La distanza euclidea, un concetto che affonda le sue radici nella matematica dell'antica Grecia, è diventata uno strumento essenziale nella moderna data science, nel machine learning e nell'analisi spaziale. Prende il nome dal celebre Euclide e fornisce un modo fondamentale per misurare la distanza in linea retta tra punti nello spazio, sia in due dimensioni che in molte di più.
Che cos'è la distanza euclidea?
La distanza euclidea rappresenta il percorso più breve tra due punti nello spazio euclideo. È la distanza che misureresti con un righello, estesa a un qualsiasi numero di dimensioni. Questo concetto è profondamente radicato nel teorema di Pitagora, che afferma che in un triangolo rettangolo il quadrato della lunghezza dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati.
“Filosofo che insegna la distanza euclidea.” Immagine di Dall-E
La formula della distanza euclidea
Vediamo la formula della distanza euclidea in diverse dimensioni:
Distanza euclidea in 2D
In un piano bidimensionale, la distanza euclidea tra i punti A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂) è data da:
Per esempio, calcoliamo la distanza tra i punti A(1, 2) e B(4, 6):
Visualizzazione della distanza euclidea 2D
Per capire meglio la distanza euclidea in 2D, visualizziamola:
Distanza euclidea 2D. Immagine dell'autore
Questa visualizzazione mostra la distanza euclidea tra due punti in un piano 2D. La linea rossa rappresenta la distanza diretta, mentre le linee tratteggiate formano un triangolo rettangolo, illustrando il teorema di Pitagora in azione.
Distanza euclidea in 3D
Estendendo alle tre dimensioni, per i punti A(x₁, y₁, z₁) e B(x₂, y₂, z₂), la formula diventa:
Visualizzazione della distanza euclidea 3D
Visualizziamo la distanza euclidea in 3D:
Distanza euclidea 3D. Immagine dell'autore
Questo grafico 3D mostra la distanza euclidea tra due punti nello spazio tridimensionale. La linea verde tratteggiata rappresenta la distanza diretta tra i punti.
Distanza euclidea in n dimensioni
In uno spazio con n dimensioni, la distanza euclidea tra i punti A(a₁, a₂, ..., aₙ) e B(b₁, b₂, ..., bₙ) è:
Questo può essere scritto in modo più conciso usando la notazione di sommatoria:
Relazione con i concetti di algebra lineare
Capire la distanza euclidea va oltre il semplice sapere come misurare il percorso più breve tra due punti. Si tratta anche di osservare queste distanze attraverso la lente dell'algebra lineare, un campo che ci aiuta a descrivere e risolvere problemi su spazio e dimensioni usando i vettori e le loro proprietà. Per approfondire l'argomento, esplora il corso Linear Algebra for Data Science in R, che copre estesamente questi concetti.
Distanza euclidea come norma vettoriale
La distanza euclidea misura quanto sono lontani due punti nello spazio. Immagina di avere due punti, uno all'inizio di un sentiero e l'altro in cima a una collina. Il percorso in linea retta che faresti dall'inizio alla cima può essere visto come la distanza euclidea. In algebra lineare, è come trovare la lunghezza di una freccia (o vettore) che punta direttamente dall'inizio del sentiero (punto A) alla cima della collina (punto B). Questa lunghezza si chiama “norma” del vettore, ovvero un modo elegante per dire lunghezza del percorso in linea retta.
Prodotto scalare e coseno dell'angolo
Quando si tratta di direzioni, il prodotto scalare ci aiuta a capire l'angolo tra due frecce. Per esempio, se ti trovi all'incrocio di due strade, il prodotto scalare ti direbbe quanto una strada “punta” verso l'altra. Si calcola usando le lunghezze di ciascuna strada (come le norme di cui abbiamo parlato) e l'angolo tra di esse. Più questo valore è vicino a 0, più le strade tendono a essere perpendicolari tra loro. Relativamente alla distanza, la formula del prodotto scalare aiuta a scomporre la distanza euclidea in componenti più gestibili, mostrando come i cambi di direzione influiscano sulla distanza complessiva.
Distanza euclidea e sottrazione di vettori
Per trovare la distanza euclidea tra due punti usando i vettori, in pratica sottrai un punto dall'altro per creare un nuovo vettore. Questo nuovo vettore punta direttamente da un punto all'altro e la sua lunghezza è la distanza euclidea che ti interessa. È come tracciare su una mappa il percorso diretto da casa tua al supermercato più vicino sottraendo le loro coordinate; ottieni una linea retta (o vettore) che mostra il percorso più breve.
Calcolare la distanza euclidea in Python e R
Esploriamo le implementazioni del calcolo della distanza euclidea sia in Python che in R. Vedremo come creare funzioni personalizzate e utilizzare librerie integrate per aumentare l'efficienza.
Esempio in Python
In Python, possiamo sfruttare la potenza di NumPy per operazioni efficienti sugli array e di SciPy per calcoli di distanza specializzati. Ecco come possiamo implementare la distanza euclidea:
import numpy as np
from scipy.spatial.distance import euclidean
def euclidean_distance(point1, point2):
return np.sqrt(np.sum((np.array(point1) - np.array(point2))**2))
# 2D example
point_a = (1, 2)
point_b = (4, 6)
distance_2d = euclidean_distance(point_a, point_b)
print(f"2D Euclidean distance: {distance_2d:.2f}")
# 3D example
point_c = (1, 2, 3)
point_d = (4, 6, 8)
distance_3d = euclidean_distance(point_c, point_d)
print(f"3D Euclidean distance: {distance_3d:.2f}")
# Using SciPy for efficiency
distance_scipy = euclidean(point_c, point_d)
print(f"3D Euclidean distance (SciPy): {distance_scipy:.2f}")Eseguendo questo codice, ci aspettiamo un output simile a:
2D Euclidean distance: 5.00
3D Euclidean distance: 7.07
3D Euclidean distance (SciPy): 7.07La funzione di SciPy è in genere più veloce e ottimizzata, soprattutto per dati ad alta dimensionalità, ma la nostra funzione personalizzata aiuta a illustrare il calcolo sottostante.
