कोवैरीअंस को समझना: एक प्रारंभिक मार्गदर्शिका

कोवैरीअंस सांख्यिकी में एक प्रमुख भूमिका निभाता है क्योंकि यह बताता है कि दो चर एक-दूसरे के संबंध में कैसे बदलते हैं। यह सहसंबंध, प्रिंसिपल कंपोनेंट एनालिसिस और रिग्रेशन जैसे विचारों के केंद्र में है।

इस गाइड में, आप जानेंगे कि कोवैरीअंस का अर्थ क्या है, इसे कैसे गणना करते हैं, और इसका उपयोग कहाँ होता है—फाइनेंशियल मॉडलिंग से लेकर मशीन लर्निंग तक।

और क्योंकि कोवैरीअंस जानने योग्य कई महत्वपूर्ण बातों में से केवल एक है, सीखना जारी रखने के लिए हमारे Statistics Fundamentals in Python स्किल ट्रैक और/या हमारे Introduction to Statistics in R कोर्स में नामांकन अवश्य करें।

कोवैरीअंस क्या है?

कोवैरीअंस एक बुनियादी सांख्यिकीय फ़ंक्शन है जो दो चर, x और y, के साथ-साथ बदलने को मापता है। यदि चर एक साथ बढ़ने या घटने की प्रवृत्ति रखते हैं, तो कोवैरीअंस धनात्मक होता है। यदि एक बढ़ता है जबकि दूसरा घटता है, तो कोवैरीअंस ऋणात्मक होता है।

दो यादृच्छिक चरों X और Y के लिए कोवैरीअंस की गणितीय परिभाषा है:

जहाँ 𝜇_x और 𝜇_y क्रमशः X और Y के औसत हैं।

आकार n के एक सैंपल के लिए, सैंपल कोवैरीअंस इस प्रकार निकाला जाता है:

जहाँ x̅ और ȳ क्रमशः x और y के सैंपल औसत हैं।

जनसंख्या औसत के लिए μ (म्यू) और सैंपल औसत के लिए x̅ का उपयोग करना एक परंपरा है जो दोनों में भेद करने में मदद करती है।

कोवैरीअंस क्यों मायने रखता है

कोवैरीअंस को समझने से आप दो चरों के बीच संबंध का विश्लेषण कर सकते हैं। वित्त में, कोवैरीअंस का उपयोग यह आकलन करने के लिए किया जाता है कि दो स्टॉक्स एक साथ कैसे चलते हैं। डेटा साइंस में, कोवैरीअंस PCA जैसी तकनीकों के लिए आवश्यक है, जो डाटासेट्स के आयामों को घटाती है। यह रिग्रेशन विश्लेषण के अंतर्गत भी आता है, जहाँ चरों के सह-परिवर्तन को समझना उनके रैखिक संबंधों के मॉडलिंग के लिए महत्वपूर्ण है।

संक्षेप में, कोवैरीअंस अंतर्दृष्टि देता है: 1) चरों के बीच रैखिक संबंध की दिशा, 2) संबंध की ताकत (हालाँकि मानकीकृत नहीं), और 3) सहसंबंध गुणांक की गणना का आधार।

हाथ से कोवैरीअंस की गणना

आइए अभ्यास करें। सैंपल कोवैरीअंस को हाथ से निकालने के लिए, ये चरण अपनाएँ:

1. प्रत्येक चर का औसत निकालें।
2. विचलन पाने के लिए प्रत्येक मान से उसका औसत घटाएँ।
3. संबंधित युग्मों के विचलनों का गुणन करें।
4. गुणनफलों का योग करें।
5. सैंपल कोवैरीअंस के लिए n − 1 से भाग दें।

उदाहरण के लिए, दो चर दिए गए हैं:

• x: 2, 4, 6
• y: 5, 9, 13

प्रत्येक चर का औसत निकालें

सबसे पहले, औसत निकालें:

विचलन पाने के लिए प्रत्येक मान से औसत घटाएँ

इसके बाद, औसत से विचलन की गणना करें। मैंने इसे समझाने के लिए एक तालिका बनाई है। ध्यान दें कि तालिका के दाएँ भाग में प्रत्येक डेटा बिंदु से या तो 4 या 9 घटाया गया है।

संबंधित युग्मों के विचलनों का गुणन करें

अब, प्रत्येक युग्म के विचलनों का गुणन करें:

गुणनफलों का योग करें

फिर, हम गुणनफलों का योग करते हैं: 8 + 0 + 8 = 16

सैंपल कोवैरीअंस के लिए n − 1 से भाग दें

अंत में, हम सैंपल कोवैरीअंस पाने के लिए n − 1 से भाग देते हैं।

हम अपना उत्तर इस प्रकार लिख सकते हैं:

Python और R में कोवैरीअंस

आप प्रोग्रामिंग परिवेश में कोवैरीअंस समझने की कोशिश कर रहे होंगे। मैं आपको Python और R में यह कैसे करना है, दिखाऊँगा—Python से शुरू करते हैं। 

Python में कोवैरीअंस

आप NumPy का उपयोग कर Python में कोवैरीअंस की गणना कर सकते हैं।

NumPy के cov() फ़ंक्शन का उपयोग करने के लिए, पहले NumPy इम्पोर्ट करें और अपने डेटा को परिभाषित करें:

import numpy as np

x = np.array([2, 4, 6])
y = np.array([5, 9, 13])

cov_matrix = np.cov(x, y, ddof=1)
print(cov_matrix)

आउटपुट एक कोवैरीअंस मैट्रिक्स होता है:

[[4. 8.]
 [8. 16.]]

हम देखते हैं कि दोनों चरों के बीच कोवैरीअंस 8 है, जो हाथ से प्राप्त परिणाम के समान है।

R में कोवैरीअंस

आप R में बिल्ट-इन cov() फ़ंक्शन का उपयोग कर कोवैरीअंस निकाल सकते हैं।

शुरू करने के लिए, अपने डेटा वेक्टर परिभाषित करें और उन्हें cov() में पास करें:

x <- c(2, 4, 6)
y <- c(5, 9, 13)

cov_matrix <- cov(cbind(x, y))
print(cov_matrix)

आउटपुट एक कोवैरीअंस मैट्रिक्स होता है:

  x  y
x 4  8
y 8 16

दोनों चरों के बीच कोवैरीअंस 8 है, ठीक Python उदाहरण की तरह।

कोवैरीअंस मैट्रिक्स की व्याख्या

कोवैरीअंस मैट्रिक्स कई चरों के बीच युग्मित कोवैरीअंस का सार प्रस्तुत करता है। अभी Python और R कोड से जो आउटपुट देखा, वह एक कोवैरीअंस मैट्रिक्स था, यद्यपि छोटा (2x2)।

एक बड़े उदाहरण की कोशिश करते हैं। तीन चरों x, y, और z के लिए, कोवैरीअंस मैट्रिक्स है:

यह मैट्रिक्स सममित होता है, और विकर्ण तत्त्व प्रत्येक चर के विरंजन (variance) होते हैं। (यह इसलिए सत्य है क्योंकि किसी चर का स्वयं के साथ कोवैरीअंस उसका विरंजन होता है।)

कोवैरीअंस बनाम सहसंबंध

जहाँ कोवैरीअंस दो चरों के बीच संबंध की दिशा को मापता है, यह परिणाम को मानकीकृत नहीं करता। सहसंबंध कोवैरीअंस को −1 और 1 के बीच के मान में मानकीकृत करता है, जिससे संबंध की ताकत की व्याख्या करना आसान होता है।

सहसंबंध गुणांक के कई सूत्र हैं, लेकिन उनमें से एक सूत्र है:

जहाँ:

• Cov⁡(x,y) चरों x और y के बीच कोवैरीअंस है
• σ_x (उच्चारण 'सिग्मा') x का मानक विचलन है
• σ_y​ y का मानक विचलन है

अतिरिक्त जानने योग्य बातें

कोवैरीअंस के साथ काम करते समय, इन सामान्य मुद्दों पर ध्यान दें:

• कोवैरीअंस चरों के पैमाने के प्रति संवेदनशील होता है। बड़े मान परिणाम को बढ़ा सकते हैं।
• कोवैरीअंस संबंध की ताकत को मानकीकृत ढंग से नहीं दर्शाता।
• आउटलायर कोवैरीअंस की गणना पर उल्लेखनीय प्रभाव डाल सकते हैं।

स्पष्ट व्याख्या के लिए अपने डेटा को मानकीकृत करने या सहसंबंध का उपयोग करने पर हमेशा विचार करें।

निष्कर्ष

कोवैरीअंस यह समझने के लिए अनिवार्य सांख्यिकीय उपकरण है कि चर साथ-साथ कैसे चलते हैं। अपने डेटा संबंधों को सही मायनों में समझने के लिए आपको कोवैरीअंस जानना चाहिए। यदि कुछ पहलुओं पर स्पष्टता न हो तो चिंतित न हों—हमारे पास आपकी मदद के लिए सही संसाधन हैं, आज ही नामांकन करें: 

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