Kurs
Orta Düzey Google Sheets
4 sa
58K
Bir şirket yöneticisi olarak, her zaman sonlu ya da sınırlı kaynaklara sahipsiniz ve üst yönetimin beklentisi, bunlardan en iyi şekilde yararlanmanızdır. Zaman verimliliğinden sermaye kullanımına, araziden emeğe ve tedarik zincirinden üretime kadar yaptığınız hemen her şeyin amacı verimliliği optimize etmektir.
Havayollarının çoğu, en yüksek geliri ve en düşük maliyeti elde etmek için uçuş programlarını optimize eder. Bu programlar; belirli bir lokasyondaki uçak sayısı, yakıt, mürettebat ve hat türü (popüler ve kârlı rotalar) gibi pek çok durum ve kısıt içerir. Bu durumlar ve kısıtlar, uçakların en popüler ve kârlı hatlarda uçmasına ilişkin kısıtlar olarak adlandırılır. Verilen kısıtlı probleme çözüm bulmak için doğrusal programlama kullanılır.
Bu eğitimde doğrusal programlamayı öğrenecek ve aşağıdaki konular ele alınacaktır:
- Doğrusal Programlamaya Giriş
- DPP’nin Temel Kavramları
- Karar değişkeni
- Kısıtlar
- Amaç fonksiyonu
- Optimal çözüm
- Uygun çözüm
- Uygun olmayan çözüm
- Uygun bölge
- Negatif olmama kısıtları
- DPP Problem Formülasyonu (Örnekli)
- Elektronik Tabloda DPP’yi Çözmek için Grafiksel Yöntem
- DPP Kullanım Örnekleri
- Sonuç
Doğrusal Programlamaya Giriş
Matematiksel olarak doğrusal programlama, bir dizi doğrusal eşitsizliği sağlayan verilen koşullara/kısıtlara tabi olarak çok sayıda değişkenin doğrusal amaç fonksiyonunu eniyiler (en küçükler veya en büyükler). Doğrusal programlama; mal ve hizmetlerin taşınması, ürün üretimi, elektrik güç sistemlerinin ve ağ akışlarının optimize edilmesi gibi ekonomik faaliyetlerin planlanmasında uygulanabilir. DP problemleri Grafik, Simpleks ve Karmakar yöntemleri gibi farklı tekniklerle çözülebilir.
DPP’nin Temel Kavramları
Doğrusal programlamanın temel terminolojilerine bakalım:
-
Karar değişkenleri, amaç fonksiyonunun girdisi olarak kullanılacak değişkenlerdir. Bu değişkenler çıktınızı belirler. Karar verici, amaç fonksiyonunun değerini karar değişkeni aracılığıyla kontrol edebilir. Herhangi bir doğrusal programlama problemini çözerken önce karar değişkenlerini belirlemeniz gerekir.
-
Kısıtlar, bir dizi kısıtlama veya durumsal koşuldur. Kısıtlar eşitlik ya da eşitsizlik biçiminde olabilir. Kısıtlar, karar değişkenlerinin değerlerini sınırlar.
-
Amaç fonksiyonu, en büyüklenen ya da en küçüklenen kâr veya maliyet fonksiyonudur. Karar vermenin ana hedefidir.
-
Optimal çözüm, uygun çözümlerden biri olup amaç fonksiyonunun ya maksimum ya da minimum olduğu durumdur; örneğin maksimum kâr veya minimum maliyet. Amaç fonksiyonunun en iyi değeridir.
-
Uygun çözüm, tüm kısıtları karşılayan karar değişkeni değerlerinin kümesidir. En az bir çözüm uygun ise DP problemi uygundur.
-
Uygun olmayan çözüm, tüm kısıtları karşılamayan karar değişkeni değerlerinin kümesidir; yani optimal çözüm yoktur. Tüm kısıtları karşılayan hiçbir çözüm yoksa DP problemi uygun değildir.
-
Uygun bölge, kısıtları karşılayan tüm olası değerler kümesinin kapsadığı veya tüm kısıtların kesişimiyle oluşan bölgedir. Tüm eşitsizlikleri, eşitlikleri ve tamsayı kısıtlarını içerir.
-
Negatif olmama kısıtları, yalnızca negatif olmayan değerleri kabul eden karar değişkenleri için geçerlidir. Bu tür kısıtlar sıfırdan büyük veya eşittir.
DPP Problem Formülasyonu (Örnekli)
Doğrusal programlama modellerinin formülasyonu şu adımları içerir:
- Karar değişkenlerini belirleyin
- Amaç fonksiyonunu belirleyin
- Kısıtları belirleyin
- Negatif olmama kısıtlarını tanımlayın
Bir doğrusal programlama probleminde karar değişkenleri, amaç fonksiyonu ve kısıtların tamamı doğrusal fonksiyon olmalıdır
Problem Tanımı: Bir mobilya satıcısı yalnızca iki ürünle uğraşmaktadır: masa ve sandalye. Yatırım için 50.000 Rs’si vardır ve en fazla 60 parça depolama alanı bulunmaktadır. Bir masa 2.500 Rs, bir sandalye ise 500 Rs’dir. Bir masanın satışından 250 Rs, bir sandalyenin satışından ise 75 Rs kâr edebileceğini tahmin etmektedir. Satın aldığı tüm ürünleri satabildiğini varsayarak, toplam kârını maksimize etmek için elindeki parayla kaç masa ve sandalye alması gerektiğini bilmek istemektedir. (Kaynak)
Bu örnekte şunları gözlemlersiniz –
- Satıcı parasını masalara, sandalyelere veya her ikisinin bir kombinasyonuna yatırabilir. Ayrıca, farklı yatırım stratejilerini izleyerek farklı kârlar elde edecektir. (Kaynak)
- Yatırımı en fazla 50.000 Rs ile sınırlıdır ve depolama alanı da en fazla 60 parça ile sınırlıdır. (Kaynak)
Matematiksel Formülasyon:
Varsayalım ki yalnızca masa ve hiç sandalye almaz. Bu durumda 50000/2500 = 20 masa alabilir. Bu durumda 250 x 20 = 5.000 Rs kâr eder. Ya da yalnızca sandalye alır ve hiç masa almaz. Bu durumda 50000/500 = 100 sandalye alabilir.
Bu durumda 75 x 60 = 4.500 Rs kâr eder.
Alabileceği masa ve sandalye kombinasyonları çoktur.
Varsayalım X adet masa ve Y adet sandalye alıyor. O hâlde X ve Y negatif olmamalıdır.
-
Satıcının masaları ve sandalyeleri satın almak için kullanabileceği maksimum tutar 50.000 Rs’dir, dolayısıyla –
2500 X + 500 Y <= 50000 (Yatırım kısıtları) veya 5 * X + Y <= 100 ………………………………………………………. Denk.1
-
Saklayabileceği birimlerin maksimum sayısı 60’tır.
X + Y <= 60 ………………………………………………………. Denk.2
-
Satıcı, kârı Z’yi maksimize edecek miktarlarda satın almak istemektedir, dolayısıyla denklem –
Max Z : 250 X + 75 Y
Amaç fonksiyonu: Max Z: 250 X + 75 Y
Kısıtlar:
5 * X + Y <= 100,
X + Y <= 60 and
X,Y >= 0
Kaynak: http://ncert.nic.in/ncerts/l/lemh206.pdf
Elektronik Tabloda DPP’yi Çözmek için Grafiksel Yöntem
Doğrusal Programlama Örneği
Amaç fonksiyonu: Max Z: 250 X + 75 Y
Kısıtlar:
5 * X + Y <= 100,
X + Y <= 60 and
Where X,Y >= 0
Adım 1: Fonksiyonu aşağıda gösterildiği gibi Excel’de yazalım.
Adım 2: Amaç fonksiyonunu ve kısıtları elektronik tabloda yazdıktan sonra, C1 ve C2 kısıtları için değerleri hesaplayalım. Değerleri, diğer değişkenin değerini sıfır yaparak hesaplayabilirsiniz. Örneğin C1 için, X = 0 iken Y’nin değeri Y = 100 olur ve Y = 0 iken X’in değeri X = 20 olur. Benzer şekilde C2 kısıtları için de.
Adım 3: Şimdi değerleri hesapladıktan sonra grafiği çizelim. C1 kısıt değerlerini seçin, Ekle’ye gidin ve yumuşatılmış çizgili saçılım grafiğini çizin. Grafiğiniz aşağıdaki gibi görünebilir.
Böyle görünüyorsa endişelenmeyin, bunu değiştirmek için aşağıdaki adımları izleyin. Grafik üzerinde sağ tıklayın, Verileri Seç’e gidin, orada iki seri göreceksiniz; Seri 2’yi kaldırın ve Seri 1’i Düzenleyin.
Serinin adını C1 yapın ve X değerini C1’in A sütunu değerlerine, Y değerini ise C1’in B sütunu değerlerine değiştirin. Ve Tamam’a tıklayın. Grafiğiniz aşağıdaki gibi görünecektir:
Adım 4: Yine, grafik üzerinde sağ tıklayarak Verileri Seç’e gidin ve başka bir seri ekleyin. Adını C2 yapın ve X değerlerinde C2 kısıtlarının X sütunu değerlerini, Y değerlerinde ise C2 kısıtlarının Y sütunu değerlerini seçin. Grafiğiniz aşağıdaki gibi görünecektir:
Adım 5: Artık grafik çizildi ve uygun bölgeye bakmanız gerekiyor:
Artık uygun bölge alanında 4 noktanız var (O, A, B, C); hangi noktanın amaç fonksiyonuna en yüksek değeri verdiğini görmek için tüm noktalarda amaç fonksiyonu değerlerini hesaplamanız gerekir.
Adım 6: Amaç fonksiyonu değerlerini hesaplamak için aşağıdaki adımları izleyin:
Her noktanın amaç fonksiyonunu hesaplayın:
- O noktasında (X, Y) koordinat değerleri (0, 0)’dır. Dolayısıyla amaç fonksiyonu değeri = (2500+750) = 0 olur
- A noktasında (X, Y) koordinat değerleri (0, 60)’tır. Dolayısıyla amaç fonksiyonu değeri = (2500+753) = 4500 olur
- B noktasında (X, Y) koordinat değerleri (20, 0)’dır. Dolayısıyla amaç fonksiyonu değeri = (2503+750) = 5000 olur
-
C noktasında Z noktasındaki koordinat değerlerini bulmak için C1 ve C2 kısıt doğrularının kesişim noktasını bulmanız gerekir. İki denklemin kesişimini hesaplamak için MMULT() ve MINVERSE() fonksiyonlarını kullanacaksınız.
-
MMULT(MINVERSE(array),array) # Bu, iki değişkenli denklemlerin çözüm değerlerini verir. Ya da, =MMULT(MINVERSE(AB17:AC18), AE17:AE18). Bu formülü kullanmadan önce, X ve Y değerlerinin bulunduğu sarı vurgulu hücreleri seçin, iki denklemin kesişim noktasını hesaplamak için bu fonksiyonu kullanın ve CTRL+SHIFT+ENTER’a basın
Z’nin son değerleri:
Buradaki bu doğrusal maksimizasyon probleminde, Z’nin maksimum değerini B Noktası’nda elde ettiğinizi ve maksimum değerin 6.250 Rs olduğunu görebilirsiniz. Dolayısıyla kârı maksimize etmek için satıcının 10 masa ve 50 sandalye satın alması gerekir.
DPP Kullanım Örnekleri
Doğrusal programlama, yöneylem araştırmalarında optimal çözümler bulmak için uygulanır. DP, verilen kısıtlar ve sınırlamalar altında en iyi çözümü bulabilir. DP; tarım, mühendislik, üretim, enerji, lojistik ve tedarik zinciri gibi her türlü problemde uygulanabilir.
-
Mühendisler, imalat ve üretim sektöründe mevcut kaynakları optimize etmek için doğrusal programlamayı uygular; bu da maksimum kâr elde etmelerini sağlar.
-
Lojistik ve taşımacılık sektörü, en kısa yol/rota, seyahat süresi ve fiyatlandırma stratejisini bulmak için doğrusal programlamayı kullanır.
-
Mühendisler enerji sektöründe doğrusal programlamayı uygular. Elektrik yükünü, en kısa dağıtım hatlarını ve elektrik şebekesi tasarımını optimize ederler.
-
Tarım sektöründe, doğrusal programlama mühendisler tarafından hangi ürün türünün ve miktarının yetiştirilmesi gerektiğini verimli biçimde gelir artıracak şekilde belirlemek için kullanılabilir.
-
Gıda endüstrisinde doğrusal programlama; sağlık yöneticileri ve beslenme uzmanlarının, bulaşıcı olmayan hastalıklardan uzak durmak için beslenme ihtiyaçlarını ve düşük maliyetli yiyecek setlerini planlamalarına yardımcı olabilir.
Sonuç
Tebrikler, bu eğitimin sonuna geldiniz!
Doğrusal programlama hakkında pek çok ayrıntıyı ele aldınız. Doğrusal programlamanın ne olduğunu, DP’de kullanılan temel kavram ve terimleri, DP problem formülasyonunu, grafiksel yöntemle DP problemlerinin çözümünü ve DP probleminin kullanım örneklerini öğrendiniz.
Umarız artık doğrusal programlama kavramlarını kuruluşunuzda karar vermek veya karar vericiler için sonuçlarınızı optimize etmek amacıyla kullanabilirsiniz. Bu eğitimi okuduğunuz için teşekkürler!
Elektronik Tablolarda Grafikler eğitimimize göz atın.
elektronik tablolar hakkında daha fazla bilgi edinmek isterseniz, aşağıdaki DataCamp kurslarını alın:
Konular
