Kovaryansı Anlamak: Başlangıç Düzeyinde Bir Rehber

Kovaryans, iki değişkenin birbirine göre nasıl değiştiğini ortaya koyarak istatistikte kilit bir rol oynar. Korelasyon, temel bileşen analizi ve regresyon gibi kavramların merkezindedir.

Bu rehberde kovaryansın ne anlama geldiğini, nasıl hesaplandığını ve finansal modellemeden makine öğrenmesine kadar nerelerde kullanıldığını öğreneceksiniz.

Ve kovaryans öğrenmeniz gereken önemli konulardan yalnızca biri olduğu için, öğrenmeye devam etmek üzere Python ile İstatistik Temelleri yetkinlik yolumuza ve/veya R ile İstatistiğe Giriş kursumuza kaydolduğunuzdan emin olun.

Kovaryans Nedir?

Kovaryans, iki değişkenin, x ve y, birlikte nasıl değiştiğini ölçen temel bir istatistiksel işlevidir. Değişkenler aynı anda artma ya da azalma eğilimindeyse kovaryans pozitiftir. Biri artarken diğeri azalıyorsa kovaryans negatiftir.

İki rassal değişken X ve Y için kovaryansın matematiksel tanımı şöyledir:

burada 𝜇_x ve 𝜇_y sırasıyla X ve Y’nin ortalamalarıdır.

Büyüklüğü n olan bir örneklem için örnek kovaryans şöyle hesaplanır:

burada x̅ ve ȳ, x ve y’nin örneklem ortalamalarıdır.

Ana kütle ortalamaları için μ (mi) ve örneklem ortalamaları için x̅ kullanılması, ikisini ayırt etmeye yardımcı olan bir konvansiyondur.

Kovaryans Neden Önemlidir?

Kovaryansı anlamak, iki değişken arasındaki ilişkiyi analiz etmenizi sağlar. Finansta kovaryans, iki hissenin birlikte nasıl hareket ettiğini değerlendirmek için kullanılır. Veri biliminde kovaryans, veri setlerinin boyutunu azaltan PCA gibi teknikler için gereklidir. Ayrıca regresyon analizinin temelinde yer alır; değişkenlerin birlikte nasıl değiştiğini anlamak, doğrusal ilişkilerini modellemek için önemlidir.

Özetle, kovaryans şu konularda içgörü sağlar: 1) değişkenler arasındaki doğrusal ilişkinin yönü, 2) ilişkinin gücü (standartlaştırılmamış olsa da) ve 3) korelasyon katsayısının hesaplanması için temel.

Kovaryansı Elle Hesaplamak

Hadi pratik yapalım. Örnek kovaryansı elle hesaplamak için şu adımları izleyin:

1. Her değişkenin ortalamasını bulun.
2. Sapmaları elde etmek için her değerden ortalamayı çıkarın.
3. Karşılık gelen çiftler için sapmaları çarpın.
4. Çarpımları toplayın.
5. Örnek kovaryans için n − 1’e bölün.

Örneğin, iki değişken verildiğinde:

• x: 2, 4, 6
• y: 5, 9, 13

Her değişkenin ortalamasını bulun

Önce ortalamaları hesaplayın:

Her değerden ortalamayı çıkararak sapmaları bulun

Sonra ortalamadan sapmaları hesaplayın. Bunun nasıl çalıştığını göstermek için bir tablo oluşturdum. Tablonun sağ tarafında, her veri noktasının 4 ya da 9’dan çıkarıldığına dikkat edin.

Karşılık gelen çiftler için sapmaları çarpın

Şimdi, her çift için sapmaları çarpın:

Çarpımları toplayın

Daha sonra çarpımları toplarız: 8 + 0 + 8 = 16

Örnek kovaryans için n − 1’e bölün

Son olarak, örnek kovaryansı elde etmek için n − 1’e böleriz.

Cevabımızı şu şekilde yazabiliriz:

Python ve R’da Kovaryans

Kovaryansı bir programlama ortamında bulmaya çalışıyor olabilirsiniz. Bunu Python ve R’da nasıl yapacağınızı göstereceğim; Python ile başlayalım. 

Python’da Kovaryans

Python’da kovaryansı NumPy kullanarak hesaplayabilirsiniz.

NumPy’nin cov() işlevini kullanmak için önce NumPy’yi içe aktarın ve verinizi tanımlayın:

import numpy as np

x = np.array([2, 4, 6])
y = np.array([5, 9, 13])

cov_matrix = np.cov(x, y, ddof=1)
print(cov_matrix)Altyapı:

Çıktı bir kovaryans matrisidir:

[[4. 8.]
 [8. 16.]]Altyapı:

İki değişken arasındaki kovaryansın 8 olduğunu görüyoruz; bu, elle bulduğumuz sonuçla aynıdır.

R’da Kovaryans

R’da yerleşik cov() işlevini kullanarak kovaryansı hesaplayabilirsiniz.

Başlamak için veri vektörlerinizi tanımlayın ve cov()’a aktarın:

x <- c(2, 4, 6)
y <- c(5, 9, 13)

cov_matrix <- cov(cbind(x, y))
print(cov_matrix)Altyapı:

Çıktı bir kovaryans matrisidir:

  x  y
x 4  8
y 8 16Altyapı:

İki değişken arasındaki kovaryans 8’dir; tıpkı Python örneğinde olduğu gibi.

Kovaryans Matrisini Yorumlamak

Kovaryans matrisi, birden fazla değişken arasındaki ikili kovaryansları özetler. Az önce Python ve R kodundan gördüğümüz çıktı bir kovaryans matrisiydi; küçük (2x2) olsa da.

Daha büyük bir örnek deneyelim. Üç değişken x, y ve z için kovaryans matrisi şöyledir:

Bu matris simetriktir ve köşegen elemanları her değişkenin varyanslarıdır. (Bunun nedeni, bir değişkenin kendisiyle kovaryansının varyans olmasıdır.)

Kovaryans ve Korelasyon

Kovaryans, iki değişken arasındaki ilişkinin yönünü ölçerken sonucu standartlaştırmaz. Korelasyon ise kovaryansı −1 ile 1 arasında bir değere standartlaştırır ve ilişkinin gücünü yorumlamayı kolaylaştırır.

Korelasyon katsayısı için birçok formül vardır, ancak formüllerden biri şöyledir:

Burada:

• Cov⁡(x,y), x ve y değişkenleri arasındaki kovaryanstır
• σ_x ("sigma" olarak okunur), x’in standart sapmasıdır
• σ_y​, y’nin standart sapmasıdır

Bilmeniz Gereken Ek Hususlar

Kovaryansla çalışırken şu yaygın konulara dikkat edin:

• Kovaryans, değişkenlerin ölçeğine duyarlıdır. Büyük değerler sonucu şişirebilir.
• Kovaryans, ilişkinin gücünü standartlaştırılmış bir şekilde göstermez.
• Aykırı değerler kovaryans hesabını önemli ölçüde etkileyebilir.

Daha net yorumlama için verinizi standartlaştırmayı veya korelasyonu kullanmayı her zaman düşünün.

Sonuç

Kovaryans, değişkenlerin birlikte nasıl hareket ettiğini anlamak için bilinmesi gereken bir istatistik aracıdır. Veri ilişkilerinizi gerçekten anlamak için kovaryansı bilmeniz gerekir. Bazı yönlerinde net olmadığınızı düşünüyorsanız endişelenmeyin; size yardımcı olacak doğru kaynaklara sahibiz, bugün kaydolun: 

• Python ile İstatistik Temelleri yetkinlik yolu 
• R ile İstatistiğe Giriş kursu