Capire la covarianza: una guida introduttiva

La covarianza svolge un ruolo chiave in statistica perché mostra come due variabili cambiano in relazione tra loro. È centrale in concetti come correlazione, analisi delle componenti principali e regressione.

In questa guida scoprirai cos’è la covarianza, come si calcola e dove si usa, dalla modellazione finanziaria al machine learning.

E siccome la covarianza è solo uno dei concetti importanti da conoscere, iscriviti al nostro skill track Statistics Fundamentals in Python e/o al corso Introduction to Statistics in R per continuare a imparare.

Cos’è la covarianza?

La covarianza è una funzione statistica fondamentale che misura come due variabili, x e y, cambiano insieme. Se le variabili tendono ad aumentare o diminuire contemporaneamente, la covarianza è positiva. Se una aumenta mentre l’altra diminuisce, la covarianza è negativa.

La definizione matematica di covarianza per due variabili casuali X e Y è:

dove 𝜇_x e 𝜇_y sono rispettivamente le medie di X e Y.

Per un campione di dimensione n, la covarianza campionaria si calcola come segue:

dove x̅ e ȳ sono le medie campionarie di x e y.

La scelta di usare μ (mu) per le medie di popolazione e x̅ per le medie campionarie è una convenzione che aiuta a distinguerle.

Perché la covarianza è importante

Capire la covarianza ti aiuta ad analizzare la relazione tra due variabili. In finanza, la covarianza serve a valutare come si muovono insieme due titoli. In data science, la covarianza è necessaria per tecniche come la PCA, che riduce la dimensionalità dei dataset. È anche alla base dell’analisi di regressione, dove capire come le variabili co-variano è importante per modellarne le relazioni lineari.

In poche parole, la covarianza offre indicazioni su 1) la direzione della relazione lineare tra variabili, 2) la forza della relazione (anche se non standardizzata) e 3) le basi per calcolare il coefficiente di correlazione.

Calcolare la covarianza a mano

Facciamo pratica. Per calcolare la covarianza campionaria a mano, segui questi passaggi:

1. Trova la media di ciascuna variabile.
2. Sottrai la media da ogni valore per ottenere gli scarti.
3. Moltiplica gli scarti per le coppie corrispondenti.
4. Somma i prodotti.
5. Dividi per n − 1 per la covarianza campionaria.

Per esempio, date due variabili:

• x: 2, 4, 6
• y: 5, 9, 13

Trova la media di ciascuna variabile

Per prima cosa, calcola le medie:

Sottrai la media da ogni valore per ottenere gli scarti

Poi calcola gli scarti dalla media. Ho creato una tabella per mostrare come funziona. Nota come, sul lato destro della tabella, a ciascun dato viene sottratto 4 o 9.

Moltiplica gli scarti per le coppie corrispondenti

Ora moltiplica lo scarto per ciascuna coppia:

Somma i prodotti

Poi sommiamo i prodotti: 8 + 0 + 8 = 16

Dividi per n − 1 per la covarianza campionaria

Infine, dividiamo per n − 1 per ottenere la covarianza campionaria.

Possiamo scrivere la risposta così:

Covarianza in Python e R

Potresti voler calcolare la covarianza in un ambiente di programmazione. Ti mostro come farlo in Python e in R, partendo da Python. 

Covarianza in Python

Puoi calcolare la covarianza in Python usando NumPy.

Per usare la funzione cov() di NumPy, prima importa NumPy e definisci i tuoi dati:

import numpy as np

x = np.array([2, 4, 6])
y = np.array([5, 9, 13])

cov_matrix = np.cov(x, y, ddof=1)
print(cov_matrix)Offerto da

L’output è una matrice di covarianza:

[[4. 8.]
 [8. 16.]]Offerto da

Vediamo che la covarianza tra le due variabili è 8, lo stesso risultato ottenuto a mano.

Covarianza in R

Puoi calcolare la covarianza in R usando la funzione integrata cov().

Per iniziare, definisci i vettori di dati e passali a cov():

x <- c(2, 4, 6)
y <- c(5, 9, 13)

cov_matrix <- cov(cbind(x, y))
print(cov_matrix)Offerto da

L’output è una matrice di covarianza:

  x  y
x 4  8
y 8 16Offerto da

La covarianza tra le due variabili è 8, proprio come nell’esempio in Python.

Interpretare la matrice di covarianza

La matrice di covarianza riassume le covarianze a coppie tra più variabili. L’output che abbiamo appena visto dal codice Python e R era una matrice di covarianza, anche se piccola (2x2).

Proviamo un esempio più grande. Per tre variabili x, y e z, la matrice di covarianza è:

Questa matrice è simmetrica e gli elementi diagonali sono le varianze di ciascuna variabile. (Questo è vero perché la covarianza di una variabile con sé stessa è la varianza.)

Covarianza vs correlazione

Mentre la covarianza misura la direzione della relazione tra due variabili, non standardizza il risultato. La correlazione standardizza la covarianza in un valore compreso tra −1 e 1, rendendo più semplice interpretare l’intensità della relazione.

Esistono molte formule per il coefficiente di correlazione, ma una di queste è:

Dove:

• Cov⁡(x,y) è la covarianza tra le variabili x e y
• σ_x (pronunciato "sigma") è la deviazione standard di x
• σ_y è la deviazione standard di y

Altre cose da sapere

Quando lavori con la covarianza, tieni presenti questi aspetti comuni:

• La covarianza è sensibile alla scala delle variabili. Valori grandi possono gonfiare il risultato.
• La covarianza non indica l’intensità della relazione in modo standardizzato.
• I valori anomali (outlier) possono influenzare significativamente il calcolo della covarianza.

Valuta sempre se standardizzare i dati o usare la correlazione per un’interpretazione più chiara.

Conclusione

La covarianza è uno strumento statistico fondamentale per capire come le variabili si muovono insieme. Conoscere la covarianza è essenziale per comprendere davvero le relazioni nei tuoi dati. Se alcuni aspetti non ti sono ancora chiari, abbiamo le risorse giuste per aiutarti: iscriviti oggi stesso: 

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