Last chance! 50% off DataCamp Premium
Sale ends in
Jarak Euclidean, sebuah konsep yang berakar pada matematika Yunani kuno, kini menjadi alat penting dalam data science, machine learning, dan analisis spasial modern. Dinamai menurut Euclid yang terkenal, metrik ini memberikan cara mendasar untuk mengukur jarak garis lurus antara titik-titik di ruang, baik dalam dua dimensi maupun lebih banyak lagi.
Apa itu Jarak Euclidean?
Jarak Euclidean merepresentasikan jalur terpendek antara dua titik di ruang Euclidean. Ini adalah jarak yang akan Anda ukur dengan penggaris, diperluas ke sejumlah dimensi berapa pun. Konsep ini berakar kuat pada teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa pada segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya.
“Filsuf mengajar jarak Euclidean.” Gambar oleh Dall-E
Rumus Jarak Euclidean
Mari kita uraikan rumus jarak Euclidean untuk berbagai dimensi:
Jarak Euclidean 2D
Dalam bidang dua dimensi, jarak Euclidean antara titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂) diberikan oleh:
Sebagai contoh, mari hitung jarak antara titik A(1, 2) dan B(4, 6):
Visualisasi jarak Euclidean 2D
Untuk lebih memahami jarak Euclidean 2D, mari memvisualisasikannya:
Jarak Euclidean 2D. Gambar oleh Penulis
Visualisasi ini menunjukkan jarak Euclidean antara dua titik pada bidang 2D. Garis merah mewakili jarak langsung, sementara garis putus-putus membentuk segitiga siku-siku, menggambarkan teorema Pythagoras yang bekerja.
Jarak Euclidean 3D
Diperluas ke tiga dimensi, untuk titik A(x₁, y₁, z₁) dan B(x₂, y₂, z₂), rumusnya menjadi:
Visualisasi jarak Euclidean 3D
Mari memvisualisasikan jarak Euclidean 3D:
Jarak Euclidean 3D. Gambar oleh Penulis
Plot 3D ini menunjukkan jarak Euclidean antara dua titik dalam ruang tiga dimensi. Garis putus-putus hijau mewakili jarak langsung antara titik-titik tersebut.
Jarak Euclidean N-dimensi
Dalam ruang dengan n dimensi, jarak Euclidean antara titik A(a₁, a₂, ..., aₙ) dan B(b₁, b₂, ..., bₙ) adalah:
Ini dapat dituliskan lebih ringkas menggunakan notasi penjumlahan:
Keterkaitan dengan Konsep Aljabar Linear
Memahami jarak Euclidean tidak hanya sebatas mengetahui cara mengukur jalur terpendek antara dua titik. Ini juga tentang melihat jarak-jarak tersebut melalui lensa aljabar linear, bidang yang membantu kita mendeskripsikan dan memecahkan masalah tentang ruang dan dimensi menggunakan vektor serta sifat-sifatnya. Untuk wawasan lebih lanjut, jelajahi kursus Linear Algebra for Data Science in R, yang membahas konsep-konsep ini secara komprehensif.
Jarak Euclidean sebagai norma vektor
Jarak Euclidean mengukur seberapa jauh dua titik di ruang. Bayangkan Anda memiliki dua titik, satu di awal jalur pendakian dan satu lagi di puncak bukit. Jalur garis lurus yang Anda tempuh dari awal ke puncak dapat dianggap sebagai jarak Euclidean. Dalam aljabar linear, ini seperti menemukan panjang sebuah panah (atau vektor) yang menunjuk langsung dari awal jalur (titik A) ke puncak bukit (titik B). Panjang ini disebut "norma" vektor, istilah lain untuk panjang jalur garis lurus tersebut.
Perkalian titik dan kosinus sudut
Saat berurusan dengan arah, perkalian titik (dot product) membantu kita memahami sudut antara dua panah mana pun. Misalnya, jika Anda berada di persimpangan dua jalan, dot product akan memberi tahu seberapa banyak satu jalan mengarah ke jalan lainnya. Ini dihitung menggunakan panjang masing-masing jalan (seperti norma yang kita bahas) dan sudut di antara keduanya. Semakin mendekati 0 nilainya, dua jalan tersebut semakin mendekati saling tegak lurus. Jika dikaitkan dengan jarak, rumus dot product membantu menguraikan jarak Euclidean menjadi komponen yang lebih mudah ditangani, menunjukkan bagaimana perubahan arah memengaruhi jarak keseluruhan.
Jarak Euclidean dan pengurangan vektor
Untuk menemukan jarak Euclidean antara dua titik menggunakan vektor, pada dasarnya Anda mengurangkan satu titik dari titik lainnya untuk membuat vektor baru. Vektor baru ini menunjuk langsung dari satu titik ke titik lainnya dan panjangnya adalah jarak Euclidean yang Anda minati. Ini seperti memetakan rute langsung di peta dari rumah Anda ke toko kelontong terdekat dengan mengurangkan koordinatnya; ini memberi Anda garis lurus (atau vektor) yang menunjukkan jalur terpendek yang dapat Anda ambil.
Menghitung Jarak Euclidean di Python dan R
Mari jelajahi implementasi perhitungan jarak Euclidean menggunakan Python dan R. Kita akan melihat cara membuat fungsi kustom dan memanfaatkan pustaka bawaan untuk meningkatkan efisiensi.
Contoh Python
Di Python, kita dapat memanfaatkan kekuatan NumPy untuk operasi array yang efisien dan SciPy untuk perhitungan jarak khusus. Berikut cara kita mengimplementasikan jarak Euclidean:
import numpy as np
from scipy.spatial.distance import euclidean
def euclidean_distance(point1, point2):
return np.sqrt(np.sum((np.array(point1) - np.array(point2))**2))
# 2D example
point_a = (1, 2)
point_b = (4, 6)
distance_2d = euclidean_distance(point_a, point_b)
print(f"2D Euclidean distance: {distance_2d:.2f}")
# 3D example
point_c = (1, 2, 3)
point_d = (4, 6, 8)
distance_3d = euclidean_distance(point_c, point_d)
print(f"3D Euclidean distance: {distance_3d:.2f}")
# Using SciPy for efficiency
distance_scipy = euclidean(point_c, point_d)
print(f"3D Euclidean distance (SciPy): {distance_scipy:.2f}")Ketika kita menjalankan kode ini, kita berharap melihat keluaran seperti:
2D Euclidean distance: 5.00
3D Euclidean distance: 7.07
3D Euclidean distance (SciPy): 7.07Fungsi SciPy umumnya lebih cepat dan lebih optimal, terutama untuk data berdimensi tinggi, tetapi fungsi kustom kita membantu mengilustrasikan perhitungan dasarnya.
Mengapa jarak Euclidean penting dalam machine learning?
Apakah jarak Euclidean selalu menjadi pilihan terbaik untuk mengukur jarak dalam data science?
Bagaimana jarak Euclidean menangani koordinat negatif?
Dapatkah jarak Euclidean digunakan dengan data kategorikal?
Bagaimana pemilihan jarak Euclidean memengaruhi kinerja algoritma pengelompokan seperti k-means?
Topik
