 为 0.418，与 R2 非常接近，表明所包含的自变量（气温与价格）与模型相关，且未带来较大的惩罚。
Standard Error（标准误）
标准误衡量观测值到回归线的平均距离。标准误越小越好，这意味着回归线对数据的拟合更紧密。
在我们的案例中，标准误约为 98.05，表示实际销量与预测销量的偏差平均约为 98.05 个单位。
Observations（观测数）
指数据集中被分析的数据点（行）的总数，不包括表头行。
2. ANOVA（方差分析）
ANOVA 即方差分析。它从以下方面提供关于回归模型内部变异程度的信息：
自由度（df）
表示最终计算中可自由变化的值的数量。在 ANOVA 中，“Regression”的 df 表示模型中自变量的个数，这里为 2；“Residual”的 df 等于总观测数减去自变量个数再减 1。在我们的案例中为 997。
平方和（SS）
用于量化变异。“回归平方和（Regression SS）”度量可被模型解释的因变量变异；“残差平方和（Residual SS）”表示未被解释的变异。
均方（MS）
由平方和（SS）除以自由度（df）得到。
F 统计量（F）
用于判断模型整体显著性。F 值越大，说明模型对数据的拟合越好。
显著性 F（Significance F）
这是与 F 统计量相关的 P 值。非常小的 P 值（小于 0.05）表明您的模型相较于不含自变量的模型有更好的拟合。在我们的案例中，显著性 F 小于 0.05，表明模型对数据拟合良好。
3. 系数（Coefficients）
系数表示自变量每变化一个单位时，因变量的预期变化量。
气温的系数表明每当气温上升一个单位，销量大约增加 9.66 个单位。相反，价格的系数表明价格每上升一个单位，销量大约减少 37.69 个单位。
4. 标准误（Standard Error）
标准误衡量观测值与回归线之间的平均距离。标准误越低，模型越好。
5. t 统计量（t Stat）
t 统计量等于系数除以其标准误。t 值越大，说明该系数显著不同于零，即对因变量影响更大。
6. P 值（P-value）
P 值表示在原假设为真（即某个自变量的系数为 0）的前提下，观察到同等或更极端 t 统计量的概率。
通俗来说，t 值越大、P 值越小，反对原假设的证据就越强，从而支持自变量（价格与气温）对因变量（冰淇淋销量）具有统计显著影响的结论。
7. 置信区间（Lower 95% 和 Upper 95%）
置信区间给出了在 95% 置信水平下，自变量真实系数可能落入的上下限。由于价格与气温的置信区间均不包含 0，这些系数在预测冰淇淋销量时具有统计显著性。
如何在 Excel 中可视化线性回归
可视化两个变量之间的关系能大幅提升您对数据集的理解。虽然 Excel 的“数据分析工具库”提供了详尽的汇总统计，但图形化展示能立即显示变量关系的强度与方向。
创建带趋势线的散点图是可视化这种关系的有效方式，而且不到五分钟就能完成。该可视化能让您一眼看到一个变量如何影响另一个变量。
以下是可视化“冰淇淋销量”与“气温”关系的步骤：
1. 插入散点图
首先，选中包含“冰淇淋销量”和“气温”变量的单元格。然后转到“插入”选项卡，点击“散点图”图标：
您将看到一个基础散点图，如下所示：
2. 重命名图表与坐标轴
现在，让我们将图表重命名，以准确描述我们正在可视化的关系。点击图表标题，将其改为“冰淇淋销量与气温的关系”。
接着，要更改 x 轴标签，转到“图表设计”。在“添加图表元素”的下拉菜单中，选择“坐标轴标题” -> “主要水平坐标轴”：
点击出现的默认坐标轴标题，输入“冰淇淋销量”，以准确标注该轴。同样方式设置 y 轴，选择“主要垂直坐标轴”，并将坐标轴标题替换为“气温”：
3. 添加趋势线
请注意，虽然散点图揭示了气温与冰淇淋销量之间关系的大致方向，但数据点分布较为分散。为更好地概括这种关系（包括整体方向与斜率），我们加入趋势线或最佳拟合线。
为该图添加趋势线，只需点击散点图上的任意数据点，此操作会选中图中的所有数据点。然后右键单击选中的数据点，在出现的菜单中选择“添加趋势线”：
您会在图中看到一条虚线，展示变量之间关系的大致方向：
4. 设置趋势线格式
目前趋势线较为浅淡。我们调整其格式以提升可见性。
首先点击趋势线以选中它。Excel 窗口右侧会出现“设置趋势线格式”任务窗格。在该窗格中选择“填充与线条”。然后将趋势线宽度增加到3 磅，并将颜色更改为红色：
至此，我们已成功创建了一个可视化图表，更好地理解冰淇淋销量与气温之间的关系。
仅通过观察上图，我们就能看出气温与冰淇淋销量呈正相关。随着气温上升，冰淇淋销量似乎也会增加，这表明气温是冰淇淋销量的重要预测变量。
请注意，这一观察与上一节回归分析结果所得出的结论一致。
结语
至此，您已经清楚掌握如何在 Excel 中执行线性回归、如何解读多种统计量来评估模型拟合度，以及如何使用散点图与趋势线来可视化回归分析。
但这还不是终点。
不夸张地说，我们只是触及了预测建模的皮毛，还有很多内容值得深入学习。以下是一些可帮助您加深理解的潜在后续步骤。
实践
练习本文所学概念，巩固记忆。比如，使用本教程中的数据集绘制散点图，展示冰淇淋销量与价格之间的关系。
您还可以更进一步，学习如何在趋势线上显示回归方程。
精通 Excel
正如本文前面所述，Excel 在众多组织中被广泛使用，因此需求量很大。扎实掌握 Excel 能显著提升您在各行业的就业机会，因为它的应用极为广泛。
如果您在跟随本教程时遇到困难，或对 Excel 公式还不够熟悉，建议报名我们的Excel 基础学习路径。该课程将向您介绍多种数据可视化技巧、数据透视表，以及 COUNTIF 与嵌套 IF 等逻辑函数，助您迈向 Excel 精通之路。
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什么是线性回归？
线性回归是最简单的机器学习技术之一。它通过一个或多个自变量来预测因变量的取值。
例如，线性回归可用于根据房屋面积预测房价，或根据身高预测体重。线性回归模型主要分为两类：简单线性回归和多元线性回归。
Image by OpenAI
上图展示的是简单线性回归，建模房屋面积（自变量）与房价（因变量）之间的关系。从可视化中可见，房子越大，价格越高。
回归线的方程为：
y = mx + c + ⍷
如果这个公式看起来很熟悉，那是因为您可能在学校学过 y = mx + c 是直线方程。在该方程中：
⍷ 表示残差或误差项。这是实际值与回归预测值之间的差异。它将回归线与纯粹确定性的直线区分开来，使 x 和 y 之间的关系不再完美可预测。
想要更系统的介绍，请阅读我们的文章，了解线性回归基础。
为什么用 Excel 做线性回归？
以下因素使 Excel 成为执行线性回归的高效工具：
1. 统一的平台
据 Statista 报道，截至 2024 年，仅在美国就有超过 731,000 家公司在使用 Excel，全球范围更是数不胜数。各层级管理者都在用 Excel 进行数据管理与报告。
在 Excel 中创建线性回归等预测模型，能将报告与预测建模整合到同一平台。这样组织就能精简流程，而无需在编程环境与 Excel 表格之间频繁切换。
2. 易于上手
如果您是数据行业的初学者，想到要构建预测模型可能会因为涉及编码而感到畏惧。Excel 简化了这个过程，让您在熟悉的界面中工作。使用 Excel，构建线性回归模型只需点几下即可完成。
3. 报告与可视化
Excel 具有强大的可视化能力，您可以绘制不同变量之间的关系，更好地理解数据。此外，它还能简化报告制作，便于将可视化嵌入 PowerPoint 中，与相关方高效沟通。
如何在 Excel 中实现线性回归
在开始本教程前，请从这个 GitHub 仓库下载数据集。该数据集由 OpenAI 专为教学目的创建。掌握基本的表格操作（如输入数据、应用简单公式、在工作表间导航）将有助于您更好地跟进本教程。
步骤 1：启用 Excel 的“数据分析工具库”
首先，我们需要在 Excel 中启用“数据分析工具库”。这是一个提供多种数据分析工具的 Excel 外接程序，其中就包含我们将用于线性回归的工具。
具体操作：先打开 Excel 文件，转到文件 -> 选项。在“选项”对话框中，选择加载项 -> Excel 加载项，然后点击转到：
在加载项对话框中，勾选分析工具库选项并点击确定。
现在，您应能在“数据”选项卡中看到数据分析工具。
步骤 2：在 Excel 中执行线性回归
启用“数据分析工具库”后，我们就可以对数据集执行线性回归。打开冰淇淋销售数据集，转到数据选项卡。在分析组中，点击数据分析。
然后，从分析工具列表中选择回归并点击“确定”。
在回归对话框中，“输入 Y 区间”选择包含冰淇淋销售数据的列；“输入 X 区间”选择包含气温和价格数据的列。确保勾选“标签”，这样 Excel 能识别表头并将其余行视为数值数据。在“输出选项”部分，选择“新工作表”，以便在新工作表中查看结果。
然后点击确定，对数据集运行回归分析。
步骤 3：解读结果
执行回归后，您会在 Excel 文件中看到一个新工作表自动出现，展示类似如下的一系列结果表格：
回归输出结果被拆分为多个部分：回归统计、ANOVA、系数、标准误、t 统计量、P 值以及置信区间。
我们逐一详细看看这些组成部分：
1. 汇总统计
Excel 会在回归分析结果中报告以下汇总统计量：
Multiple R（复相关系数）
这是衡量变量间线性关系强度与方向的相关系数，范围为 -1 到 1。数值接近 -1 或 1 表明关系强，接近 0 则表明几乎无相关。
在我们的分析中，相关系数约为 0.65，显示因变量（冰淇淋销量）与自变量（价格与气温）之间存在中等程度的正相关。
R Square（R 平方）
R2 是衡量数据与回归模型拟合程度的统计量。它是复相关系数（Multiple R）的平方，表示因变量方差中可由自变量解释的比例。
R2 介于 0 与 1 之间，越接近 1 表明模型拟合越好。我们的 R2 约为 0.419，意味着约有 41.9% 的冰淇淋销量方差可由该模型解释。
Adjusted R Square（调整后 R 平方）
这是根据模型中预测变量个数进行调整的 R 平方。在比较包含不同数量预测变量的模型时，它通常更合适。在我们的案例中，调整后 R2 为 0.418，与 R2 非常接近，表明所包含的自变量（气温与价格）与模型相关，且未带来较大的惩罚。
Standard Error（标准误）
标准误衡量观测值到回归线的平均距离。标准误越小越好，这意味着回归线对数据的拟合更紧密。
在我们的案例中，标准误约为 98.05，表示实际销量与预测销量的偏差平均约为 98.05 个单位。
Observations（观测数）
指数据集中被分析的数据点（行）的总数，不包括表头行。
2. ANOVA（方差分析）
ANOVA 即方差分析。它从以下方面提供关于回归模型内部变异程度的信息：
自由度（df）
表示最终计算中可自由变化的值的数量。在 ANOVA 中，“Regression”的 df 表示模型中自变量的个数，这里为 2；“Residual”的 df 等于总观测数减去自变量个数再减 1。在我们的案例中为 997。
平方和（SS）
用于量化变异。“回归平方和（Regression SS）”度量可被模型解释的因变量变异；“残差平方和（Residual SS）”表示未被解释的变异。
均方（MS）
由平方和（SS）除以自由度（df）得到。
F 统计量（F）
用于判断模型整体显著性。F 值越大，说明模型对数据的拟合越好。
显著性 F（Significance F）
这是与 F 统计量相关的 P 值。非常小的 P 值（小于 0.05）表明您的模型相较于不含自变量的模型有更好的拟合。在我们的案例中，显著性 F 小于 0.05，表明模型对数据拟合良好。
3. 系数（Coefficients）
系数表示自变量每变化一个单位时，因变量的预期变化量。
气温的系数表明每当气温上升一个单位，销量大约增加 9.66 个单位。相反，价格的系数表明价格每上升一个单位，销量大约减少 37.69 个单位。
4. 标准误（Standard Error）
标准误衡量观测值与回归线之间的平均距离。标准误越低，模型越好。
5. t 统计量（t Stat）
t 统计量等于系数除以其标准误。t 值越大，说明该系数显著不同于零，即对因变量影响更大。
6. P 值（P-value）
P 值表示在原假设为真（即某个自变量的系数为 0）的前提下，观察到同等或更极端 t 统计量的概率。
通俗来说，t 值越大、P 值越小，反对原假设的证据就越强，从而支持自变量（价格与气温）对因变量（冰淇淋销量）具有统计显著影响的结论。
7. 置信区间（Lower 95% 和 Upper 95%）
置信区间给出了在 95% 置信水平下，自变量真实系数可能落入的上下限。由于价格与气温的置信区间均不包含 0，这些系数在预测冰淇淋销量时具有统计显著性。
如何在 Excel 中可视化线性回归
可视化两个变量之间的关系能大幅提升您对数据集的理解。虽然 Excel 的“数据分析工具库”提供了详尽的汇总统计，但图形化展示能立即显示变量关系的强度与方向。
创建带趋势线的散点图是可视化这种关系的有效方式，而且不到五分钟就能完成。该可视化能让您一眼看到一个变量如何影响另一个变量。
以下是可视化“冰淇淋销量”与“气温”关系的步骤：
1. 插入散点图
首先，选中包含“冰淇淋销量”和“气温”变量的单元格。然后转到“插入”选项卡，点击“散点图”图标：
您将看到一个基础散点图，如下所示：
2. 重命名图表与坐标轴
现在，让我们将图表重命名，以准确描述我们正在可视化的关系。点击图表标题，将其改为“冰淇淋销量与气温的关系”。
接着，要更改 x 轴标签，转到“图表设计”。在“添加图表元素”的下拉菜单中，选择“坐标轴标题” -> “主要水平坐标轴”：
点击出现的默认坐标轴标题，输入“冰淇淋销量”，以准确标注该轴。同样方式设置 y 轴，选择“主要垂直坐标轴”，并将坐标轴标题替换为“气温”：
3. 添加趋势线
请注意，虽然散点图揭示了气温与冰淇淋销量之间关系的大致方向，但数据点分布较为分散。为更好地概括这种关系（包括整体方向与斜率），我们加入趋势线或最佳拟合线。
为该图添加趋势线，只需点击散点图上的任意数据点，此操作会选中图中的所有数据点。然后右键单击选中的数据点，在出现的菜单中选择“添加趋势线”：
您会在图中看到一条虚线，展示变量之间关系的大致方向：
4. 设置趋势线格式
目前趋势线较为浅淡。我们调整其格式以提升可见性。
首先点击趋势线以选中它。Excel 窗口右侧会出现“设置趋势线格式”任务窗格。在该窗格中选择“填充与线条”。然后将趋势线宽度增加到3 磅，并将颜色更改为红色：
至此，我们已成功创建了一个可视化图表，更好地理解冰淇淋销量与气温之间的关系。
仅通过观察上图，我们就能看出气温与冰淇淋销量呈正相关。随着气温上升，冰淇淋销量似乎也会增加，这表明气温是冰淇淋销量的重要预测变量。
请注意，这一观察与上一节回归分析结果所得出的结论一致。
结语
至此，您已经清楚掌握如何在 Excel 中执行线性回归、如何解读多种统计量来评估模型拟合度，以及如何使用散点图与趋势线来可视化回归分析。
但这还不是终点。
不夸张地说，我们只是触及了预测建模的皮毛，还有很多内容值得深入学习。以下是一些可帮助您加深理解的潜在后续步骤。
实践
练习本文所学概念，巩固记忆。比如，使用本教程中的数据集绘制散点图，展示冰淇淋销量与价格之间的关系。
您还可以更进一步，学习如何在趋势线上显示回归方程。
精通 Excel
正如本文前面所述，Excel 在众多组织中被广泛使用，因此需求量很大。扎实掌握 Excel 能显著提升您在各行业的就业机会，因为它的应用极为广泛。
如果您在跟随本教程时遇到困难，或对 Excel 公式还不够熟悉，建议报名我们的Excel 基础学习路径。该课程将向您介绍多种数据可视化技巧、数据透视表，以及 COUNTIF 与嵌套 IF 等逻辑函数，助您迈向 Excel 精通之路。