Tìm hiểu Hiệp phương sai: Hướng dẫn nhập môn

Hiệp phương sai đóng vai trò then chốt trong thống kê khi cho thấy hai biến thay đổi tương quan với nhau như thế nào. Nó là nền tảng của các khái niệm như tương quan, phân tích thành phần chính và hồi quy.

Trong hướng dẫn này, bạn sẽ học hiệp phương sai là gì, cách tính và các ứng dụng của nó, từ mô hình tài chính đến học máy.

Vì hiệp phương sai chỉ là một trong nhiều khái niệm quan trọng, hãy đăng ký lộ trình kỹ năng Statistics Fundamentals in Python và/hoặc khóa học Introduction to Statistics in R để tiếp tục học tập.

Hiệp phương sai là gì?

Hiệp phương sai là một hàm thống kê cơ bản đo lường mức độ hai biến, x và y, thay đổi cùng nhau. Nếu các biến có xu hướng tăng hoặc giảm đồng thời, hiệp phương sai dương. Nếu một biến tăng còn biến kia giảm, hiệp phương sai âm.

Định nghĩa toán học của hiệp phương sai cho hai biến ngẫu nhiên X và Y là:

trong đó 𝜇_x và 𝜇_y lần lượt là giá trị trung bình của X và Y.

Với mẫu có kích thước n, hiệp phương sai mẫu được tính như sau:

trong đó x̅ và ȳ là trung bình mẫu của x và y.

Quy ước dùng μ (mu) cho trung bình tổng thể và x̅ cho trung bình mẫu giúp phân biệt hai khái niệm này.

Vì sao hiệp phương sai quan trọng

Hiểu hiệp phương sai giúp bạn phân tích mối quan hệ giữa hai biến. Trong tài chính, hiệp phương sai được dùng để đánh giá mức độ hai cổ phiếu biến động cùng nhau. Trong khoa học dữ liệu, hiệp phương sai là cần thiết cho các kỹ thuật như PCA, vốn giảm số chiều của tập dữ liệu. Nó cũng là nền tảng của phân tích hồi quy, nơi việc hiểu các biến cùng biến thiên như thế nào rất quan trọng để mô hình hóa mối quan hệ tuyến tính của chúng.

Tóm lại, hiệp phương sai cung cấp cái nhìn về 1) hướng của mối quan hệ tuyến tính giữa các biến, 2) độ mạnh của mối quan hệ (dù chưa chuẩn hóa), và 3) nền tảng để tính hệ số tương quan.

Tính hiệp phương sai thủ công

Hãy thực hành. Để tính hiệp phương sai mẫu bằng tay, hãy làm theo các bước sau:

1. Tìm giá trị trung bình của mỗi biến.
2. Trừ trung bình khỏi từng giá trị để được độ lệch.
3. Nhân các độ lệch theo từng cặp tương ứng.
4. Cộng các tích lại.
5. Chia cho n − 1 để được hiệp phương sai mẫu.

Ví dụ, với hai biến:

• x: 2, 4, 6
• y: 5, 9, 13

Tìm giá trị trung bình của mỗi biến

Trước tiên, tính các giá trị trung bình:

Trừ trung bình khỏi từng giá trị để được độ lệch

Tiếp theo, tính các độ lệch so với trung bình. Tôi đã tạo một bảng minh họa cách thực hiện. Lưu ý ở phía bên phải bảng, mỗi điểm dữ liệu được trừ đi 4 hoặc 9.

Nhân các độ lệch theo từng cặp tương ứng

Bây giờ, nhân độ lệch cho từng cặp:

Cộng các tích

Sau đó, cộng các tích: 8 + 0 + 8 = 16

Chia cho n − 1 để có hiệp phương sai mẫu

Cuối cùng, chia cho n − 1 để được hiệp phương sai mẫu.

Chúng ta có thể viết đáp án như sau:

Hiệp phương sai trong Python và R

Bạn có thể đang muốn tính hiệp phương sai trong môi trường lập trình. Tôi sẽ hướng dẫn bạn thực hiện điều này trong Python và R, bắt đầu với Python. 

Hiệp phương sai trong Python

Bạn có thể tính hiệp phương sai trong Python bằng NumPy.

Để dùng hàm cov() của NumPy, trước hết hãy import NumPy và xác định dữ liệu của bạn:

import numpy as np

x = np.array([2, 4, 6])
y = np.array([5, 9, 13])

cov_matrix = np.cov(x, y, ddof=1)
print(cov_matrix)Được hỗ trợ bởi

Kết quả là một ma trận hiệp phương sai:

[[4. 8.]
 [8. 16.]]Được hỗ trợ bởi

Ta thấy hiệp phương sai giữa hai biến là 8, trùng khớp với kết quả tính tay.

Hiệp phương sai trong R

Bạn có thể tính hiệp phương sai trong R bằng hàm dựng sẵn cov().

Để bắt đầu, hãy tạo các vector dữ liệu và truyền chúng vào cov():

x <- c(2, 4, 6)
y <- c(5, 9, 13)

cov_matrix <- cov(cbind(x, y))
print(cov_matrix)Được hỗ trợ bởi

Kết quả là một ma trận hiệp phương sai:

  x  y
x 4  8
y 8 16Được hỗ trợ bởi

Hiệp phương sai giữa hai biến là 8, giống như ví dụ trong Python.

Diễn giải ma trận hiệp phương sai

Ma trận hiệp phương sai tóm tắt hiệp phương sai theo cặp giữa nhiều biến. Kết quả vừa thấy từ mã Python và R là một ma trận hiệp phương sai, dù khá nhỏ (2x2).

Hãy thử ví dụ lớn hơn. Với ba biến x, y và z, ma trận hiệp phương sai là:

Ma trận này là đối xứng, và các phần tử trên đường chéo chính là phương sai của từng biến. (Điều này đúng vì hiệp phương sai của một biến với chính nó là phương sai.)

Hiệp phương sai và Tương quan

Trong khi hiệp phương sai đo hướng của mối quan hệ giữa hai biến, nó không chuẩn hóa kết quả. Tương quan chuẩn hóa hiệp phương sai về một giá trị trong khoảng từ −1 đến 1, giúp diễn giải độ mạnh của mối quan hệ dễ dàng hơn.

Có nhiều công thức cho hệ số tương quan, nhưng một trong số đó là:

Trong đó:

• Cov⁡(x,y) là hiệp phương sai giữa các biến x và y
• σ_x (đọc là “sigma”) là độ lệch chuẩn của x
• σ_y là độ lệch chuẩn của y

Một số điều cần biết thêm

Khi làm việc với hiệp phương sai, hãy lưu ý những vấn đề thường gặp sau:

• Hiệp phương sai nhạy với thang đo của các biến. Giá trị lớn có thể làm kết quả bị phóng đại.
• Hiệp phương sai không cho biết độ mạnh của mối quan hệ theo cách đã chuẩn hóa.
• Các ngoại lệ (outlier) có thể ảnh hưởng đáng kể đến phép tính hiệp phương sai.

Hãy cân nhắc chuẩn hóa dữ liệu hoặc dùng tương quan để diễn giải rõ ràng hơn.

Kết luận

Hiệp phương sai là công cụ thống kê không thể thiếu để hiểu các biến cùng biến động như thế nào. Bạn cần nắm hiệp phương sai để thực sự hiểu các mối quan hệ trong dữ liệu. Đừng lo nếu bạn còn mơ hồ ở vài khía cạnh; chúng tôi có tài nguyên phù hợp để hỗ trợ bạn, hãy đăng ký ngay hôm nay: 

• Lộ trình kỹ năng Statistics Fundamentals in Python 
• Khóa học Introduction to Statistics in R