La distance euclidienne, un concept qui remonte aux mathématiques grecques antiques, est devenue un outil indispensable en data science, en apprentissage automatique et en analyse spatiale. Baptisée d’après le célèbre Euclide, cette mesure fournit un moyen fondamental d’évaluer la distance en ligne droite entre des points dans l’espace, en deux dimensions comme en dimension supérieure.
Qu’est-ce que la distance euclidienne ?
La distance euclidienne représente le plus court chemin entre deux points dans un espace euclidien. C’est la distance que vous mesureriez à la règle, généralisée à n’importe quel nombre de dimensions. Cette notion s’ancre dans le théorème de Pythagore, qui énonce que, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
« Philosopher teaching Euclidean distance. » Image by Dall-E
La formule de la distance euclidienne
Décomposons la formule de la distance euclidienne selon les dimensions :
Distance euclidienne en 2D
Dans un plan bidimensionnel, la distance euclidienne entre les points A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂) est donnée par :
Par exemple, calculons la distance entre les points A(1, 2) et B(4, 6) :
Visualisation de la distance euclidienne en 2D
Pour mieux comprendre la distance euclidienne en 2D, visualisons-la :
Distance euclidienne en 2D. Image by Author
Cette représentation montre la distance euclidienne entre deux points dans un plan 2D. La ligne rouge représente la distance directe, tandis que les pointillés forment un triangle rectangle, illustrant le théorème de Pythagore en action.
Distance euclidienne en 3D
En trois dimensions, pour les points A(x₁, y₁, z₁) et B(x₂, y₂, z₂), la formule devient :
Visualisation de la distance euclidienne en 3D
Visualisons maintenant la distance euclidienne en 3D :
Distance euclidienne en 3D. Image by Author
Ce graphique 3D montre la distance euclidienne entre deux points dans un espace tridimensionnel. La ligne verte en pointillés représente la distance directe entre les points.
Distance euclidienne en n dimensions
Dans un espace à n dimensions, la distance euclidienne entre les points A(a₁, a₂, ..., aₙ) et B(b₁, b₂, ..., bₙ) est :
On peut l’écrire plus succinctement à l’aide de la notation sommatoire :
Lien avec l’algèbre linéaire
Comprendre la distance euclidienne ne se limite pas à savoir mesurer le plus court chemin entre deux points. Il s’agit aussi de l’appréhender à travers le prisme de l’algèbre linéaire, qui permet de décrire et de résoudre des problèmes d’espace et de dimensions via les vecteurs et leurs propriétés. Pour aller plus loin, explorez le cours Linear Algebra for Data Science in R, qui couvre ces notions de manière approfondie.
Distance euclidienne comme norme vectorielle
La distance euclidienne mesure à quel point deux points sont éloignés dans l’espace. Imaginez un point au départ d’un sentier de randonnée et un autre au sommet d’une colline. Le chemin en ligne droite entre le départ et le sommet correspond à la distance euclidienne. En algèbre linéaire, cela revient à trouver la longueur d’une flèche (ou vecteur) qui va directement du point de départ (point A) au sommet (point B). Cette longueur est appelée la « norme » du vecteur : c’est tout simplement la longueur de ce trajet en ligne droite.
Produit scalaire et cosinus de l’angle
Lorsqu’on s’intéresse aux directions, le produit scalaire aide à comprendre l’angle entre deux flèches. Par exemple, à l’intersection de deux routes, le produit scalaire indique dans quelle mesure une route « pointe » vers l’autre. Il se calcule à partir des longueurs de chaque route (comme les normes évoquées) et de l’angle entre elles. Plus cette valeur est proche de 0, plus les routes se rapprochent de la perpendicularité. Reliée à la distance, la formule du produit scalaire permet de décomposer la distance euclidienne en composantes plus faciles à gérer, et de voir comment les changements de direction influencent la distance totale.
Distance euclidienne et soustraction de vecteurs
Pour trouver la distance euclidienne entre deux points à l’aide des vecteurs, on soustrait l’un de l’autre pour créer un nouveau vecteur. Ce vecteur pointe directement d’un point vers l’autre, et sa longueur est précisément la distance euclidienne recherchée. C’est comme tracer un itinéraire direct sur une carte entre votre domicile et l’épicerie la plus proche : la soustraction de leurs coordonnées donne une droite (un vecteur) qui matérialise le plus court chemin.
Calculer la distance euclidienne en Python et en R
Explorons maintenant des implémentations en Python et en R. Nous verrons comment créer des fonctions personnalisées et utiliser des bibliothèques pour gagner en efficacité.
Exemple Python
En Python, nous pouvons tirer parti de NumPy pour des opérations efficaces sur les tableaux et de SciPy pour des calculs de distances spécialisés. Voici comment implémenter la distance euclidienne :
import numpy as np
from scipy.spatial.distance import euclidean
def euclidean_distance(point1, point2):
return np.sqrt(np.sum((np.array(point1) - np.array(point2))**2))
# 2D example
point_a = (1, 2)
point_b = (4, 6)
distance_2d = euclidean_distance(point_a, point_b)
print(f"2D Euclidean distance: {distance_2d:.2f}")
# 3D example
point_c = (1, 2, 3)
point_d = (4, 6, 8)
distance_3d = euclidean_distance(point_c, point_d)
print(f"3D Euclidean distance: {distance_3d:.2f}")
# Using SciPy for efficiency
distance_scipy = euclidean(point_c, point_d)
print(f"3D Euclidean distance (SciPy): {distance_scipy:.2f}")À l’exécution, vous devriez obtenir une sortie similaire :
2D Euclidean distance: 5.00
3D Euclidean distance: 7.07
3D Euclidean distance (SciPy): 7.07La fonction SciPy est généralement plus rapide et mieux optimisée, notamment en haute dimension, tandis que notre fonction personnalisée illustre le calcul sous-jacent.
