理解偏度与峰度及其可视化方法

什么是峰度及其类型？

偏度关注的是正态分布的扩展（尾部），而峰度更关注高度。它告诉我们正态（或类正态）分布有多“尖”或多“平”。该术语源自希腊语，意为弯曲或拱形，最早由英国数学家卡尔·皮尔逊提出（不出所料，他一生致力于研究概率分布）。

高峰度表明：

• 分布中心的峰非常尖。
• 比正态分布有更多的数值集中在均值附近。
• 尾部更重，因为尾部聚集了更多极端值或异常值。
• 发生极端事件的可能性更大。

相反，低峰度表明：

• 峰较平。
• 在均值附近集中的数值更少，但仍多于正态分布。
• 尾部更轻。
• 发生极端事件的可能性更低。

按程度不同，分布的峰度有三种类型：

1. 中峰（Mesokurtic）分布（峰度 = 3，超额峰度 = 0）：完美正态分布或非常接近。
2. 高峰（Leptokurtic）分布（峰度 > 3，超额峰度 > 0）：尖峰、重尾
3. 低峰（Platykurtic）分布（峰度 < 3，超额峰度 < 0）：平峰、轻尾

注意，这里超额峰度定义为 峰度 - 3，将正态分布的峰度视为 0。这样一来，峰度分数更易解释。

如何在 Python 中计算峰度

您可以像计算偏度一样，在 Python 中使用 pandas 或 SciPy 计算峰度：

from scipy.stats import kurtosis

kurtosis(diamond_prices)
2.177382669056634
技术支持

Pandas 提供了两个函数来计算峰度：kurt 和 kurtosis。前者仅适用于 Pandas 的 Series，后者可用于 DataFrame。

diamond_prices.kurt()
2.17769575924869

# Select numeric features and calculate kurtosis
diamonds.select_dtypes(include="number").kurtosis()
carat     1.256635
depth     5.739415
table     2.801857
price     2.177696
x        -0.618161
y        91.214557
z        47.086619
dtype: float64
技术支持

同一分布的数值再次出现差异，是因为 pandas 与 SciPy 采用的公式不同。

如果您希望手动计算峰度，可以使用下面的公式：

其中：

• n 表示数据集中的观测数量
• x_i 表示每个具体的数据点

我们再把公式封装进一个函数：

def moment_based_kurtosis(distribution):
   n = len(distribution)
   mean = np.mean(distribution)
   std = np.std(distribution)

   kurtosis = (1 / n) * sum(((distribution - mean) / std) ** 4) - 3

   return kurtosis

>>> moment_based_kurtosis(diamond_prices)
2.1773826690576463
技术支持

我们可以发现，钻石价格的超额峰度为 2.18，这意味着如果我们绘制其分布，峰会比正态分布更尖。

那就来画图吧！

在 Python 中可视化偏度与峰度

用于观察分布形状、从而查看偏度与峰度的最佳图形之一是核密度估计（KDE）图。它可以通过 Seaborn 直接绘制：

import matplotlib.pyplot as plt

sns.kdeplot(diamond_prices)

plt.title("KDE plot of diamond prices")
plt.xlabel("Price ($)")技术支持

该图与我们目前看到的数据一致：分布有一条很长的右尾，表明正偏；同时峰非常尖，对应较高的峰度。

当然，KDE 并非唯一选择，我们也可以使用直方图：

sns.histplot(diamonds["carat"])

plt.xlabel("Carat")
plt.title("A histogram of the carat of diamonds")技术支持

直方图的劣势在于需要您自行选择组距数量（柱状条数）。这里柱子太多，给可视化带来了噪声——我们无法清晰定义形状。因此，减少一下组距数量：

sns.histplot(diamonds["carat"], bins=25)

plt.xlabel("Carat")
plt.title("A histogram of the carat of diamonds")技术支持

现在形状更清晰了，但我们还能继续改进。通过在 histplot 中设置 kde=True，我们可以在柱状图上叠加该分布的 KDE：

sns.histplot(diamonds["carat"], bins=25, kde=True)

plt.xlabel("Carat")
plt.title("A histogram of the carat of diamonds")技术支持

叠加的 KDE 线条看起来有些锯齿状，缺少那种能展示总体形状的平滑曲线。造成锯齿的原因是克拉数分布天然较为尖峰、多刺，离正态分布较远。

不过，我们可以通过调整带宽来降低 KDE 对这些波动的敏感度。可使用参数 bw_adjust 调整，默认值为 1：

# 将带宽从 1 改为 3
sns.kdeplot(diamonds["carat"], bw_adjust=3, color="red")

plt.title("KDE of diamond carats");技术支持

这个版本比之前叠加的 KDE 明显不那么“多刺”。在使用叠加 KDE 的直方图时，如果要调整 KDE 的带宽，可以使用 kde_kws 参数：

ax = sns.histplot(
   diamonds["carat"],
   kde=True,
   kde_kws=dict(bw_adjust=3),
   bins=25,
)

plt.title("An overlaid histogram of diamond carats");技术支持

kde_kws 可接收所有 kdeplot 函数支持的、用于控制 KDE 计算的参数。

绘制 KDE 时，您可以使用一个小技巧：只保留 KDE 线条，移除其他元素。由于 KDE 的主要目的就是查看分布形状，坐标刻度、边框和标签等细节有时并非必要：

sns.kdeplot(diamond_prices, color="red")

# Remove the spine from three sides
sns.despine(top=True, right=True, left=True)

# Remove the ticks and ticklabels
plt.xticks([])
plt.yticks([])
plt.ylabel("")
plt.xlabel("")

# Set a title
plt.title("Diamond prices", fontdict=dict(fontsize=20));技术支持

这个图干净利落。您还可以通过添加均值、中位数和众数位置的标线来进一步改进：

sns.kdeplot(diamond_prices, color="red")

sns.despine(top=True, right=True, left=True)
plt.xticks([])
plt.yticks([])
plt.ylabel("")
plt.xlabel("")
plt.title("Diamond prices", fontdict=dict(fontsize=20))

# Find the mean, median, mode
mean_price = diamonds["price"].mean()
median_price = diamonds["price"].median()
mode_price = diamonds["price"].mode().squeeze()

# Add vertical lines at the position of mean, median, mode
plt.axvline(mean_price, label="Mean")
plt.axvline(median_price, color="black", label="Median")
plt.axvline(mode_price, color="green", label="Mode")

plt.legend();


该图验证了我们在偏度类型部分的讨论：在正偏分布中，均值高于中位数，而众数低于均值和中位数。
结论
偏度与峰度在探索性数据分析中常被忽视，却能揭示分布本质的关键信息。
偏度提示数据的“倾斜”方向，揭示是否存在不对称。正偏意味着尾部向右延伸，负偏则相反。
峰度关注峰与尾。高峰度使峰更尖、尾更重，低峰度则使数据更分散、尾更轻。
如果您想进一步了解偏度与峰度，可以查看 DataCamp 上由行业专家授课的这些优秀量化分析课程：

Python 投资组合风险管理入门
Python 投资组合分析入门
技术支持