डेटा डिमिस्टिफ़ाइड: वर्णनात्मक आँकड़ों का एक अवलोकन

हमारी महीने भर चलने वाली डेटा डिमिस्टिफ़ाइड श्रृंखला के भाग पाँच में आपका स्वागत है। डेटा लिटरेसी मंथ के हिस्से के रूप में, यह श्रृंखला डेटा की दुनिया की प्रमुख अवधारणाओं को सरल बनाएगी, वे सवालों के जवाब देगी जिन्हें आप पूछने से हिचकते रहे हैं, और इस सफर में मज़ा भी रहेगा। यदि आप शुरुआत से शुरू करना चाहते हैं, तो श्रृंखला की हमारी पहली प्रविष्टि पढ़ें: डेटासेट क्या है?

इस प्रविष्टि में, हम वर्णनात्मक आँकड़ों में गहराई से उतरेंगे, जो डेटा साइंस के बुनियादी क्षेत्रों में से एक है। 

वर्णनात्मक आँकड़े क्या हैं?

वर्णनात्मक आँकड़े, वर्णनात्मक विश्लेषिकी में प्रयुक्त प्राथमिक उपकरण हैं, जो विश्लेषिकी के चार प्रकारों में से एक है। वर्णनात्मक आँकड़ों को समझने के लिए, पहले चर (वेरिएबल) की अवधारणा समझना सहायक है। 

एक चर वह मात्रा है जिसे मापा या गिना जा सकता है। उदाहरण के लिए, लोगों के एक समूह को लें—आप प्रत्येक व्यक्ति की ऊँचाई माप सकते हैं। यह एक चर माना जाएगा। इसी प्रकार, आप यह गिन सकते हैं कि कितने लोगों के किस रंग के बाल हैं; तो बालों का रंग भी एक चर माना जाएगा।

वर्णनात्मक आँकड़े ऐसे संख्याएँ हैं जो चरों का सार प्रस्तुत करती हैं। इन्हें निकालना इतना आम है कि इसके कई नाम प्रचलित हो गए हैं। "समरी स्टैटिस्टिक्स" और "एग्रीगेशन" भी इसी अर्थ में प्रयुक्त होते हैं।

अगले खंडों में, हम वर्णनात्मक आँकड़ों की मुख्य तकनीकों की रूपरेखा देंगे—ये सभी हमारी प्रस्तावना टू स्टैटिस्टिक्स कोर्स से ली गई हैं। 

गणनाएँ और अनुपात

जब आपके पास श्रेणीबद्ध चर होते हैं—अर्थात, ऐसे डेटा जो अलग-अलग समूहों में बँटे हों, जैसे बालों का रंग—तो उन्हें समेटने के सबसे स्वाभाविक तरीके हैं: उनकी गिनती करना या उनके अनुपात बताना। 

उदाहरण के लिए, चार लोगों के काले बाल थे, दो के भूरे, दो के सुनहरे, एक के जिंजर, और एक के स्लेटी बाल। वैकल्पिक रूप से, आप कह सकते हैं कि 40% लोगों के काले बाल थे, 20% के भूरे, 20% के सुनहरे, 10% के जिंजर, और 10% के स्लेटी बाल। 

केन्द्र प्रवृत्ति के मान

केन्द्र प्रवृत्ति के मान, जिन्हें आम बोलचाल में औसत कहा जाता है, आपके डेटा का सार इस तरह प्रस्तुत करते हैं कि एक मान उसके वितरण के केंद्र का वर्णन कर देता है। यहाँ सबसे सामान्य केन्द्र प्रवृत्ति के मान दिए गए हैं। 

मोड

मोड वह औसत है जिसे निकालना सबसे आसान होता है। यह बस सबसे आम मान होता है। बालों के रंग के उदाहरण में, काला सबसे सामान्य रंग है, इसलिए मोड "काला" है।

अंकगणितीय माध्य

शायद सबसे प्रसिद्ध औसत प्रकार अंकगणितीय माध्य है। यदि कोई व्यक्ति बिना स्पष्ट किए औसत की बात करता है, तो सामान्यतः वह अंकगणितीय माध्य की ही बात कर रहा होता है। 

इसे निकालने का सूत्र है: सभी मानों को जोड़ें, फिर आपके पास जितने मान हैं उनकी संख्या से भाग दें। उदाहरण के लिए, मान लीजिए आपके पास 10 लोगों की ऊँचाई का चर है। औसत निकालने के लिए, सभी ऊँचाइयों का योग करें और 10 से भाग दें। 

माध्य की एक ताकत (और जैसा कि हम अभी देखेंगे, एक कमजोरी) यह है कि इसकी गणना में हर डेटा बिंदु का उपयोग होता है। यानी, यह अपनी गणना में संभवतः अधिकतम जानकारी का उपयोग करता है।

माध्य के अन्य प्रकार भी हैं—जैसे ज्यामितीय माध्य और हार्मोनिक माध्य—जिनका उपयोग विशेष परिस्थितियों में किया जाता है।

मध्यिका

मध्यिका निकालने के लिए मानों को सबसे छोटे से सबसे बड़े क्रम में सजाया जाता है और फिर बीच का मान लिया जाता है। 

ऊँचाई के उदाहरण में, आपको ऊँचाइयों को सबसे कम से सबसे अधिक तक क्रमबद्ध करना होगा और अपने ऊँचाई चर में मध्य बिंदु चुनना होगा—जो इस मामले में पाँचवाँ मान होगा। मध्यिका को "रोबस्ट" वर्णनात्मक आँकड़ा माना जाता है, क्योंकि किसी एक मान के बदलने पर यह बहुत अधिक नहीं बदलती। 

इसे स्पष्ट करने के लिए, मान लीजिए हमें किसी असाधारण रूप से लंबे या छोटे व्यक्ति का एक और डेटा बिंदु मिला। इन ऊँचाइयों का अंकगणितीय माध्य काफ़ी बदल जाएगा, क्योंकि अपवाद मान (आउटलायर) अंतिम मान को प्रभावित कर सकते हैं। जबकि मध्यिका बहुत कम बदलेगी, क्योंकि मध्य स्थिति में बहुत बदलाव नहीं आया है।  

अन्य स्थान-मान

कभी-कभी आपके चर का मध्य मान उपयोगी सारांश नहीं होता। हो सकता है कि आपको न्यूनतम (सबसे छोटा मान) या अधिकतम (सबसे बड़ा मान) की परवाह हो। मानों के आकार के ये अन्य माप स्थान-मान (मेज़र्स ऑफ़ लोकेशन) कहलाते हैं।

एक और महत्वपूर्ण स्थान-मान पर्सेंटाइल कहलाता है। यह ऐसे कटऑफ बिंदुओं का उपयोग करता है जो डेटा को 100 समान भागों में बाँटते हैं, जहाँ प्रत्येक भाग में समान मात्रा का डेटा होता है। 100वाँ पर्सेंटाइल अधिकतम के समान होता है, और 50वाँ पर्सेंटाइल मध्यिका के समान। पर्सेंटाइल तब उतने प्रासंगिक नहीं होते जब आपके पास केवल 10 डेटा बिंदु हों, जैसे ऊँचाइयों के उदाहरण में, लेकिन बड़े डेटासेट के लिए ये उपयोगी होते हैं। 

पर्सेंटाइल का एक रूपांतर क्वार्टाइल है, जिसमें आप डेटा को 100 के बजाय चार भागों में बाँटते हैं।

प्रसरण के मान

कभी-कभी मानों के आकार से अधिक यह महत्वपूर्ण होता है कि वे एक-दूसरे से कितने भिन्न हैं। जो वर्णनात्मक आँकड़े यह मापते हैं कि मान कितने भिन्न हैं, उन्हें प्रसरण के मान या परिवर्तनशीलता के मान कहते हैं।

परास

प्रसरण का सबसे सरल मान परास है, जो अधिकतम मान में से न्यूनतम मान को घटाने पर मिलता है। ऊँचाई के उदाहरण में, परास = अधिकतम ऊँचाई − न्यूनतम ऊँचाई। 

विचरण

विचरण प्रसरण का एक अधिक तकनीकी मान है, जिसका उपयोग अक्सर अंकगणितीय माध्य के साथ किया जाता है। इसे इस प्रकार निकाला जाता है: प्रत्येक मान और माध्य के बीच के अंतर के वर्गों का योग, जिसे डेटा बिंदुओं की संख्या से एक कम से भाग दिया जाता है।

इसे स्पष्ट करने के लिए, ऊँचाई चर का और भी सरल उदाहरण देखें। मान लें कि हमने चार लोगों की ऊँचाइयाँ दर्ज की हैं, जैसा कि नीचे दी गई तालिका में है।

यहाँ लोगों की ऊँचाइयों का अंकगणितीय माध्य 172.5 सेमी है (सभी ऊँचाइयों के योग को 4 से भाग देकर)। 

इस उदाहरण में, विचरण होगा 

((158 - 172.5) ^ 2 + (172 - 172.5) ^ 2 + (177 - 172.5) ^ 2 + (183 - 172.5) ^ 2) / (4 - 1) = 113 cm2.

माध्य की तरह, इसकी गणना में हर डेटा बिंदु का उपयोग होने से यह बहुत शक्तिशाली है और डेटा बदलने पर इसमें अपेक्षाकृत बड़ा परिवर्तन आ सकता है।

सहसंबंध

सहसंबंध दो चरों के बीच रैखिक संबंध का मानक है। अर्थात, जब एक चर बढ़ता है तो क्या दूसरा बढ़ता है या घटता है? सहसंबंध निकालने के कई तरीके हैं, लेकिन यह हमेशा ऋण एक और एक के बीच का स्कोर होता है। 

दो चरों X और Y के लिए, सहसंबंध का अर्थ इस प्रकार समझा जाता है।

ध्यान दें कि सहसंबंध गैर-रैखिक प्रभावों का लेखा-जोखा नहीं करता, इसलिए यदि X और Y का सीधी रेखा जैसा संबंध नहीं है, तो सहसंबंध स्कोर सार्थक नहीं हो सकता।

और जानना चाहते हैं?

हमें उम्मीद है कि आपको वर्णनात्मक आँकड़ों का यह संक्षिप्त परिचय पसंद आया होगा। अगली कड़ी में हम सहसंबंध को और गहराई से समझेंगे—विशेष रूप से, हम देखेंगे कि सहसंबंध कारणता का द्योतक नहीं है यह मुहावरा कहाँ से आता है और आप इस जाल से कैसे बच सकते हैं।

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