Matriz Hessiana: Um guia para derivados de segunda ordem em otimização e além

Quando falamos de otimização, treinamento de modelos ou compreensão da curvatura de uma superfície de perda, geralmente nos vêm à mente funções de custo e gradientes. Embora a função de custo explique o desempenho do nosso modelo, o gradiente, que é sua primeira derivada, aponta na direção da mudança mais acentuada para reduzir a perda. Mas os gradientes nos informam apenas a inclinação e não como essa inclinação muda.

É nesse ponto que a matriz Hessiana, frequentemente negligenciada, torna-se importante. É uma matriz quadrada de derivadas parciais de segunda ordem de uma função de valor escalar que captura como o gradiente evolui, revelando a curvatura da superfície de perda. Na ciência de dados, ela se torna importante em tarefas que envolvem algoritmos de otimização avançados, diagnósticos de modelos, bem como para avaliar a estabilidade e a convergência de modelos de machine learning.

A matriz Hessiana generaliza o conceito da segunda derivada de funções de variável única para contextos multivariáveis. Ele codifica informações sobre a curvatura local de uma função para quantificar como a função se dobra ou se curva perto de um determinado ponto. Ele ajuda a analisar pontos críticos, como mínimos, máximos e pontos de sela, e orienta técnicas avançadas de otimização numérica.

O foco deste artigo é entender a matriz Hessiana, que ajuda a entender como os algoritmos de otimização se comportam e com que rapidez eles convergem. É particularmente útil ao lidar com modelos complexos que envolvem muitas variáveis. Para aqueles que estão familiarizados com vetores de gradiente e matrizes Jacobianas, o Hessiano é a próxima etapa. Ele informa a você como as funções se comportam no espaço de alta dimensão.

O que é a matriz Hessiana?

Dê uma olhada nessa equação comouma função escalar com valor duas vezes diferenciável:

Isso significa que essa função pode ser diferenciada duas vezes e retorna um número únicole. A matriz Hessiana de f, denominada _Hf(x), é umamatriz quadrada n x n que contém todas as derivadas parciais de segunda ordem de f.

Formalmente, cada elemento da matriz Hessiana é definido como:

Isso significa que o Hessiano nos informa como o gradiente (primeira derivada) de uma função muda em relação a cada variável de entrada.

Se todas as segundas derivadas parciais de f forem contínuas em alguma vizinhança ao redor de um ponto, o teorema de Clairaut (também chamado de teorema de Schwarz) nos diz que as derivadas parciais mistas são iguais, ou seja, a ordem de diferenciação não importa:

Essa propriedade de simetria significa que a matriz Hessiana é simétrica nesses casos.

É importante ressaltar que a matriz Hessiana só é definida para funções com valor escalar, ou seja, as funções que retornam um único número. Ao lidar com funções de valor vetorial, você pode fazer o seguinte:

então o conceito da segunda derivada se estende a um tenso de terceira ordemr em vez de uma matriz. Esse tensor captura como cada componente de saída de F muda com cada par de entradas.

Seja ^Rn -> R uma função de valor escalar duas vezes diferenciável. A matriz Hessiana de f é a matriz n x n definida como:

Cada elemento _Hij é a segunda derivada parcial:

Exemplo de matriz Hessiana

Considere a função:

Derivados parciais de primeira ordem:

Derivados parciais de segunda ordem:

Matriz Hessiana

Avalie em (x,y) = (1,1)

Discriminante

Um discriminante negativo implica que o ponto crítico é um ponto de sela. Confira a técnica do ponto de sela em nosso curso, Introduction to Optimization in Python, para ensinar aplicações práticas do Hessiano.

Aqui está o mesmo exemplo implementado em Python:

import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x y')
f = x**3 - 2*x*y - y**6

# Compute gradient
grad_f = [sp.diff(f, var) for var in (x, y)]

# Compute Hessian
hessian_f = sp.hessian(f, (x, y))

# Evaluate at point (1,1)
eval_hessian = hessian_f.subs({x: 1, y: 1})
determinant = eval_hessian.det()

print("Gradient:")
sp.pprint(grad_f)
print("")
print("Hessian matrix:")
sp.pprint(hessian_f)
print("")
print("Hessian at (1,1):")
sp.pprint(eval_hessian)
print("")
print("Discriminant:", determinant)

Esse código usa diferenciação simbólica para calcular a matriz Hessiana e avaliá-la em um ponto específico. Ferramentas como o SymPy servem como uma "calculadora de matriz Hessiana" prática para fins educacionais e de pesquisa aplicada.

Teste discriminante e de segunda derivada

O teste da segunda derivada em várias dimensões classifica os pontos críticos usando a matriz Hessiana:

Seja _X0 um ponto crítico em que issoé verdadeiro.

Seja o Hessiano

A interpretação depende da definição do Hessiano:

• Definição positiva (todos os valores próprios > 0): _X0 é um mínimo local.
• Definição negativa (todos os valores próprios < 0): _X0 é um máximo local.
• Indefinido (valores próprios de sinal misto): _X0 é um ponto de sela.
• Singular (determinante zero): O teste é inconclusivo.

Vamos entender isso com exemplos desses quatro casos:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import symbols, diff, hessian, lambdify

# Define symbols
x, y = symbols('x y')

# List of 4 functions for different discriminant cases
functions = [
    ("x**2 + y**2", "Positive definite (local minimum)"),
    ("-x**2 - y**2", "Negative definite (local maximum)"),
    ("x**2 - y**2", "Indefinite (saddle point)"),
    ("x**4 + y**4", "Zero determinant (inconclusive)")
]

# Prepare plots
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 10))
axes = axes.ravel()

for i, (func_str, title) in enumerate(functions):
    f = eval(func_str)
    
    # Compute gradients and Hessian
    fx = diff(f, x)
    fy = diff(f, y)
    H = hessian(f, (x, y))
    
    # Evaluate Hessian at (0,0) (critical point for all these functions)
    H0 = H.subs({x: 0, y: 0})
    det_H0 = H0.det()
    fxx0 = H0[0, 0]
    
    # Classification
    if det_H0 > 0 and fxx0 > 0:
        classification = "Local Minimum"
    elif det_H0 > 0 and fxx0 < 0:
        classification = "Local Maximum"
    elif det_H0 < 0:
        classification = "Saddle Point"
    else:
        classification = "Inconclusive"

    # Prepare function for plotting
    f_lamb = lambdify((x, y), f, 'numpy')
    X, Y = np.meshgrid(np.linspace(-2, 2, 100), np.linspace(-2, 2, 100))
    Z = f_lamb(X, Y)

    # Plot
    ax = axes[i]
    cp = ax.contourf(X, Y, Z, levels=50, cmap='coolwarm')
    ax.set_title(f"{title}\n{func_str}\nDet(H)={det_H0}, fxx={fxx0} → {classification}")
    ax.plot(0, 0, 'ko')  # critical point
    fig.colorbar(cp, ax=ax)

plt.tight_layout()
plt.show()

No gráfico de contorno acima, a altura aumenta de "Azul", que é a mais baixa, para "Vermelho", que é a mais alta.

Esse teste é uma extensão do teste da segunda derivada para funções de variável única e é discutido juntamente com tópicos como séries de Taylor e otimização convexa.

A matriz Hessiana na otimização

A matriz Hessiana surge naturalmente naexpansão de Taylorde segunda ordemde uma função escalar:

Essa aproximação quadrática permite que os métodos do tipo Newton encontrem pontos críticos com eficiência. O método de Newton atualiza as variáveis de acordo com:

Em configurações de alta dimensão, o cálculo e o armazenamento do Hessiano completo podem ser computacionalmente caros. Por esse motivo, os métodos quase-Newton, como o BFGS e o L-BFGS, aproximam o Hessiano iterativamente usando diferenças de gradiente.

Além disso, o produto vetorial Hessiano _Hv pode ser aproximado sem calcular a matriz completa usando diferenças finitas:

Essa aproximação é particularmente útil em estruturas de aprendizagem profunda que aproveitam a diferenciação automática.

Aplicações em machine learning e ciência de dados

No machine learning, a matriz Hessiana fornece informações sobre a curvatura do cenário de perdas:

• Em redes neurais, a análise do Hessiano pode revelar a presença de pontos de sela e regiões planas.
• Em problemas de otimização convexa, o Hessian ajuda a verificar a convexidade e orienta os solucionadores de segunda ordem.
• Nos modelos de ajuste fino, o conhecimento do Hessiano ajuda a adaptar as taxas de aprendizado com base na curvatura local.

Além da otimização, o Hessiano é usado em:

• Diagnósticos estatísticos (por exemplo, matriz de informações de Fisher na estimativa de máxima verossimilhança).
• A visão computacional, como o detector de bolhas Determinant of Hessian (DoH), é usada para a detecção de recursos.
• Dinâmica molecular, especialmente em análise de modo normal para espectros vibracionais.

Ao compreender o Hessiano, você pode ir além da descida de gradiente e aplicar algoritmos mais sofisticados, como o BFGS, usado em cursos como o Machine Learning Fundamentals in Python. Essas técnicas dependem de tópicos avançados de cálculo, como séries de Taylor e álgebra matricial.

Conclusão

A matriz Hessiana encapsula informações de segunda ordem sobre funções com valor escalar e fornece uma estrutura rica para analisar a curvatura, identificar pontos críticos e resolver problemas de otimização. Enquanto os gradientes orientam a direção, o Hessiano refina a compreensão da forma e da nitidez, especialmente em problemas de alta dimensão comuns no machine learning.

Para os profissionais que já estão familiarizados com jacobianos e gradientes, o domínio do Hessiano oferece uma visão mais completa do comportamento do algoritmo e da estrutura do problema.