Test ANOVA : Un guide approfondi avec des exemples

L'ANOVA permet de tester s'il existe des différences significatives entre les moyennes des groupes, ce qui aide les chercheurs à déterminer si la variation des données est due à des différences réelles entre les groupes ou à un simple hasard. Cette méthode est utile dans le cas d'expériences ou d'études impliquant plus de deux groupes, pour lesquelles les tests t traditionnels peuvent ne pas être appropriés ou efficaces.

Cet article présente les principes fondamentaux du test ANOVA, son objectif, les deux principaux types de tests, ainsi qu'un guide étape par étape pour réaliser l'ANOVA. La compréhension de ces concepts peut vous aider à choisir le bon test pour vos données et à interpréter les résultats en toute confiance. Nous prendrons également un exemple pour mieux comprendre le concept. Si vous êtes novice en matière de tests d'hypothèses en général, lisez notre rubrique Les tests d'hypothèses en toute simplicité facile.

Qu'est-ce qu'un test ANOVA ?

ANOVA signifie analyse de la variance, un test statistique utilisé pour comparer les moyennes de trois groupes ou plus. Il analyse la variance au sein du groupe et entre les groupes. L'objectif premier est d'évaluer si la variance observée entre les moyennes des groupes est plus importante qu'à l'intérieur des groupes. Si la variance observée entre les moyennes des groupes est significative, cela suggère que les différences sont significatives.

Mathématiquement, l'ANOVA décompose la variabilité totale des données en deux composantes :

• Variabilité au sein du groupe: Variabilité causée par des différences au sein des groupes individuels, reflétant des fluctuations aléatoires.
• Variabilité entre les groupes: Variabilité due aux différences entre les moyennes des différents groupes.

Statistique F pour calculer l'ANOVA. Image par l'auteur

Le test produit une statistique F, qui indique le rapport entre la variabilité entre les groupes et la variabilité à l'intérieur des groupes. Si la statistique F est suffisamment grande, cela indique qu'au moins une des moyennes du groupe est significativement différente des autres.

Pour mieux comprendre cela, considérez un scénario dans lequel on vous demande d'évaluer les performances d'un étudiant (notes d'examen) sur la base de trois méthodes d'enseignement : cours magistral, atelier interactif et apprentissage en ligne. L'ANOVA peut nous aider à évaluer si la méthode d'enseignement a un impact statistique sur les résultats de l'étudiant à l'examen.

Les deux types de tests ANOVA

Il existe deux types d'ANOVA : à sens unique et à double sens. En fonction du nombre de variables indépendantes et de la manière dont elles interagissent entre elles, les deux sont utilisées dans des scénarios différents.

1. ANOVA à sens unique

Un test ANOVA à sens unique est utilisé lorsqu'il y a une variable indépendante et deux groupes ou plus. L'objectif est de déterminer s'il existe une différence significative entre les moyennes des différents groupes.

Dans notre exemple, nous pouvons utiliser l'ANOVA à sens unique pour comparer l'efficacité des trois différentes méthodes d'enseignement (cours magistral, atelier et apprentissage en ligne) sur les résultats des étudiants aux examens. La méthode d'enseignement est la variable indépendante avec trois groupes, et le résultat de l'examen est la variable dépendante.

• Hypothèse nulle (H₀): Les notes d'examen moyennes des étudiants des trois méthodes d'enseignement sont égales (pas de différence entre les moyennes).
• Hypothèse alternative (H₁): La moyenne d'au moins un groupe est significativement différente.

Comparaison de l'hypothèse nulle et de l'hypothèse alternative. Image par l'auteur

Le test ANOVA à sens unique nous dira si la variation des résultats des étudiants aux examens peut être attribuée aux différences entre les méthodes d'enseignement ou si elle est probablement due au hasard.

L'ANOVA à un facteur est efficace pour analyser l'impact d'un seul facteur sur plusieurs groupes, ce qui rend son interprétation plus simple. Cependant, elle ne tient pas compte de la possibilité d'interaction entre plusieurs variables indépendantes, ce qui rend l'ANOVA à deux voies nécessaire.

2. ANOVA à deux voies

L'ANOVA à deux voies est utilisée lorsqu'il y a deux variables indépendantes, chacune avec deux groupes ou plus. L'objectif est d'analyser l'influence des deux variables indépendantes sur la variable dépendante.

Supposons que vous vous intéressiez à la relation entre les méthodes d'enseignement et les techniques d'étude et à la manière dont elles influencent conjointement les performances des étudiants. L'ANOVA à deux voies est adaptée à ce scénario. Nous testons ici trois hypothèses :

• L'effet principal du facteur 1 (méthode d'enseignement): La méthode d'enseignement influence-t-elle les résultats des étudiants aux examens ?
• L'effet principal du facteur 2 (technique d'étude): La technique d'étude a-t-elle une incidence sur les résultats aux examens ?
• Effet d'interaction: L'efficacité de la méthode d'enseignement dépend-elle de la technique d'étude utilisée ?

Par exemple, une ANOVA à deux voies pourrait révéler que les étudiants qui utilisent la méthode des cours magistraux sont plus performants dans l'étude en groupe, et que ceux qui utilisent l'apprentissage en ligne sont plus performants dans l'étude individuelle. La compréhension de ces interactions permet de mieux comprendre l'impact des différents facteurs sur les résultats.

ANOVA vs. T-Test

Vous vous posez peut-être la question : Quand dois-je choisir une ANOVA plutôt qu'un test t ? Le test t et l'ANOVA sont utilisés pour comparer les moyennes entre les groupes, mais le choix entre les deux dépend du nombre de groupes comparés et de la complexité de la structure des données.

Quand utiliser un test T

Un test t est approprié pour comparer les moyennes de deux groupes. Par exemple, si nous voulions comparer les résultats aux examens des étudiants utilisant seulement deux méthodes d'enseignement - cours magistral et atelier - un test t suffirait. Il existe deux types de tests t :

• Test T indépendant: Comparaison de deux groupes indépendants (par exemple, cours magistral contre atelier).
• Test T par paires: Compare les moyennes d'un même groupe à différents moments (par exemple, les performances des étudiants avant et après l'utilisation d'une méthode d'enseignement particulière).

Quand utiliser l'ANOVA ?

En revanche, l'ANOVA est utilisée pour comparer les moyennes de trois groupes ou plus. Notre étude comprend trois méthodes d'enseignement (cours magistral, atelier et apprentissage en ligne), ce qui nécessite plus qu'un test t. L'utilisation de plusieurs tests t pour chaque paire de groupes augmenterait le risque d'erreur de type I (faux positifs), alors que l'ANOVA traite la comparaison en un seul test et contrôle cette erreur.

Hypothèses du test ANOVA

Tous les tests statistiques reposent sur des hypothèses qui doivent être respectées pour garantir la validité des résultats. 

Voici les hypothèses qui doivent être satisfaites pour l'ANOVA :

1. Indépendance des observations

Les observations (points de données) doivent être indépendantes les unes des autres. Dans cet exemple, les notes d'examen des étudiants dans une méthode d'enseignement ne devraient pas influencer les notes des étudiants dans une autre méthode.

2. Homogénéité des variances

Les variances au sein de chaque groupe doivent être approximativement égales. L'ANOVA suppose que la variabilité des notes d'examen au sein de chaque groupe de méthodes d'enseignement est à peu près la même. Cela peut être vérifié à l'aide du test de Levene, qui vérifie l'égalité des variances.

3. Distribution normale

Les données de chaque groupe doivent suivre une distribution normale. Dans notre exemple de méthode d'enseignement, les notes d'examen des étudiants de chaque groupe d'enseignement (cours magistral, atelier, apprentissage en ligne) devraient idéalement être distribuées normalement.

Si l'une des hypothèses n'est pas respectée, les résultats du test peuvent être invalides. Dans ce cas, il est essentiel d'envisager l'utilisation d'un test non paramétrique.

Réalisation d'un test ANOVA

Nous utiliserons le même exemple de comparaison de différentes méthodes d'enseignement pour examiner comment elles affectent les résultats des étudiants aux examens. Supposons que l'on vous fournisse les données suivantes montrant les résultats aux examens (variable dépendante) en fonction de la méthode d'enseignement (variable indépendante).

Notes d'examen pour chaque méthode d'enseignement pour quatre étudiants chacun. Image par l'auteur

Étape 1 : Définir l'hypothèse

La première étape du processus consiste à définir l'hypothèse. Énoncez l'hypothèse nulle et l'hypothèse alternative :

• Hypothèse nulle (H₀): Les moyennes des notes d'examen des étudiants des trois méthodes d'enseignement sont égales.
• Hypothèse alternative (H₁): Au moins une méthode d'enseignement a un score moyen à l'examen différent.

Hypothèse nulle et hypothèse alternative. Image par l'auteur

Étape 2 : Vérifier les hypothèses de l'ANOVA

Avant d'effectuer l'ANOVA, assurez-vous que les hypothèses sont respectées. Normalité, indépendance et homogénéité des variances. Par souci de simplicité, supposons que toutes les hypothèses soient respectées.

Étape 3 : Calculer l'ANOVA

Une fois les hypothèses vérifiées, calculez l'ANOVA.

La formule de la statistique F dans l'ANOVA à sens unique est définie ci-dessous.

Statistique F dans l'ANOVA à sens unique. Image par l'auteur

La statistique F dans l'ANOVA à sens unique est le rapport entre la somme moyenne des carrés entre les groupes et la somme moyenne des carrés à l'intérieur des groupes.

Pour y parvenir, procédons étape par étape.

1. Calculez la moyenne pour chaque groupe et la moyenne globale.

Utilisez l'équation ci-dessous pour calculer la moyenne de chaque méthode d'enseignement (Ai). Divisez la somme des notes d'examen de chaque groupe par le nombre d'élèves de chaque groupe.

Moyenne pour chaque groupe (méthode d'enseignement). Image par l'auteur

Ensuite, calculez la moyenne générale (G) en divisant la somme de toutes les instances par le nombre total d'étudiants.

Moyenne générale des notes obtenues à l'examen. Image par l'auteur

2. Calculez la somme des carrés pour chaque groupe.

L'équation suivante permet de calculer la somme des carrés pour chaque groupe.

La somme des carrés pour chaque méthode d'enseignement. Image par l'auteur

Après le calcul, remplissez ce tableau avec les valeurs pour un accès facile.

Résumé des performances des étudiants par méthode d'enseignement. Image par l'auteur

3. Calculez la somme des carrés entre les groupes, la somme des carrés à l'intérieur des groupes et la somme totale des carrés.

En utilisant l'équation ci-dessous, calculez la somme des carrés entre les groupes. Dans l'équation,

• Ai: Moyenne du groupe
• G: Moyenne générale
• ninombre d'instances dans chaque groupe

Utilisez les valeurs du tableau récapitulatif pour le calcul.

Somme des carrés entre le groupe

Calculez ensuite la somme des carrés à l'intérieur du groupe. Il s'agit de la somme des carrés (SS) pour chaque groupe.

Somme des carrés à l'intérieur du groupe. Image par l'auteur

Utilisez l'équation ci-dessous pour calculer la somme totale des carrés
Somme totale des carrés. Image par l'auteur

Vérifiez le calcul en contrôlant si la somme totale des carrés est l'addition de la somme des carrés entre les groupes et de la somme des carrés à l'intérieur du groupe. Après vérification, passez au calcul des carrés moyens.

4. Calculez la moyenne des carrés

La moyenne des carrés est le rapport entre la somme des carrés et le degré de liberté.

Le degré de liberté entre les groupes df_between est égal au nombre de groupes moins un, et le degré de liberté à l'intérieur des groupes df_w est égal au nombre total de participants moins le nombre de groupes.

Avec les valeurs calculées à l'étape précédente, calculez les carrés moyens.

Carrés moyens entre les groupes et à l'intérieur des groupes. Image par l'auteur

5. Calculez la statistique F à l'aide de l'équation ci-dessous

La statistique F est le rapport entre le carré moyen entre les groupes et le carré moyen à l'intérieur des groupes.

F-statistic. Image par l'auteur

La valeur calculée de la statistique F est de 28,747.

Enfin, la valeur p est calculée à l'aide de la statistique F, du degré de liberté df, et du tableau de distribution F.

Dans cet exemple, le numérateur df est 2, le dénominateur df est 9 et la statistique F est 28,747. Par conséquent, la valeur p du tableau de distribution F est de 0,000123.

Étape 4 : Interpréter les résultats

• Statistique F: La statistique F mesure le rapport entre la variation entre les groupes et la variation à l'intérieur des groupes. Une statistique F plus élevée indique une différence plus significative entre les moyennes des groupes par rapport à la variation aléatoire.
• Valeur P: La valeur p détermine si les différences entre les moyennes des groupes sont statistiquement significatives. Si la valeur p est inférieure à un seuil prédéfini (généralement 0,05), rejetez l'hypothèse nulle et concluez qu'au moins un groupe a une moyenne significativement différente.

La valeur p est de 0,000123, et nous rejetons l'hypothèse nulle pour conclure que la méthode d'enseignement affecte de manière significative les résultats aux examens.

Tests post hoc après ANOVA

L'ANOVA nous indique s'il existe une différence statistiquement significative entre les moyennes des groupes, mais elle ne précise pas quels groupes sont significativement différents les uns des autres. C'est le rôle des tests post-hoc : ils effectuent des comparaisons par paire entre les groupes afin d'identifier précisément où se situent les différences. Lorsque vous avez plus de deux groupes, ces tests sont essentiels et le résultat de l'ANOVA est significatif.

Pour reprendre notre exemple, le test révèle une différence significative dans les notes d'examen des étudiants après avoir effectué l'ANOVA à sens unique sur les trois méthodes d'enseignement (cours magistral, atelier et apprentissage en ligne). Un test post-hoc nous aidera à déterminer quelles méthodes d'enseignement ont un impact différent sur les résultats aux examens.

Les tests de Tukey (Honestly Significant Difference - HSD) et la correction de Bonferroni sont des tests post-hoc largement utilisés.

Alternatives à l'ANOVA

Si les hypothèses de l'ANOVA ne sont pas respectées ou si l'ANOVA n'est pas adaptée à l'ensemble des données, envisagez les alternatives suivantes.

1. Test de Kruskal-Wallis : Il s'agit d'une alternative non paramétrique à l'ANOVA à sens unique lorsque l'hypothèse de normalité n'est pas respectée. Il s'agit d'une version étendue du test U de Mann-Whitney.
2. MANOVA (analyse de variance multivariée) : Elle étend les principes de l'ANOVA à des variables dépendantes multiples. Il teste si les vecteurs moyens de plusieurs variables dépendantes diffèrent d'un groupe à l'autre.

Conclusion

Cet article présente les concepts fondamentaux de l'ANOVA et indique quand l'utiliser par rapport à un test t. Nous avons appris que l'ANOVA est une analyse statistique robuste qui compare simultanément plusieurs groupes. Nous avons fourni un guide étape par étape sur la réalisation d'une ANOVA, détaillant la manière de formuler des hypothèses, de vérifier les hypothèses et d'interpréter les résultats.

Pour acquérir une expérience pratique de l'ANOVA dans Excel, consultez le didacticiel Guide complet de l'ANOVA dans Excel. Envisagez de suivre les cours Fondations de l'inférence en Python et Statistiques inférentielles pour élargir vos connaissances en statistiques.