ARIMAX: So prognostizierst du Zeitreihen mit externen Variablen

Stell dir vor, du prognostizierst den monatlichen Strombedarf. Dein ARIMA-Modell bildet Autokorrelation und Trend der Serie sauber ab. Dann kommt eine Hitzewelle, und deine Prognose liegt 15% daneben. Die Serie hat sich nicht geändert – das Wetter schon. Genau für solche Fälle ist ARIMAX gemacht: Zeitreihenprognosen, wenn externe Faktoren mindestens so viel Variation treiben wie die eigene Historie der Serie.

Wir schauen uns an, was ARIMAX ist, wie es sich von ARIMA und SARIMAX unterscheidet und wann welches Modell sinnvoll ist. Außerdem gehen wir eine vollständige Python-Implementierung durch – von der Datenaufbereitung über das Fitten und die Diagnose bis zur Prognosebewertung – damit du das Gelernte direkt anwenden kannst.

Was ist ARIMAX?

ARIMAX steht für AutoRegressive Integrated Moving Average with eXogenous variables. Es ist ein ARIMA-Modell, das zusätzlich externe Eingaben akzeptiert – also Prädiktoren außerhalb der Zielserie selbst. Typische Beispiele: Werbeausgaben, Temperatur, Promotions-Flags, Zinssätze.

Die übliche Notation ist ARIMAX(p, d, q) mit einem oder mehreren exogenen Regressoren. Die Parameter p, d und q bedeuten dasselbe wie bei ARIMA: autoregressiver Grad, Differenzierungsgrad und Moving-Average-Ordnung. Das "X" heißt, dass du zusätzliche Spalten übergeben kannst, von denen du glaubst, dass sie die Zielvariable beeinflussen. Ein wichtiger Hinweis vorab: Manche Software implementiert ARIMAX als Regressionsmodell mit ARIMA-Fehlern statt exogene Variablen als direkte AR-Eingänge zu behandeln. Mathematisch ist der Unterschied subtil, für die Interpretation der Koeffizienten aber relevant. Darauf kommen wir zurück, wenn wir uns die statsmodels-Ausgabe ansehen.

So funktioniert ARIMAX

ARIMAX verbindet zwei Dinge: das Gedächtnis der Serie selbst und die Erklärungskraft externer Variablen.

Die AR-, I- und MA-Komponenten

Die AR-Komponente (autoregressiv) nutzt verzögerte Werte der Zielserie, um den aktuellen Wert zu schätzen. Wenn der Umsatz im Vormonat hoch war, zählt das.

Die I-Komponente (integriert) differenziert die Serie, um Trends oder Einheitswurzeln zu entfernen und sie stationär zu machen.

Die MA-Komponente (Moving Average) nutzt vergangene Prognosefehler, um systematische Modellfehler zu korrigieren.

Zusammen erfassen diese drei Elemente vieles, was typische Zeitreihen antreibt: Trends, Zyklen und Autokorrelation in den Residuen.

Wo exogene Variablen ins Spiel kommen

Exogene Variablen liefern Informationen, die die Historie der Serie nicht hergibt. Bei Umsatzprognosen verraten vergangene Umsätze Muster. Aber eine Preissenkung oder ein neuer Wettbewerber ist neue Information. Das Modell schätzt für jeden externen Prädiktor einen Koeffizienten und berücksichtigt gleichzeitig Autokorrelation in den Fehlern.

Praktisch heißt das: Wenn deine Zielserie sich gut aus ihren eigenen Vergangenheitswerten erklären lässt und du keine verlässlichen externen Prädiktoren hast, reicht oft ein schlichtes ARIMA. Weißt du hingegen, dass externe Faktoren eine Rolle spielen – und hast du deren künftige Werte wirklich zur Verfügung –, liefert ARIMAX in der Regel genauere Prognosen.

ARIMA vs. ARIMAX vs. SARIMAX

SARIMAX baut auf SARIMA auf, indem exogene Variablen hinzukommen. In der Praxis laufen die meisten Python-Umsetzungen von ARIMAX über SARIMAX() aus statsmodels, mit saisonaler Ordnung auf Null gesetzt.

Das ist kein Workaround, sondern Standard. SARIMAX ist eine gute erste Wahl, wenn deine Serie eine klare Saisonalität hat oder wenn du externe Regressoren brauchst – es kann beides sauber abbilden. Ein Vorbehalt: "ARIMAX" und "SARIMAX" sind nicht in jeder Bibliothek austauschbar. In manchen Paketen sind SARIMAX ohne saisonale Terme und ARIMAX funktional identisch. In anderen unterscheiden sie sich darin, wie exogene Variablen in die Likelihood eingehen. Schau dir die Doku deines Tools an.

Wann du ARIMAX einsetzen solltest

Meist hängt es an einer Frage: Hast du externe Prädiktoren, die die Zielvariable plausibel beeinflussen – und wirst du deren künftige Werte zum Prognosezeitpunkt haben?

Fälle, in denen ARIMAX Mehrwert bringt

Gute Kandidaten sind u. a. Umsatzprognosen mit Promotions-Flags oder Preisänderungen, Energienachfrage mit Temperatur, Website-Traffic mit Kampagnenausgaben und Konjunkturindikatoren zusammen mit Zinsdaten. In all diesen Fällen liefert die externe Variable Information, die die Serie allein nicht erzeugen kann.

Ein schlichtes ARIMA reicht, wenn externe Prädiktoren fehlen, unzuverlässig sind oder die Out-of-Sample-Genauigkeit nicht verbessern. Zusätzliche Prädiktoren ohne Signal, aber mit Rauschen helfen nicht. Mehr Eingaben garantieren keine besseren Prognosen. Prüfe jeden vorgeschlagenen Prädiktor auf einem echten Holdout, bevor du ihn übernimmst.

Ein Wort zur Kausalität

Ein Zusammenhang zwischen Prädiktor und Ziel belegt keine Kausalität. ARIMAX ist ein Prognoserahmen; er schätzt Assoziationen. Wenn Werbeausgaben mit Umsatz korrelieren, weil beides im Dezember steigt, erkennt das Modell das möglicherweise – es sagt dir aber nicht, dass Werbung die Ursache war. Das ist wichtig, wenn Prognosen Entscheidungen steuern sollen und nicht nur Ergebnisse vorhersagen. Benenne diesen Punkt explizit, wenn du Ergebnisse vorstellst.

So baust du ein ARIMAX-Modell in Python

Jetzt zur Umsetzung.

Wir nutzen ein reproduzierbares Beispiel: monatliche Eisverkäufe (Stück) mit Temperatur (°C) und einem Promotions-Flag als exogene Prädiktoren. Der Datensatz umfasst 48 Monate, aufgeteilt in 36 Monate Training und 12 Monate Evaluation.

Daten vorbereiten

Lade oder erstelle zunächst ein DataFrame mit einem konsistenten monatlichen Datumsindex. Lege die Zielvariable und die exogenen Spalten fest und richte alles nach Datum aus. Behandle fehlende Werte vor dem Split. Imputiere nicht über die Train/Test-Grenze hinweg – das würde Leakage erzeugen.

Eine Regel, die du dir früh einprägen solltest: Welche exogenen Werte du im Training übergibst, brauchst du in äquivalenter Form auch für künftige Prognosen. Wenn du keine Temperaturvorhersagen für die Zukunft bekommst, kannst du Temperatur nicht als Prädiktor nutzen. Das ist kein Nebensatz, sondern schließt viele Kandidaten aus.

import pandas as pd
import numpy as np
from statsmodels.tsa.statespace.sarimax import SARIMAX
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
from sklearn.metrics import mean_absolute_error

# Construct a sample monthly dataset
np.random.seed(42)
dates = pd.date_range(start="2020-01", periods=48, freq="MS")
temperature = 15 + 10 * np.sin(np.linspace(0, 4 * np.pi, 48)) + np.random.normal(0, 1, 48)
promotion = np.where((np.arange(48) % 6 == 0), 1, 0)
sales = (
    500
    + 8 * temperature
    + 150 * promotion
    + np.cumsum(np.random.normal(0, 10, 48))
)

df = pd.DataFrame({"sales": sales, "temperature": temperature, "promotion": promotion}, index=dates)

# Train/test split
train = df.iloc[:36]
test = df.iloc[36:]

Skalierung ist für die Schätzung mit statsmodels meist nicht nötig, kann aber bei sehr unterschiedlichen Skalen der Prädiktoren für numerische Stabilität sorgen. Ob du skalierst, ist eine Ermessensentscheidung.

Serie und Prädiktoren prüfen

Bevor du Modellparameter auswählst, inspiziere die Zielserie visuell und führe einen Stationaritätstest durch. Der Augmented-Dickey-Fuller-(ADF)-Test ist Standard. Ein p-Wert unter 0,05 deutet auf Stationarität hin und darauf, dass keine Differenzierung nötig ist (d=0). Hat die Serie einen klaren Trend, setzt man typischerweise d=1. Tests sind ein Input; Domänenwissen und visuelle Prüfung zählen ebenfalls.

Prüfe auch deine Prädiktoren: Sind sie zeitlich korrekt zur Zielvariable ausgerichtet? Besteht die Gefahr, dass ein Prädiktor erst nach dem Prognosedatum gemessen wird? Ein Promotions-Flag, das vor Monatsbeginn gesetzt wird, ist okay. Umsatz aus diesem Monat ist es nicht.

Kandidaten auswählen und Modell fitten

ACF- und PACF-Plots helfen, Kandidatenwerte für p und q vorzuschlagen. Ein signifikanter Peak bei Lag 1 in der PACF mit abklingender ACF spricht oft für AR(1); das Gegenbild für MA(1). Vergleiche eine kleine Menge an Kandidaten über AIC oder BIC auf den Trainingsdaten und hebe den Testsatz für die finale Bewertung auf.

# Fit ARIMAX(1,1,1) via SARIMAX with no seasonal order
exog_train = train[["temperature", "promotion"]]
exog_test = test[["temperature", "promotion"]]

model = SARIMAX(
    train["sales"],
    exog=exog_train,
    order=(1, 1, 1),
    seasonal_order=(0, 0, 0, 0),
    trend="n"
)
result = model.fit(disp=False)
print(result.summary())

Die summary()-Ausgabe zeigt die ARIMA-Koeffizienten neben den Koeffizienten der exogenen Variablen. Der Temperaturkoeffizient sagt dir, wie stark ein Anstieg um ein Grad mit einer Änderung des Verkaufsniveaus verbunden ist, nachdem die autoregressive Struktur die Eigendynamik der Serie berücksichtigt. Wichtig zu wissen: statsmodels nutzt eine Formulierung als Regression mit ARIMA-Fehlern. Das bedeutet, die Differenzierung (d=1) wird auf den Fehlerprozess angewendet, nicht auf die Regressionsgleichung selbst. Der Koeffizient beschreibt den Effekt auf das Niveau der Verkäufe unabhängig von d. In einer Transferfunktions-ARIMAX-Formulierung (die einige andere Pakete nutzen) würde d=1 bedeuten, dass Koeffizienten Effekte auf Veränderungen statt Niveaus reflektieren. Dieser Unterschied führt oft zu Verwirrung – also unbedingt die Doku deines Tools prüfen.

Residuen prüfen und Prognosen bewerten

Residuen sollten wie weißes Rauschen aussehen. Prüfe die Residuen-ACF auf verbleibende Autokorrelation. Signifikante Peaks bedeuten, dass dem Modell Struktur entgeht. Siehst du systematische Muster auf saisonalen Lags, wechsle zu SARIMAX mit saisonaler Ordnung.

# Generate out-of-sample predictions
predictions = result.forecast(steps=12, exog=exog_test)

# Evaluate
mae = mean_absolute_error(test["sales"], predictions)

# Naive baseline: forecast each period using the previous period's actual value
naive_forecast = np.concatenate([[train["sales"].iloc[-1]], test["sales"].values[:-1]])
naive_mae = mean_absolute_error(test["sales"], naive_forecast)

print(f"ARIMAX MAE: {mae:.1f}")
print(f"Naive MAE:  {naive_mae:.1f}")

Vergleiche die ARIMAX-MAE mit einer naiven Basislinie (der Vorwert als Prognose). Wenn ARIMAX dein naives Modell auf dem Testset nicht schlägt, ist das eine Aussage. Die zusätzliche Komplexität lohnt sich dann nicht. Das passiert öfter als man denkt, insbesondere wenn die exogenen Prädiktoren außerhalb der Stichprobe rauschiger sind als im Training.

Zukünftige Werte prognostizieren

Prognosen über den Trainingszeitraum hinaus funktionieren wie die Out-of-Sample-Evaluation: Übergib künftige exogene Werte zusammen mit dem forecast()-Aufruf. Promotions-Flags sind meist unkompliziert, da du den Promotionskalender kennst. Für Temperatur nutzt du üblicherweise eine Wetterprognose oder historische saisonale Durchschnitte.

Wichtig: Die Konfidenzintervalle von statsmodels sind bedingt auf die von dir gelieferten Prädiktorwerte. Unsicherheit in diesen Prädiktoren wird nicht abgebildet. Ist deine Temperaturprognose unsicher, sind die realen Prognoseintervalle breiter als angegeben. Das solltest du kommunizieren, wenn andere auf Basis deiner Ergebnisse handeln.

Häufige Herausforderungen und Grenzen

Die obige Umsetzung ist der Idealfall. Hier bricht es in der Praxis oft:

• Zukünftige Prädiktorwerte sind unbekannt: Das ist die häufigste praktische Hürde. Ohne verlässliche künftige Werte deiner exogenen Variablen kannst du sie nicht nutzen. Energienachfrage mit morgiger Temperatur zu prognostizieren, erfordert eine Temperaturvorhersage – nicht die von gestern.
• Prädiktoren können leaken: Variablen, die erst nach dem Prognosedatum gemessen werden, können deine In-Sample-Bewertung künstlich aufhübschen. Achte genau darauf, welche Timestamps deine Prädiktoren wirklich haben.
• Beziehungen können sich ändern: Auf historischen Daten geschätzte Koeffizienten müssen nicht in die Zukunft halten. Preiselastizitäten, die zwei Jahre stabil waren, können sich nach Marktschocks verschieben – davon hatten 2024 und 2025 genug. Das Modell regelmäßig neu zu schätzen ist sinnvoll.
• Korrelation zwischen Prädiktoren erschwert die Interpretation: Stark kollineare Inputs machen einzelne Koeffizientenschätzungen instabil. Das schadet der Prognosegüte nicht zwingend, erschwert aber die Aussage, welcher Prädiktor wirklich wirkt.
• Mehr Inputs bedeuten nicht automatisch bessere Prognosen: Bewerte jeden vorgeschlagenen Prädiktor gegen eine Basislinie auf einem Holdout. Manche Features wirken in-sample informativ, fügen out-of-sample aber nur Rauschen hinzu.
• Saisonalität braucht saisonale Terme: Hat deine Serie ein konsistentes saisonales Muster, etwa monatliche Umsätze mit Dezember-Spitze, ist SARIMAX mit saisonaler Ordnung die richtige Wahl. ARIMAX allein fängt das nicht ein.
• Kausalität ist nicht belegt: Zur Erinnerung: ARIMAX ist ein Prognoserahmen, kein Verfahren für Kausalinferenz. Ziehe aus Vorzeichen von Koeffizienten keine kausalen Schlüsse ohne zusätzliche Analysen.

Fazit

ARIMAX zahlt sich aus, wenn externe Faktoren die Zielvariable wirklich beeinflussen und du deren künftige Werte zur Prognosezeit liefern kannst. Es ist eine natürliche Erweiterung von ARIMA, kein Ersatz. Ist deine Serie unkompliziert und hast du keine verlässlichen Prädiktoren, ist ein schlichtes ARIMA meist der bessere Einstieg. Variablen hinzuzufügen fühlt sich nach Fortschritt an. Manchmal ist es keiner.

Der Ablauf lässt sich auf vier Dinge herunterbrechen:

1. Richte deine Prädiktoren korrekt aus,
2. prüfe vor der Bewertung auf Leakage,
3. validiere auf echtem Holdout, und
4. vergleiche immer mit einer einfachen Basislinie.

Ein ARIMAX, das eine naive Prognose nur knapp schlägt, ist nicht besser als die naive Prognose. Es ist nur teurer.

Wenn du bei den Zeitreihen-Grundlagen tiefer einsteigen willst, deckt unser Time Series Analysis in Python-Kurs ARIMA, Stationarität und Diagnostik ausführlich ab. Für die statsmodels-Perspektive vermittelt unser Kurs Introduction to Regression with statsmodels in Python das statistische Verständnis, das du für die Interpretation von Modellsummaries und die Residuenprüfung brauchst.