ARIMAX: Dış Değişkenlerle Zaman Serisi Nasıl Tahmin Edilir

Diyelim ki aylık elektrik talebini tahmin ediyorsunuz. Serinin otokorelasyonunu ve trendini yakalayan sağlam bir ARIMA modeliniz var. Sonra bir sıcak hava dalgası geliyor ve tahmininiz %15 sapıyor. Seri değişmedi; hava durumu değişti. ARIMAX tam da bu durum için geliştirildi: serinin kendi geçmişi kadar dış etkenlerin de dalgalanmayı yönlendirdiği zaman serisi tahmini.

ARIMAX nedir, ARIMA ve SARIMAX’ten nasıl farklıdır ve hangisini ne zaman tercih etmek mantıklıdır konularını ele alacağız. Ayrıca veri hazırlama, model kurma, tanılayıcı kontroller ve tahmin değerlendirmesini kapsayan tam bir Python uygulamasını adım adım göstereceğiz ki öğrendiklerinizi uygulayabilesiniz.

ARIMAX Nedir?

ARIMAX, Dışsal (Exogenous) değişkenlerle Otoregresif Bütünleşik Hareketli Ortalama anlamına gelir. Bu, hedef serinin dışından gelen yordayıcıları da kabul eden bir ARIMA modelidir. Akla gelen örnekler: reklam harcaması, sıcaklık, promosyon bayrakları, faiz oranları.

Genel gösterim, bir veya daha fazla dışsal değişkenli ARIMAX(p, d, q) şeklindedir. p, d ve q parametreleri ARIMA’dakiyle aynıdır: otoregresif derecesi, fark alma derecesi ve hareketli ortalama derecesi. "X", hedefi etkilediğini düşündüğünüz ek sütunları geçebileceğiniz anlamına gelir. Şimdiden değinmeye değer bir nokta: bazı yazılım paketleri ARIMAX’i, dış değişkenleri doğrudan AR girdileri olarak ele almak yerine ARIMA hatalı bir regresyon modeli olarak uygular. Ayrım matematiksel olarak ince olsa da katsayıları yorumlama biçiminiz açısından önemlidir. statsmodels çıktısına bakarken buna döneceğiz.

ARIMAX Nasıl Çalışır

ARIMAX iki şeyi birleştirir: serinin kendi hafızasını ve dış değişkenlerin açıklayıcı gücünü.

AR, I ve MA bileşenleri

AR (otoregresif) bileşeni, mevcut değeri tahmin etmek için hedef serinin gecikmeli değerlerini kullanır. Geçen ayın satışları yüksekse bunun önemi vardır.

I (bütünleşik) bileşeni, eğilimleri veya birim kökleri gidermek ve seriyi durağanlaştırmak için fark alır.

MA (hareketli ortalama) bileşeni, modelin sistematik olarak yaptığı hataları düzeltmek için geçmiş tahmin hatalarını kullanır.

Birlikte, bu üç unsur tipik bir zaman serisini yönlendiren unsurların çoğunu ele alır: eğilimler, döngüler ve artıkdaki otokorelasyon.

Dışsal değişkenler nerede devreye girer

Dışsal değişkenler, serinin kendi geçmişinin sağlayamayacağı bilgileri katar. Satışları tahmin ediyorsanız, geçmiş satışlar size tipik desenler hakkında bilgi verir. Ancak bir fiyat indirimi ya da piyasaya yeni bir rakibin girmesi yeni bir bilgidir. Model, hatalardaki otokorelasyonu aynı anda hesaba katarak her dışsal yordayıcı için bir katsayı tahmin eder.

Pratik okuması şu: Hedef seriniz kendi geçmiş değerleriyle iyi açıklanıyorsa ve güvenilir dış yordayıcılarınız yoksa, düz ARIMA muhtemelen yeterlidir. Ancak dış etkenlerin devrede olduğunu biliyor ve bu yordayıcıların gelecekteki değerlerine gerçekten sahip olacaksanız, ARIMAX genelde daha doğru tahminler verir.

ARIMA vs. ARIMAX vs. SARIMAX

SARIMAX, SARIMA'yı dışsal değişkenler ekleyerek genişletir. Pratikte, Python’daki ARIMAX uygulamalarının çoğu, mevsimsel sıralaması sıfıra ayarlanmış statsmodels’daki SARIMAX() üzerinden gider.

Bu bir geçici çözüm değildir. Standart yaklaşımdır. Seriniz belirgin bir mevsimsel desene sahipse ya da dışsal yordayıcılara ihtiyacınız varsa SARIMAX iyi bir ilk tercihtir; ikisini de temiz bir şekilde ele alır. Bir uyarı: "ARIMAX" ve "SARIMAX" her kütüphanede birbirinin yerine geçmez. Bazı paketlerde, mevsimsel terimi olmayan SARIMAX ile ARIMAX işlevsel olarak aynıdır. Başkalarında, dışsal değişkenlerin olasılık fonksiyonuna nasıl girdiği bakımından farklıdırlar. Kullandığınız aracın dokümantasyonunu kontrol edin.

ARIMAX Ne Zaman Kullanılır

Genellikle tek bir şeye bağlıdır: hedefi makul biçimde etkileyen dış yordayıcılarınız var mı ve tahmin zamanı geldiğinde bunların gelecekteki değerleri elinizde olacak mı?

ARIMAX’in değer kattığı durumlar

İyi adaylara, promosyon bayrakları veya fiyat değişimleriyle satış tahmini, sıcaklık girdileriyle enerji talebi, kampanya harcamasıyla web trafiği ve faiz oranı verileriyle birlikte ekonomik göstergeler dahildir. Her durumda, dışsal değişken seri’nin kendi başına üretemeyeceği bilgi sağlar.

Düz ARIMA, dışsal yordayıcılar mevcut değilse, güvenilir değilse veya örnek dışı doğruluğu artırmıyorsa yeterli olabilir. Sinyal içermeyen ama gürültü katan yordayıcılar eklemek işe yaramaz. Daha fazla girdi, daha iyi tahminleri garanti etmez. Bir yordayıcıyı dahil etmeden önce ayrılmış veri üzerinde değerlendirin.

Nedensellik üzerine bir not

Bir yordayıcı ile hedef arasındaki ilişki nedenselliği kanıtlamaz. ARIMAX bir tahminleme çerçevesidir; ilişkileri tahmin eder. Reklam harcaması Aralık’ta hem reklam hem satış arttığı için satışlarla korele olabilir; model bunu yakalayabilir ama artışa reklamın neden olduğunu söylemez. Sadece sonuçları tahmin etmekten ziyade kararları bilgilendirmek için tahmin kullanıyorsanız bu ayrım önemlidir. Sonuçları sunarken bunu açıkça belirtmeye değer.

Python’da ARIMAX Modeli Nasıl Kurulur

Şimdi uygulamaya geçelim.

Yeniden üretilebilir bir örnek kullanacağız: dışsal yordayıcılar olarak sıcaklık (°C) ve promosyon bayrağı ile aylık dondurma satışı (satılan birim). Veri kümesi 48 ayı kapsıyor; 36 ay eğitim, 12 ay değerlendirme için ayrıldı.

Veriyi hazırlayın

Önce tutarlı bir aylık tarih indeksine sahip bir DataFrame yükleyin veya oluşturun. Hedef değişkeninizi ve dışsal sütunlarınızı belirleyin, ardından her şeyi tarihe göre hizalayın. Bölmeden önce eksik değerleri yönetin. Eğitim/test sınırı boyunca imputasyon yapmayın; bu sızıntı yaratır.

Erken benimsemeniz gereken kural: eğitim sırasında geçtiğiniz hangi dışsal değerler varsa, tahmin zamanında bunların eşdeğer gelecek değerlerine ihtiyaç duyacaksınız. Geleceğe dönük sıcaklık tahminleriniz yoksa sıcaklığı yordayıcı olarak kullanamazsınız. Bu küçük bir dipnot değil; pek çok adayı eler.

import pandas as pd
import numpy as np
from statsmodels.tsa.statespace.sarimax import SARIMAX
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
from sklearn.metrics import mean_absolute_error

# Construct a sample monthly dataset
np.random.seed(42)
dates = pd.date_range(start="2020-01", periods=48, freq="MS")
temperature = 15 + 10 * np.sin(np.linspace(0, 4 * np.pi, 48)) + np.random.normal(0, 1, 48)
promotion = np.where((np.arange(48) % 6 == 0), 1, 0)
sales = (
    500
    + 8 * temperature
    + 150 * promotion
    + np.cumsum(np.random.normal(0, 10, 48))
)

df = pd.DataFrame({"sales": sales, "temperature": temperature, "promotion": promotion}, index=dates)

# Train/test split
train = df.iloc[:36]
test = df.iloc[36:]

statsmodels tahmini için genellikle ölçekleme gerekmez, ancak yordayıcılar çok farklı ölçeklerdeyse sayısal kararlılığa yardımcı olur. Ölçekleyip ölçeklememek bir muhakeme meselesidir.

Seriyi ve yordayıcıları kontrol edin

Model parametrelerini seçmeden önce hedef seriyi görsel olarak inceleyin ve bir durağanlık testi çalıştırın. Augmented Dickey-Fuller (ADF) testi standarttır. 0,05’in altındaki bir p-değeri serinin durağan olduğunu ve muhtemelen fark almaya (d=0) ihtiyaç duymadığını düşündürür. Serinin belirgin bir trendi varsa genellikle d=1 ayarlanır. Testler tek başına değil; alan bilgisi ve görsel inceleme de önemlidir.

Yordayıcılarınızı da kontrol edin: hedefle hizalılar mı? Bir yordayıcının tahmin tarihinden sonra ölçülmesi ihtimali var mı? Ay başlamadan belirlenen bir promosyon bayrağı uygundur. O aydaki gelir değildir.

Aday parametreleri seçin ve modeli kurun

ACF ve PACF grafikleri p ve q için aday değerler önermek konusunda yardımcı olur. PACF’de gecikme 1’de anlamlı bir sivrilme ve ACF’de sönümlenme genelde AR(1)’i, tersi MA(1)’i işaret eder. Eğitim verisi üzerinde AIC veya BIC kullanarak küçük bir aday kümesini karşılaştırın ve test setini sadece nihai değerlendirme için saklayın.

# Fit ARIMAX(1,1,1) via SARIMAX with no seasonal order
exog_train = train[["temperature", "promotion"]]
exog_test = test[["temperature", "promotion"]]

model = SARIMAX(
    train["sales"],
    exog=exog_train,
    order=(1, 1, 1),
    seasonal_order=(0, 0, 0, 0),
    trend="n"
)
result = model.fit(disp=False)
print(result.summary())

summary() çıktısı, ARIMA katsayılarını dışsal değişken katsayılarıyla birlikte gösterir. Sıcaklık katsayısı, serinin kendi ivmesini otoregresif yapı hesaba kattıktan sonra, sıcaklıkta bir derecelik artışın satış düzeyinde ne kadar bir değişimle ilişkili olduğunu söyler. Bilinmeye değer bir nokta: statsmodels, regresyon-ARIMA-hataları formülasyonunu kullanır; bu, fark almanın (d=1) doğrudan regresyon denklemine değil, hata sürecine uygulandığı anlamına gelir. Katsayı, d’den bağımsız olarak satış düzeyi üzerindeki etkiyi temsil eder. Bazı diğer paketlerde kullanılan transfer-fonksiyonu ARIMAX formülasyonunda d=1, katsayıların düzeyler yerine değişimler üzerindeki etkileri yansıttığı anlamına gelir. Bu ayrım kafa karıştırabilir; bu yüzden hangi aracı kullanıyorsanız dokümantasyonunu kontrol etmeye değer.

Artıkları kontrol edin ve tahminleri değerlendirin

Artıklar beyaz gürültü gibi görünmelidir. Artık ACF grafiğinde kalan otokorelasyon olup olmadığına bakın. Anlamlı sivrilmeler, modelin bir yapıyı kaçırdığını gösterir. Mevsimsel gecikmelerde sistematik desenler görürseniz, mevsimsel sırayla SARIMAX’e geçin.

# Generate out-of-sample predictions
predictions = result.forecast(steps=12, exog=exog_test)

# Evaluate
mae = mean_absolute_error(test["sales"], predictions)

# Naive baseline: forecast each period using the previous period's actual value
naive_forecast = np.concatenate([[train["sales"].iloc[-1]], test["sales"].values[:-1]])
naive_mae = mean_absolute_error(test["sales"], naive_forecast)

print(f"ARIMAX MAE: {mae:.1f}")
print(f"Naive MAE:  {naive_mae:.1f}")

ARIMAX MAE’yi, naif bir temel modele (bir önceki dönemin değerini tahmin olarak kullanma) karşı kıyaslayın. ARIMAX test setinizde naif modeli geçmiyorsa bu anlamlı bir bulgudur. Eklenen karmaşıklık haklı değildir. Bunu beklediğinizden daha sık gördüm; özellikle de dışsal yordayıcılar örnek içi göründüğünden daha gürültülü olduğunda.

Gelecek değerleri tahmin edin

Eğitim döneminin ötesine tahmin yapmak, örnek dışı değerlendirmeyle aynı şekilde çalışır: forecast() çağrısıyla birlikte geleceğe dönük dışsal değerleri sağlayın. Promosyon bayrakları için bu genelde basittir; promosyon takvimini önceden bilirsiniz. Sıcaklık için tipik olarak bir hava tahmini ya da tarihsel mevsimsel ortalamalar kullanırsınız.

Şunu net tutun: statsmodels’ın döndürdüğü güven aralıkları, sağladığınız yordayıcı değerlerine koşulludur. Bu aralıklar, bu yordayıcılardaki belirsizliği hesaba katmaz. Sıcaklık tahmininiz belirsizse, gerçek tahmin belirsizliği bu aralıkların önerdiğinden daha geniştir. Buna göre hareket edecek kişilere sonuç sunarken iletmeye değer.

Yaygın Zorluklar ve Sınırlamalar

Yukarıdaki uygulama sorunsuz yolu kapsar. İşlerin bozulma eğiliminde olduğu yerler şunlar.

• Gelecek yordayıcılar bilinmeyebilir: Bu en yaygın pratik engeldir. Dışsal değişkenlerinizin gelecekteki değerlerini güvenilir biçimde elde edemiyorsanız, onları kullanamazsınız. Yarınki sıcaklıkla enerji talebini tahmin etmek, dünün değil, bir sıcaklık tahminini gerektirir.
• Yordayıcılar bilgi sızdırabilir: Tahmin tarihinden sonra ölçülen bir değişken, örnek içi değerlendirmenizi gerçekte olduğundan çok daha iyi gösterebilir. Yordayıcılarınızın gerçekte hangi zaman damgalarına karşılık geldiği konusunda dikkatli olun.
• İlişkiler değişebilir: Tarihsel veriler üzerinde tahmin edilen katsayılar ileriye dönük geçerli olmayabilir. İki yıl boyunca istikrarlı olan bir fiyat esnekliği, bir piyasa şokundan sonra değişebilir ve 2024 ile 2025 bu olguyu eskisinden daha az teorik hissettirecek kadar çok şok üretti. Modeli periyodik olarak yeniden tahmin etmek iyi bir uygulamadır.
• Korelasyonlu yordayıcılar yorumu zorlaştırır: Yüksek derecede çoklu doğrusal girdiler, tek tek katsayı tahminlerini kararsız hale getirebilir. Bu her zaman tahmin doğruluğuna zarar vermez ama hangi yordayıcının işi yaptığını söylemeyi zorlaştırır.
• Daha fazla girdi daha iyi tahmin garantisi değildir: Her önerilen yordayıcıyı, ayrılmış veri üzerinde bir temele karşı değerlendirin. Örnek içinde bilgi verici görünen bazı özellikler, örnek dışında gürültü katar.
• Mevsimsellik, mevsimsel terimler gerektirir: Seriniz tutarlı bir mevsimsel desene sahipse, örneğin Aralık zirveli aylık satışlar, mevsimsel sırayla SARIMAX doğru seçimdir. Tek başına ARIMAX bunu yakalamaz.
• Nedensellik kurulmaz: Tekrar etmeye değer: ARIMAX bir tahminleme çerçevesidir, nedensel çıkarım yöntemi değildir. Ek bir analiz olmadan katsayı işaretlerini nedensel iddialara dönüştürmeyin.

Sonuç

ARIMAX, hedefi gerçekten etkileyen dış etkenleriniz olduğunda ve tahmin anında bunların gelecekteki değerlerini sağlayabildiğinizde yerini hak eder. ARIMA’nın doğal bir uzantısıdır, ikamesi değil. Seriniz uslu ve güvenilir yordayıcılarınız yoksa, genellikle düz ARIMA daha iyi bir başlangıç noktasıdır. Değişken eklemek ilerleme gibi hissettirir. Bazen öyle değildir.

İş akışı iyi yapılan dört şeye indirgenir:

1. yordayıcılarınızı doğru hizalayın,
2. değerlendirmeden önce sızıntı olup olmadığını kontrol edin,
3. gerçekten ayrılmış veri üzerinde doğrulayın ve
4. her zaman basit bir temel modele karşı kıyaslayın.

Naif bir tahmini kıl payı geçen bir ARIMAX modeli, naif bir tahminden daha iyi değildir. Sadece daha pahalıdır.

Zaman serisi temellerine daha derin inmek isterseniz, Python ile Zaman Serisi Analizi kursumuz ARIMA, durağanlık ve tanılayıcı kontrolleri ayrıntılı biçimde ele alır. statsmodels tarafı için, Python’da statsmodels ile Regresyona Giriş kursumuz, model özetlerini yorumlarken ve artıkları kontrol ederken ihtiyaç duyacağınız istatistiksel sezgiyi kazandırır.