R 公式教程

细想一下，R 中有许多函数都会用到公式：ggplot2、stats、lattice 和 dplyr 等包都用到了它们！在使用 glm()、lm()、facet_wrap() 等函数时，您常常会用到这些 R 对象。那么，这些公式究竟是什么？为什么要使用它们？

R 中的数据结构

由于公式是 R 编程语言中的一种特殊类，先简要回顾一下这门语言可用的数据类型和数据结构是很有必要的。

请记住，R 是一门面向对象的编程语言：语言围绕对象组织。一切皆对象。

从头开始：在编程中，您通过数据结构来存储数据，通过函数来处理数据。数据结构是对计算机内存中数据进行组织的接口。正如 R 语言定义 所述，R 不提供对计算机内存的直接访问，而是提供了若干可称为“对象”的专用数据结构。每种数据结构都旨在优化存储、访问或处理的某一方面。

R 中五种主要的数据结构是：

• 原子向量，
• 列表，
• 矩阵，
• 数据框，以及
• 数组

# Create variables
a <- c(1,2,3,4,5,6,7,8,9)

b <- list(x = LifeCycleSavings[,1], y = LifeCycleSavings[,2])
技术支持

提示：您可以使用 typeof() 函数返回 R 对象的类型。对象的类型能告诉您更多关于对象（R 内部）类型或存储模式的信息：

# Retrieve the types of `a` and `b`
typeof(a)

typeof(b)
技术支持

'double'

'list'

在上面的示例中，您定义了变量 a 和 b，可以看到这些数据结构都包含数据元素的序列。这些元素可以是相同或不同的数据类型。R 中有以下 6 种原子数据类型：

• numeric，例如 100、5、4，包括整数；
• character，例如 "Hello"、"True" 或 "23.4"，由键盘字符组成的字符串；
• logical，例如 TRUE 或 FALSE，由“真值”组成；
• raw，例如 48 65 6c 6c 6f，由比特组成；
• complex，例如 2+5i，包含复数；最后，
• double，例如 3.14，包含小数。

R 中几乎所有对象都有附加的属性。例如，您也许已经知道，矩阵和数组本质上只是附加了 dim 属性以及可选的 dimnames 属性的向量。属性用于实现 R 中使用的类结构。作为一门面向对象的语言，类与方法的概念是其核心。类是对象的定义。它定义了对象包含哪些信息以及如何使用该对象。

请看以下示例：

# Retrieve the classes of `a` and `b`
class(a)

class(b)
技术支持

'numeric'

'list'

注意，如果对象没有 class 属性，它将具有隐式类，“matrix”“array”或 mode() 函数的结果。

您可能会遇到的一些特殊类包括日期和公式；而后者正是本教程的主题！

R 中的公式是什么？

正如您在本教程的介绍中读到的，使用 ggplot2 等包或 lm() 等函数时，您可能已经见过公式的身影。由于您通常在这些函数调用中使用公式来表达统计模型的思想，因此很自然地，您经常会在建模函数以及某些图形函数中使用这些 R 对象。

对吗？

然而，公式并不限于模型。它们是一种强大的通用工具，允许您捕获两件事：

• 未求值的表达式，以及
• 创建该表达式时的上下文或环境。

这就解释了为什么在函数调用中使用公式可以生成“特殊行为”：它们可以在不对变量求值的情况下捕获变量的值，从而让函数来解释它们。

在回顾了数据结构之后，您可以将这些 R 对象描述为“语言”对象或未求值的表达式，它们的类是“formula”，并且具有存储环境的属性。

在上一节中，您看到对象具有某些（R 内部）类型，指示对象是如何存储的。在这种情况下，公式是一种“language”类型的对象。

但这究竟意味着什么？

通常，当您处理 R 语言本身时，会遇到此类对象。看下面的示例会更容易理解：

# Retrieve the object type
typeof(quote(x * 10))

# Retrieve the class
class(quote(x * 10))
技术支持

'language'

'call'

在上面的示例中，您让 R 返回 quote(x*10) 的类型和类。结果显示，quote(x*10) 的类型是 'language'，其 class 是 'call'。

这显然不是公式，因为您需要 class() 返回 'formula' 才行！

那么什么才是呢？

R 中公式的一个特征是波浪号运算符 ~。通过这个运算符，您实际上在说：“捕获这段代码的含义，但先不要立刻求值”。这也解释了为什么可以将 R 中的公式视为一种“引用（quoting）”运算符。

但公式到底长什么样？仔细看下面的代码行：

# A formula
c <- y ~ x
d <- y ~ x + b

# Double check the class of `c`
class(c)
技术支持

'formula'

波浪号（~）左侧的变量称为“因变量”，而右侧的变量称为“自变量”，并用加号 + 连接。

需要知道的是，这些变量的称呼会根据上下文而变化。您可能已经见过自变量被称为“预测（变量）”“控制变量”“特征”等。同样，因变量也可能被称为“响应变量”“结果变量”或“标签”。

注意，尽管您在上面的代码块中定义的公式 d 包含一些变量，但公式的基本结构其实只是波浪号 ~ 加上至少一个自变量（右侧变量）。

请记住，公式实际上是带有存储环境属性的语言对象：

# Return the type of `d`
typeof(d)

# Retrieve the attributes of `d`
attributes(d)
技术支持

'language'

$class
[1] "formula"

$.Environment
<environment: R_GlobalEnv>
技术支持

如上面的示例所示，包含在公式中的变量可以是向量等。不过，您经常会看到，公式中包含的变量来自数据框，就像下面的示例：

Sepal.Width ~ Petal.Width + log(Petal.Length) + Species
技术支持

注意，在创建公式本身时，不会访问已分配给公式中符号的任何数据值。

既然知道了 R 中公式的外观和含义，有必要提到基础的公式对象会因为是一侧公式还是双侧公式而不同。如果左侧没有变量，就像 ~ x 这样，您看到的是一侧公式。

这也意味着一侧公式的长度为 2，而双侧公式的长度为 3。

还不太信服？看下面的代码块。您可以借助方括号 [[ 和 ]] 访问公式的元素。

e <- ~ x + y + z
f <- y ~ x + b 

# Return the length of `g`
length(e)
length(f)

# Retrieve the elements at index 1 and 2
e[[1]]
e[[2]]
f[[3]]
技术支持

2

3

`~`



x + y + z



x + b技术支持

为什么在 R 中使用公式？

如您所见，公式是一种强大的通用工具，允许您在不对变量求值的情况下捕获变量的值，以便函数进行解释。这已经解答了为何应在 R 中使用公式的一个方面。

此外，您还会用这些 R 对象来表达变量之间的关系。

例如，在下面代码块的第一行，您用第一行代码表达“y 是 x、a 和 b 的函数”；当然，您也会遇到更复杂的公式，比如第二行代码，表示“萼片宽度是花瓣宽度的函数，并按物种进行条件分组”。

y ~ x + a + b

Sepal.Width ~ Petal.Width | Species
技术支持

y ~ x + a + b



Sepal.Width ~ Petal.Width | Species技术支持

在 R 中使用公式

既然您已经了解了这些特殊 R 对象的“是什么”和“为什么”，接下来就来学习如何使用基础和更复杂的公式！本节中，您不仅会看到如何创建并连接基础公式，还会了解如何借助运算符构建更复杂的公式。

如何在 R 中创建公式

您已经会了！本教程中已经有一些示例了，但我们再回顾一下：

y ~ x
~ x + y + z
g <- y ~ x + b
技术支持

没错——直接键入公式即可！

不过，您可能会遇到需要或希望从某个 R 对象（如字符串）创建公式的情况。在这种情形下，您可以使用 formula 或 as.formula() 函数：

"y ~ x1 + x2"

h <- as.formula("y ~ x1 + x2")

h <- formula("y ~ x1 + x2")
技术支持

很简单！

如何连接多个公式

要将多个公式“粘”在一起，有两种方式。首先，您可以为每个公式创建单独的变量，然后使用 list()：

# Create variables
i <- y ~ x
j <- y ~ x + x1
k <- y ~ x + x1 + x2

# Concatentate
formulae <- list(as.formula(i),as.formula(j),as.formula(k))

# Double check the class of the list elements
class(formulae[[1]])
技术支持

'formula'

或者，您也可以使用 lapply() 函数，将包含所有公式的向量作为第一个参数传入，并将 as.formula 作为要应用到该向量每个元素的函数：

# Join all with `c()`
l <- c(i, j, k)

# Apply `as.formula` to all elements of `f`
lapply(l, as.formula)
技术支持

[[1]]
y ~ x

[[2]]
y ~ x + x1

[[3]]
y ~ x + x1 + x2
技术支持

公式运算符

掌握这些基础后，您就可以深入一些更复杂的公式了！上文中您已经看到，公式的特征是波浪号 ~。除了该符号之外，您还需要因变量和自变量，自变量之间可以用加号 + 连接。

但不止如此！

除了 + 符号，还有其他符号可以为公式增加特殊含义：

• - 用于移除项；
• : 用于交互作用；
• * 用于交叉；
• %in% 用于嵌套；以及
• ^ 用于将交叉限制到指定的次数。

接下来您会看到这些运算符的所有示例！先从 + 和 - 运算符开始：

# Use multiple independent variables
y ~ x1 + x2

# Ignore objects in an analysis
y ~ x1 - x2
技术支持

注意，您最常在回归建模时需要 : 和 * 符号，用来指定交互项。如上所述，前者用于交互，意味着只包含变量之间的交互，而不包含变量本身。这与后者形成对比，后者用于交叉：它会包含两个变量以及它们的交互。

要小心！使用这些运算符时，有些公式看起来不同，但实际上是等价的。考虑以下示例，它们会产生相同的回归：

y ~ x1 * x2

y ~ x1 + x2 + x1:x2
技术支持

不确定它们如何相同？看下面的 R 代码块：

# Set seed
set.seed(123)

# Data
x = rnorm(5)
x2 = rnorm(5)
y = rnorm(5)

# Model frame
model.frame(y ~ x * x2, data = data.frame(x = x, y = y, x2=x2))
技术支持

model.frame(y ~ x + x2 + x:x2, data = data.frame(x = x, y = y, x2))
技术支持

如果您还不了解 model.frame() 函数，不用担心；稍后您将在本教程中看到更多内容！

此外，下面是一个嵌套的示例，它可以展开为 y ~ a + a:b：

y ~ a + b %in% a
技术支持

这些运算符都很酷，但如果您实际上想进行算术运算怎么办？比如，您想在模型中同时包含 x 和 x^2。这时，您可能会忍不住写出这样的公式：y ~ x + x^2。

但结果会符合预期吗？来看一下！

model.frame( y ~ x + x^2, data = data.frame(x = rnorm(5), y = rnorm(5)))
技术支持

y ~ x + x^2
技术支持

这并不是您所期望的结果！

在上面的示例中，您没有保护算术表达式，因此 R 会丢弃 x^2 项，因为它被视为 x 的重复项。

为什么呢？

x 会给出 x 的主效应，而 x^2 会给出 x 的主效应和二阶交互。最终，您只会在模型框架中包含 x，因为主效应已经由公式中的 x 项包含了，而 x^2 项中用于获得二阶交互的交叉对象并不存在。

为避免这种情况，您有几种解决方案：

• 您可以提前计算并存储所有变量
• 使用 I() 或“As-is”运算符：y ~ x + I(x^2)

看下面的示例，理解在代码中加入 I() 函数的效果：

model.frame( y ~ x + I(x^2), data = data.frame(x = rnorm(5), y = rnorm(5)))
技术支持

y ~ x + I(x^2)技术支持

这最后一行代码实际上是在告诉 R，在使用公式之前先计算 x^2 的值。另请注意，您也可以使用“As-is”运算符对模型中的变量进行缩放；只需将相关变量名包在 I() 中：

y ~ I(2 * x)
技术支持

上面的示例看起来可能有些抽象，我们再看看其他情形；例如，多项式回归。在这种情况下，您需要使用 I() 函数。另一方面，对于仅限于 depth=2 交互的析因 ANOVA 模型，则不需要该函数，因为您希望展开为包含 a、b、c 主效应以及它们二阶交互的公式：

# Polynomial Regression
y ~ x + I(x^2) + I(x^3)

# Factorial ANOVA
y ~ (a*b*c)^2
技术支持

最后，还有一个在处理多个变量时非常有用的特性——. 运算符。在公式中使用该运算符，表示引用矩阵中尚未包含在模型中的所有其他变量。例如，当您要对矩阵或数据框进行回归且不想逐个输入所有变量时，这就很方便：

y ~ .
技术支持

如何在 R 中检查公式

创建好公式后，您可能还想对其进行检查。本节将向您介绍一些可用于进一步探索您创建的这些特殊 R 对象的工具！

注意，在前面的章节中您已经看到了一些检查公式的方法：例如 attributes()、typeof()、class() 等函数。

terms() 函数

要检查和比较不同的公式，您可以使用 terms() 函数：

m <- formula("y ~ x1 + x2")
terms(m)
技术支持

y ~ x1 + x2
attr(,"variables")
list(y, x1, x2)
attr(,"factors")
   x1 x2
y   0  0
x1  1  0
x2  0  1
attr(,"term.labels")
[1] "x1" "x2"
attr(,"order")
[1] 1 1
attr(,"intercept")
[1] 1
attr(,"response")
[1] 1
attr(,".Environment")
<environment: R_GlobalEnv>技术支持

all.vars

如果您想知道模型中的变量名，可以使用 all.vars。该函数会返回一个字符向量，包含公式中出现的所有名称：

print(all.vars(m))
技术支持

[1] "y"  "x1" "x2"技术支持

update() 函数

如果要在不将公式转换为字符的情况下修改它，您可以使用 update() 函数：

update(y ~ x1 + x2, ~. + x3)
技术支持

y ~ x1 + x2 + x3
技术支持

注意，您也可以通过使用 as.character() 将公式转换为字符来更新它；然后使用 paste() 可以非常快速地构建公式。例如，如果您想在公式中添加另一个右侧变量，直接拼接即可：

as.formula(paste("y ~ x1 + x2", "x3", sep = "+"))

factors <- c("x2", "x3")
as.formula(paste("y~", paste(factors, collapse="+")))
技术支持

y ~ x1 + x2 + x3



y ~ x2 + x3
技术支持

在上面的代码块中，您可以看到，您可以使用 sep 或 collapse 参数来指定在公式项之间使用的分隔字符。

不过，使用 paste() 并不是调整公式的唯一方式：您还可以使用 reformulate()：

reformulate(termlabels = factors, response = 'y')
技术支持

y ~ x2 + x3
技术支持

is.formula()

将变量传递给 is.formula() 函数，双重检查它是否是一个公式。请注意，该函数属于 plyr 库，因此在调用 is.formula() 之前，您需要先在工作空间中加载它！

# Load `plyr`
library(plyr)

# Check `m`
is.formula(m)
技术支持

TRUE

何时使用公式

到目前为止，您已经了解到 R 公式是通用工具，并不局限于建模，而且也看到了可以使用公式的一些示例。本节将深入探讨这个话题：您将看到一些可以利用这些工具的场景。当然，我们会涵盖 lattice 和 stats 等包的建模和图形函数，还会涉及 dplyr 中的非标准求值。

建模函数

R 在统计建模方面非常出色。如您所知，统计建模是一种简化的、数学形式化的方式来近似现实，并可选择性地从这种近似中进行预测。统计模型通常以理想化的形式表示数据生成过程。要进行统计建模，您需要建模函数。

R 中的建模函数是需要 formula 对象作为参数的典型例子。您可能会在这些函数中看到的其他参数有 data（允许您指定在模型持续期间要附加的数据框）、用于选择要使用数据的 subset 等。一般来说，如果想知道要向某个特定函数传递哪些参数，请不要犹豫，在 R 控制台中使用 help() 函数或 ?。

建模函数会返回包含拟合信息的模型对象。print()、summary()、plot()、anova() 等通用 R 函数会针对特定对象类定义方法，以返回适合该类对象的信息。

最知名的建模函数之一可能是 lm()，它使用了上述所有参数。您使用 lm() 来拟合线性模型。它可用于执行回归、单层次的方差分析和协方差分析。我们来看一个使用 lm() 并借助 print() 检查模型的示例：

lm.m <- lm(Sepal.Width ~ Petal.Width + log(Petal.Length) + Species, 
        data = iris, 
        subset = Sepal.Length > 4.6)

print(lm.m)
技术支持

Call:
lm(formula = Sepal.Width ~ Petal.Width + log(Petal.Length) + 
    Species, data = iris, subset = Sepal.Length > 4.6)

Coefficients:
      (Intercept)        Petal.Width  log(Petal.Length)  Speciesversicolor  
           3.1531             0.6620             0.4612            -1.9265  
 Speciesvirginica  
          -2.3088   技术支持

lm() 首先使用公式及其相应环境，将变量之间的关系转换为创建包含数据的数据框。

还有 model.frame() 方法（您已在本教程中见过一个示例），它通常用于在无其他参数的情况下，从拟合对象中检索或重新创建模型框架。这使您能够检索与原始调用中除 formula、subset 和 weights 之外的参数相对应的数据框列：例如，glm() 方法会处理 offset、etastart 和 mustart。

在下面的代码块中，您会看到使用 model.frame() 函数获取拟合对象的数据框；注意代码与上面的代码块略有不同：subset 参数被稍作修改。

stats::model.frame(formula = Sepal.Width ~ Petal.Width + log(Petal.Length) + Species, 
                   data = iris, 
                   subset = Sepal.Length > 6.9, 
                   drop.unused.levels = TRUE)
技术支持

提示：stats 包中还有更多支持使用公式的函数，例如 aggregate()。

对于线性混合效应模型（可对观测者差异等因素带来的变异建模为随机效应），您可以使用 nlme 包的 lme() 函数。在这里，您同样会看到，formula 是需要提供给建模函数的第一个参数，同时也有 data 参数！

# Load packages
library(MASS)
library(nlme)

# Get some data 
data(oats)

# Adjust the data names and columns
names(oats) = c('block', 'variety', 'nitrogen', 'yield')
oats$mainplot = oats$variety
oats$subplot = oats$nitrogen

# Fit a non-linear mixed-effects model 
nlme.m = lme(yield ~ variety*nitrogen,
             random = ~ 1|block/mainplot,
             data = oats)

# Retrieve a summary
summary(nlme.m)
技术支持

Linear mixed-effects model fit by REML
 Data: oats 
       AIC      BIC    logLik
  559.0285 590.4437 -264.5143

Random effects:
 Formula: ~1 | block
        (Intercept)
StdDev:    14.64496

 Formula: ~1 | mainplot %in% block
        (Intercept) Residual
StdDev:    10.29863 13.30727

Fixed effects: yield ~ variety * nitrogen 
                                    Value Std.Error DF   t-value p-value
(Intercept)                      80.00000  9.106958 45  8.784492  0.0000
varietyMarvellous                 6.66667  9.715028 10  0.686222  0.5082
varietyVictory                   -8.50000  9.715028 10 -0.874933  0.4021
nitrogen0.2cwt                   18.50000  7.682957 45  2.407927  0.0202
nitrogen0.4cwt                   34.66667  7.682957 45  4.512152  0.0000
nitrogen0.6cwt                   44.83333  7.682957 45  5.835427  0.0000
varietyMarvellous:nitrogen0.2cwt  3.33333 10.865342 45  0.306786  0.7604
varietyVictory:nitrogen0.2cwt    -0.33333 10.865342 45 -0.030679  0.9757
varietyMarvellous:nitrogen0.4cwt -4.16667 10.865342 45 -0.383482  0.7032
varietyVictory:nitrogen0.4cwt     4.66667 10.865342 45  0.429500  0.6696
varietyMarvellous:nitrogen0.6cwt -4.66667 10.865342 45 -0.429500  0.6696
varietyVictory:nitrogen0.6cwt     2.16667 10.865342 45  0.199411  0.8428
 Correlation: 
                                 (Intr) vrtyMr vrtyVc ntr0.2 ntr0.4 ntr0.6
varietyMarvellous                -0.533                                   
varietyVictory                   -0.533  0.500                            
nitrogen0.2cwt                   -0.422  0.395  0.395                     
nitrogen0.4cwt                   -0.422  0.395  0.395  0.500              
nitrogen0.6cwt                   -0.422  0.395  0.395  0.500  0.500       
varietyMarvellous:nitrogen0.2cwt  0.298 -0.559 -0.280 -0.707 -0.354 -0.354
varietyVictory:nitrogen0.2cwt     0.298 -0.280 -0.559 -0.707 -0.354 -0.354
varietyMarvellous:nitrogen0.4cwt  0.298 -0.559 -0.280 -0.354 -0.707 -0.354
varietyVictory:nitrogen0.4cwt     0.298 -0.280 -0.559 -0.354 -0.707 -0.354
varietyMarvellous:nitrogen0.6cwt  0.298 -0.559 -0.280 -0.354 -0.354 -0.707
varietyVictory:nitrogen0.6cwt     0.298 -0.280 -0.559 -0.354 -0.354 -0.707
                                 vM:0.2 vV:0.2 vM:0.4 vV:0.4 vM:0.6
varietyMarvellous                                                  
varietyVictory                                                     
nitrogen0.2cwt                                                     
nitrogen0.4cwt                                                     
nitrogen0.6cwt                                                     
varietyMarvellous:nitrogen0.2cwt                                   
varietyVictory:nitrogen0.2cwt     0.500                            
varietyMarvellous:nitrogen0.4cwt  0.500  0.250                     
varietyVictory:nitrogen0.4cwt     0.250  0.500  0.500              
varietyMarvellous:nitrogen0.6cwt  0.500  0.250  0.500  0.250       
varietyVictory:nitrogen0.6cwt     0.250  0.500  0.250  0.500  0.500

Standardized Within-Group Residuals:
        Min          Q1         Med          Q3         Max 
-1.81300898 -0.56144838  0.01758044  0.63864476  1.57034166 

Number of Observations: 72
Number of Groups: 
              block mainplot %in% block 
                  6                  18  技术支持

注意，除了 nlme，还有诸如 lme4 等包，也专门用于拟合线性和广义线性混合效应模型。

另一个关于建模函数和公式的示例是 nls()，用于建立非线性模型：

# Set seed
set.seed(20160227)

# Data
x <- seq(0,50,1)
y <- ((runif(1,10,20)*x)/(runif(1,0,10)+x))+rnorm(51,0,1)

# Non-linear model
nls.m <- nls(y ~ a*x/(b+x), 
             start=c(a=4, b=1))
技术支持

最后一个示例是用于构建广义线性模型（GLM）的函数。在 R 中，您可以使用 glm() 来实现。同样老生常谈，您仍要使用 formula 和 data 参数：

# Load package
library(MPDiR)

# Get the data
data(Chromatic)

# Model
glm.m <- glm(Thresh ~ Axis:(I(Age^-1) + Age),
             family = Gamma(link = "identity"), 
             data = Chromatic)

# Get back a summary
summary(glm.m)
技术支持

Call:
glm(formula = Thresh ~ Axis:(I(Age^-1) + Age), family = Gamma(link = "identity"), 
    data = Chromatic)

Deviance Residuals: 
    Min       1Q   Median       3Q      Max  
-1.2160  -0.3728  -0.0805   0.2311   1.2932  

Coefficients:
                      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)          3.282e-04  9.965e-05   3.294  0.00106 ** 
AxisDeutan:I(Age^-1) 7.803e-03  3.686e-04  21.172  < 2e-16 ***
AxisProtan:I(Age^-1) 8.271e-03  3.863e-04  21.410  < 2e-16 ***
AxisTritan:I(Age^-1) 1.166e-02  5.284e-04  22.065  < 2e-16 ***
AxisDeutan:Age       1.521e-05  3.418e-06   4.450 1.06e-05 ***
AxisProtan:Age       1.540e-05  3.434e-06   4.484 9.10e-06 ***
AxisTritan:Age       4.812e-05  5.838e-06   8.241 1.48e-15 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for Gamma family taken to be 0.2054848)

    Null deviance: 543.35  on 510  degrees of freedom
Residual deviance: 100.40  on 504  degrees of freedom
AIC: -4777.6

Number of Fisher Scoring iterations: 6技术支持

在进入图形函数前，还有一件事值得了解：当您在 lm() 等建模函数中使用公式时，会发生从公式到函数的标准转换。要解释究竟发生了哪种转换，让我们回到本教程前面出现过的示例：

lm.m <- lm(Sepal.Width ~ Petal.Width + log(Petal.Length) + Species, 
           data = iris, 
           subset = Sepal.Length > 4.6)
技术支持

虽然这段代码的目的是拟合线性回归模型，但公式既用于指定符号化模型，也用于生成所需的设计矩阵。设计矩阵是对预测变量或自变量集合的二维表示，其中数据实例为行、变量属性为列。设计矩阵也称为 X 矩阵。

也就是说，公式方法还定义了设计矩阵中应包含哪些列。

但这究竟意味着什么？看看下面的代码：

# A formula
y ~ x

# A converted formula
y = a_1 + a_2 * x
技术支持

这是一个简单转换的示例：y ~ x 会被翻译为 y = a_1 + a_2 * x。

要查看并理解 R 实际做了什么，您可以使用 model_matrix() 函数。该函数会创建一个设计或模型矩阵，例如将因子展开为一组哑变量（取决于对比设置），并以类似方式展开交互项。

别忘了传入数据框 df 和公式，以获得一个定义模型方程的 tibble：

# Load packages
library(tidyverse)
library(modelr)

# A data frame
df <- tribble(
  ~y, ~x1, ~x2,
  4, 2, 5,
  5, 1, 6
)

# Model matrix
model_matrix(df, y ~ x1)
技术支持

您会看到多出了一列 (Intercept)。这是 R 的默认行为。不过，R 添加截距的方式只是添加一列全为 1 的列。如果您不想要它，需要在公式中显式加上 -1 来去掉它，就像这样：

model_matrix(df, y ~ x1-1)
技术支持

另请注意，当您向模型中添加更多变量时，模型矩阵会以不意外的方式增长。

model_matrix(df, y ~ x1 + x2)
技术支持

R 中的图形函数

您会在 R 的图形函数中再次见到公式。相关包很多，本教程仅聚焦于 graphics、lattice、ggplot2 和 ggformula。

graphics

基础 R 包 graphics 允许您使用公式来指定散点图，或通过公式添加点、线或文本。看下面的示例：

# Get data
data(airquality)

# Plot
plot(Ozone ~ Wind, data = airquality, pch = as.character(Month))
技术支持

如果您想了解更多，请查看此页面。

lattice

lattice 是一个构建于 grid 图形之上的包。它是一个通用图形包，为 base 图形中许多绘图函数提供了替代实现。具体示例包括使用 xyplot() 的散点图、使用 barchart() 的条形图，以及使用 bwplot() 的箱线图。

提示：想要进一步了解 lattice？可以考虑参加 DataCamp 的 使用 lattice 进行 R 数据可视化课程。

该包的特别之处在于，它使用统计模型的公式记法来描述期望的图形，更具体地说，是要绘制的变量。它还添加了管道字符或竖线 | 来指定条件变量：

# Load package
library(lattice)

# Plot histogram
histogram(~ Ozone | factor(Month), 
          data = airquality, 
          layout = c(2, 3),
          xlab = "Ozone (ppb)")
技术支持

注意，与建模函数类似，lattice 库中的函数也有 formula 参数和 data 参数，这也正是人们的期望！

请记住，您也可以省略上面代码块中的 data 参数，但那样您需要先附加数据：

# Load package
library(lattice)

# Attach data
attach(airquality)

# Plot
histogram(~ Ozone | factor(Month), 
          layout = c(2, 3),
          xlab = "Ozone (ppb)")
技术支持

ggplot2

您可以在多种 ggplot2 函数中使用公式：

• geom_smooth() 或 stats_smooth()，用于指定平滑函数中要使用的公式；这会影响拟合的形式。
• facet_wrap()，用于指定分面绘图的面板。
• facet_grid()，用于指定需要绘制的行和列，是否使用分面均可。

# Load package
library(ggplot2)

# Plot
ggplot(mpg, aes(displ, hwy)) +
  geom_point() +
  geom_smooth(method = "lm", 
              formula = y ~ splines::bs(x, 3), 
              se = FALSE)
技术支持

请注意，为创建该图，公式使用的是字母 x 和 y，而不是变量名。使用 facet_wrap() 时则不是这样：

ggplot(mpg, aes(displ, hwy)) +
  geom_point() +
  geom_smooth(span = 0.8) +
  facet_wrap(~drv)
技术支持

想进一步了解 ggplot2？可以看看这门课程或查看文档。

ggformula

ggformula 包目前构建于 ggplot2 之上，但提供了一个基于公式的接口。这与 lattice 接口类似。您还会发现，该包使用管道运算符将更简单的组件构建为更复杂的图形。

提示：如果您想了解更多关于R 中的管道运算符，请参考此教程。

使用 ggformula 创建图形的基本方式是

gf_plottype(formula, data = mydata)技术支持

注意，函数 gf_plottype() 实际上以 gf 开头，是为了提醒您正在使用基于公式的 ggplot2 接口函数；g 代表 ggplot2，f 代表“formula”。

请看下面的示例，看看在 R 代码中它是什么样子：

# Load package
library(ggformula)

# Plot
gf_point(mpg ~ hp, data = mtcars)
技术支持

当然，这只是一个基础图；使用这个可视化包，您可以做得更多！您可以选择不同的图元类型及其特定属性，可以制作一变量或双变量图，调整图元位置，等等。本教程不会对该包展开更多细节，但这里的要点是：该包让公式成为制作图形的主要“原料”！

如果您想了解本教程之外的更多内容，请在此处阅读 ggformula 包，或参阅该包的 RDocumentation 页面。

dplyr

dplyr 是一个使用非标准求值的包的例子。其他例子如 library(magrittr) 与 library("magrittr")，两者都能正常工作，即使一行带引号另一行不带！将这些 library() 示例与 install.packages() 做个对比：

# This will work
install.packages("magrittr")

# This won't work
install.packages(magrittr)
技术支持

在 R 中，通常当您在命名对象的某个部分时需要使用引号，但在某些函数（如 library()）中却不需要。这些函数被设计为以非标准方式工作。更甚者，其中一些函数甚至缺少标准方式！

就 dplyr 而言，您会发现该包的大多数函数与其他函数一样工作：所有函数都使用标准求值（SE）。不过，在交互式使用时，函数也提供了非标准求值（NSE），这能为您省下一些输入。

（说实话，敲那些引号的确让人头大！）

这就是为什么大多数 dplyr 函数使用非标准求值。它们不遵循 R 通常的求值规则。相反，它们会捕获您输入的表达式，并以自定义方式对其求值。

然而，这并不意味着这些函数没有标准求值变体。每个使用非标准求值的函数都有（并且应该有）一个标准求值“逃生通道”来进行实际计算。标准求值的函数应以下划线 _ 结尾。也就是说，dplyr 包中存在多组动词：select()、select_()、mutate()、mutate_()，等等。

在交互式使用时，这些函数会先用 lazyeval 包进行求值，然后再发送给该函数的标准求值版本。这意味着，在幕后，select() 会用 lazyeval 求值并发送至 select_()。

综上，有三种方式可以在标准求值函数中引用 dplyr 与 lazyeval 所理解的变量：

• 公式，
• quote()，以及
• 字符串

# Load `dplyr`
library(dplyr)

# NSE evaluation
select(iris, Sepal.Length, Petal.Length)

# standard evaluation 
select_(iris, ~Sepal.Length)
select_(iris, ~Sepal.Length, ~Petal.Length) #works
select_(iris, quote(Sepal.Length), quote(Petal.Length)) # yes!
select_(iris, "Sepal.Length", "Petal.Length", "Species")
技术支持

提示：如果您想进一步了解非标准求值，可以阅读 Hadley Wickham 的《Advanced R》一书中关于该主题的章节。

R 公式相关包

此前，您已经看到可以使用 as.formula、update()、all.vars 等函数创建并检查公式。这些都是简单的操作与处理，那么对于更高级的公式处理呢？也许下面这些包会引起您的兴趣！

Formula 包

不久前，该包已在 CRAN 上发布。对于想要将公式提升到更高层次的人来说，这个包非常理想。它扩展了基础的 formula 类。

更具体地说，Formula 对象扩展了基本的公式对象：使用该包，您实际上可以定义接受额外公式运算符 |（用于分隔多个部分）的公式，或在左侧潜在地容纳所有公式运算符（包括管道字符）以支持多响应。

您将能够创建的公式示例包括：

• 多部分公式，如 y ~ x1 + x2 | u1 + u2 + u3 | v1 + v2
• 多响应公式，如 y1 + y2 ~ x1 + x2 + x3
• 多部分响应，如 y1 | y2 + y3 ~ x，以及
• 上述三者的任意组合。

# Load package
library(Formula)

# Create formulas
f1 <- y ~ x1 + x2 | z1 + z2 + z3
F1 <- Formula(f1)

# Retrieve the class of `F1`
class(F1)
技术支持

1. 'Formula'
2. 'formula'

注意，在该包中 as.formula() 和 is.formula() 也已更新：您将分别使用 is.Formula() 和 as.Formula()！

更多信息请见这里。

formula.tools

这个包近期发布，为您提供了“用于操作公式、表达式、调用、赋值和其他 R 对象的编程工具”。内容很多，但本质上就是：您可以使用该包访问和修改公式结构，以及提取并替换这些 R 对象的名称和符号。该包由 Christopher Brown 编写。

使用该包时，您可能会发现以下内容很有用：

• get.vars()：不同于 all.vars()，该函数会从多种 R 对象中提取变量名，但所有符号等都会被内插为变量名。
• invert()：您可以用该函数反转对象（如公式）中的运算符。
• is.one.sided()：该函数非常适合判断公式是一侧还是双侧。

请记住，形如 ~x 的公式是一侧公式；形如 x~y 的则是双侧公式。

• ...

还有更多可探索！

太棒了！您已经通读了这篇关于 R 公式的教程。如果您想进一步阅读，强烈推荐 Hadley Wickham 的《R for Data Science》一书，其中有一章完全专门介绍 R 中的公式和模型族。

查看 DataCamp 的Tidyverse 入门教程。

您还能想到有哪些使用公式的场景，或有哪些可以用来操作公式的包吗？欢迎在 Twitter 上告诉我：@willems_karlijn。