如何在 Excel 中计算阶乘：完整指南

阶乘这一概念广泛存在于数学的诸多分支，并被用来解决大量实际问题。

在本教程中，我们将学习什么是一个数的阶乘、它的用途、如何在 Excel 中计算阶乘、在 Excel 中计算阶乘时需要注意的限制与可能问题、可以在 Excel 中计算的一些阶乘变体，以及几个涉及阶乘计算的 Excel 函数。过程中，我们还会结合一些阶乘应用示例。

如需学习或巩固 Excel 知识，您可以参考 Introduction to Excel 课程和 Excel Formulas Cheat Sheet。

什么是阶乘？它有什么用途？

一个正整数的阶乘是从 1 到该数（包含该数）所有整数的乘积。阶乘的数学记号是将感叹号紧跟在要计算阶乘的数字之后。

例如，要计算 7!（读作“7 的阶乘”），我们需要将 1 到 7 的所有整数相乘：7! = 1*2*3*4*5*6*7。该表达式的结果为 5040。

通俗地说，n 的阶乘表示在必须使用全部 n 个彼此不同的对象、且对排列没有额外限制的情况下，我们可以对这 n 个对象进行排列的方式数。

回到上面 7! 的例子，我们可以用该公式求出把 7 本不同的书在书架上一字排开的不同摆放方式有多少种。

作为计算组合与排列的基础，阶乘被广泛应用于数学（包括代数、概率论、组合数学、数论、博弈论等）、统计学、计算机科学、人工智能、工程学、自然科学、经济学、金融与商业等领域。

如何在 Excel 中计算阶乘

如果我们尝试在 Excel 单元格中输入 =7! 来计算 7 的阶乘，软件会给出警告。这是因为 Excel 不将阶乘的数学写法识别为有效运算。

要在 Excel 中计算 n 的阶乘，我们可以使用其他方法：既可以直接将 1 到 n 的所有整数相乘（1*2*3*...*n），也可以组合使用 Excel 函数（例如 PRODUCT(SEQUENCE(n)))。

不过，在 Excel 中计算一个数的阶乘，最直接的方法是使用专用的 FACT 函数。该函数自 Excel 2000 起在所有版本中均可用。

FACT 函数

语法

FACT 函数的语法非常简单，仅有一个必需参数：

FACT(number)，

其中 number 是我们要求阶乘的非负数。

该函数返回一个数的阶乘。

注意，我们可以将数字本身传入函数（例如 FACT(7)），也可以传入存放该数字的单元格地址（例如 FACT(A1)）。

FACT 函数既可单独使用，也可在公式中与其他函数和数学运算配合使用。例如，FACT(10)/(FACT(2)* FACT(8))。

如需了解 Excel 中其他常用函数，可参考教程 The 15 Basic Excel Formulas Everyone Needs to Know。

用法

我们可以通过以下三种方式之一在 Excel 中使用 FACT 函数：

1. 单击要显示函数结果的单元格，输入等号，开始输入函数名，并在下拉列表中选择它：

接着，输入我们要求阶乘的数字本身，或存放该数字的单元格地址，关闭括号并按下 Enter。

2. 单击要显示函数结果的单元格，点击编辑栏，输入等号，开始输入函数名，并在下拉列表中选择它：

接着，输入我们要求阶乘的数字本身，或存放该数字的单元格地址，关闭括号并按下 Enter。

3. 单击要显示函数结果的单元格，打开 Formulas 选项卡，在 Function Library 组下选择 Maths & Trig 类别，向下滚动到 FACT 函数并点击它：

在弹出的 Function Arguments 窗口中，我们可以逐一输入要计算阶乘的多个数字或其单元格地址，并在点击 OK 前立即看到每个值的结果；点击 OK 后将显示最后一个输入值的 FACT 函数结果。

此外，此窗口还会提醒我们阶乘的定义、函数语法以及函数文档的获取位置：

特殊情况

1. FACT(0) = 1
2. FACT(1) = 1
3. 对小数应用 FACT 函数：数字会在内部被截断，只返回其整数部分的阶乘。

可能的错误

• #VALUE!——传入了非数值。
• #NUM!——传入的值为负数或大于等于 171。

限制

在前一节中我们提到，如果向 FACT 传入一个大于等于 171 的数字，会返回 #NUM! 错误。这是由于 Excel 的内在限制之一：Excel 能计算的正数有上限，而当我们尝试计算 FACT(171) 时会超出该上限。因此，在不触发 #NUM! 错误的情况下，Excel 可计算的最大阶乘是 170 的阶乘（等于 7.257415615308E+306）。

此外，由于数值精度限制，Excel 无法对如此大的阶乘进行精确计算。

考虑到阶乘增长极快，较小的输入就会产生非常大的输出，Excel 能够精确计算阶乘的最大输入（尽管由于四舍五入限制无法精确显示结果）是 22。

如果需要计算大数的阶乘，我们可以通过一些变通方法来克服或缓解这些限制，例如使用 Excel VBA（Visual Basic for Applications，Excel 内置的编程语言）或专用的 Excel 外接程序。

不过，如果确实需要处理如此大的数值，选择除 Excel 之外的其他软件可能更高效。

示例

在本教程开头，我们已经提到过一个阶乘的应用示例：要计算将 7 本不同的书在书架上排成一行的方式数，我们需要用数学记号计算 7!，在 Excel 中则为 FACT(7)。

我们再看两个示例。

1. 假设书架上有 10 本书（没错，我是个书虫 😉），我们想随机选出其中 4 本作为假期读物。从 10 本中选 4 本共有多少种组合？在数学中，这是不放回的组合。在 Excel 中，我们可以用 FACT 进行计算：FACT(10)/(FACT(4)* FACT(10-4))。结果为 210。

2. 假设我们有一叠 10 张卡片，每张上面写着一门外语中的一个单词。我们想通过抽取卡片并翻译其上的单词来复习。每次抽取后把卡片放回牌堆，并重复 4 次，这意味着同一张卡可能被抽到多次。从 10 张卡片中（允许重复）抽取 4 次共有多少种组合？在数学中，这是有放回的组合。在 Excel 中，我们可以用 FACT 进行计算：FACT(4+10-1)/(FACT(4) * FACT(10-1))。结果为 715。

在下面讨论与阶乘相关的 Excel 函数时，我们会回到这两个示例。

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用于计算特定类型阶乘的 Excel 函数

除了我们在本教程开头定义的常规阶乘外，数学中还有其他类型的阶乘：双阶乘、素数阶乘、超阶乘等。这些阶乘类型较为专业，通常用于复杂数学公式的一部分。下面简要介绍两个可在 Excel 中直接计算这类阶乘的函数：FACTDOUBLE 和 GAMMA。

FACTDOUBLE 函数

FACTDOUBLE 函数用于计算一个数的双阶乘，即小于或等于该输入数、且与该输入数奇偶性相同的所有正整数的乘积。在数学中，双阶乘用两个感叹号表示。例如，8!! = 2 * 4 * 6 * 8 = 384（在 Excel 中为 FACTDOUBLE(8)）。

FACTDOUBLE 函数的语法与 FACT 函数非常相似：

FACTDOUBLE(number)，

其中 number 是我们要求双阶乘的非负数。

关于 FACT 函数先前讨论的内容（用法、特殊情况、可能错误与限制）在此也同样适用，唯一的例外是 Excel 能计算的双阶乘的最大值不同。

对于常规阶乘，该上限对应的数字是 170；对于双阶乘，是 300。尝试计算 FACTDOUBLE(301) 会返回 #NUM! 错误。

GAMMA 函数

这是数学伽马函数的实现，它将阶乘扩展到复数。 在 Excel 中，我们可以对负小数与正小数使用 GAMMA 函数。

GAMMA 函数的语法如下：

GAMMA(number)

其中 number 是我们要求其伽马函数值的负小数或正数。

注意，向函数传入负整数或 0 会返回 #NUM! 错误。

与阶乘相关的 Excel 函数

一些 Excel 函数在更复杂的公式中包含阶乘的计算。我们快速了解一下可以用于计算组合与排列数量的这些函数。

COMBIN 与 COMBINA 函数

Excel 中的 COMBIN 与 COMBINA 函数都返回组合的数量，即当选择顺序不重要时，从一个集合中选择指定数量项目的方式数。二者的区别在于：COMBIN 不允许项目重复，而 COMBINA 允许。

两者语法相同，下面以 COMBIN 为例：

COMBIN(number, number_chosen)

其中

• number——集合中的项目总数，
• number_chosen——每个组合中的项目数。

前面我们讨论过用 FACT 计算组合的两个示例。回到这两个例子，我们可以用 COMBIN 与 COMBINA 更轻松地完成计算。

1. 假设书架上有 10 本书，我们想随机选出 4 本作为假期读物。从 10 本中选 4 本共有多少种组合？COMBIN(10, 4) = 210。
2. 假设有一叠 10 张卡片，每张上写着我们学习的一门外语中的一个单词。我们通过抽取一张并翻译其上的单词来复习。每次抽取后把卡片放回，并重复 4 次，意味着同一张卡可能被抽到多次。从 10 张卡片中（考虑可能的重复）抽取 4 次共有多少种组合？COMBINA(10, 4) = 715。

PERMUT 与 PERMUTATIONA 函数

Excel 中的 PERMUT 与 PERMUTATIONA 函数都返回排列的数量，即当选择顺序重要时，从一个集合中选择指定数量项目的方式数。两者的区别在于：PERMUT 不允许项目重复，而 PERMUTATIONA 允许。

两者语法相同，下面以 PERMUT 为例：

PERMUT(number, number_chosen)

其中

• number——集合中的项目总数，
• number_chosen——每个排列中的项目数。

结论

我们讨论了数的阶乘定义、阶乘的主要应用领域、在 Excel 中使用 FACT 函数计算阶乘的最直接方法、使用该函数时需要注意的特殊情况、可能错误与限制、一些特定类型的阶乘及其在 Excel 中的计算方法，以及与阶乘计算相关的 Excel 函数。此外，我们还查看了几个涉及阶乘的计算示例，并介绍了如何更高效地完成这些计算。

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