स्प्रेडशीट्स के साथ रैखिक प्रोग्रामिंग

किसी कंपनी के प्रबंधक के रूप में, आपके पास सदैव सीमित संसाधन होते हैं, और शीर्ष प्रबंधन की अपेक्षा होती है कि आप उनका अधिकतम उपयोग करें। समय-उत्पादकता से लेकर पूंजी उपयोग, भूमि से श्रम तक, और आपूर्ति शृंखला से उत्पादन तक—आप जो कुछ भी करते हैं, उसका उद्देश्य उत्पादकता का अनुकूलन करना होता है।

अधिकांश एयरलाइंस उड़ान अनुसूचियों को अनुकूलित करती हैं ताकि अधिकतम राजस्व और न्यूनतम लागत प्राप्त हो सके। इन अनुसूचियों में कई परिस्थितियाँ और प्रतिबंध शामिल होते हैं, जैसे किसी विशेष स्थान पर विमानों की संख्या, ईंधन, चालक-दल, और मार्ग का प्रकार (लोकप्रिय और लाभदायक मार्ग)। इन परिस्थितियों और प्रतिबंधों को सबसे लोकप्रिय और लाभदायक मार्ग पर उड़ानें संचालित करने की बाधाएँ कहा जाता है। दिए गए प्रतिबंधित समस्या का समाधान खोजने के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग किया जाता है।

इस ट्यूटोरियल में, आप रैखिक प्रोग्रामिंग के बारे में सीखेंगे, और निम्नलिखित विषय शामिल किए जाएँगे:

• रैखिक प्रोग्रामिंग का परिचय
• एलपीपी की बुनियादी अवधारणाएँ
  • निर्णय चर
  • बाधाएँ
  • उद्देश्य फलन
  • सर्वोत्तम हल
  • व्यवहार्य हल
  • अव्यवहार्य हल
  • व्यवहार्य क्षेत्र
  • गैर-ऋणात्मकता बाधाएँ
• एलपीपी समस्या का सूत्रीकरण (उदाहरण सहित)
• स्प्रेडशीट में एलपीपी हल करने की ग्राफ़िकल विधि
• एलपीपी के उपयोग-परिदृश्य
• निष्कर्ष

रैखिक प्रोग्रामिंग का परिचय

गणितीय रूप से, रैखिक प्रोग्रामिंग कई चर के रैखिक उद्देश्य को दिए गए शर्तों/बाधाओं के अधीन न्यूनतम या अधिकतम करती है, जो रैखिक असमिकाओं के एक समूह को संतुष्ट करती हैं। रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग आर्थिक गतिविधियों की योजना बनाने में किया जा सकता है, जैसे वस्तुओं और सेवाओं का परिवहन, उत्पादों का विनिर्माण, विद्युत शक्ति प्रणालियों का अनुकूलन, और नेटवर्क फ्लो। एलपी समस्याएँ विभिन्न तकनीकों से हल की जा सकती हैं, जैसे ग्राफ़िकल, सिम्प्लेक्स, और कर्माकर की विधि।

एलपीपी की बुनियादी अवधारणाएँ

आइए रैखिक प्रोग्रामिंग की बुनियादी शब्दावली देखें:

• निर्णय चर वे चर होते हैं जिनका उपयोग उद्देश्य फलन के रूप में किया जाएगा। ये चर आपका आउटपुट तय करते हैं। निर्णयकर्ता निर्णय चर का उपयोग करके उद्देश्य फलन के मान को नियंत्रित कर सकता/सकती है। जब आप कोई रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या हल करते हैं, तो सबसे पहले निर्णय चरों की पहचान करना आवश्यक है।

• बाधाएँ प्रतिबंधों या परिस्थितिजन्य शर्तों का समूह होती हैं। बाधाएँ समताओं या असमताओं के रूप में हो सकती हैं। बाधाएँ निर्णय चरों के मान को सीमित करती हैं।

• उद्देश्य फलन लाभ या लागत का ऐसा फलन होता है जिसे अधिकतम या न्यूनतम करना होता है। यही निर्णय लेने का मुख्य लक्ष्य होता है।

• सर्वोत्तम हल व्यवहार्य हलों में से वह होता है जहाँ उद्देश्य फलन या तो अधिकतम होता है या न्यूनतम, जैसे अधिकतम लाभ या न्यूनतम लागत। यह उद्देश्य फलन का सर्वश्रेष्ठ मान होता है।

• व्यवहार्य हल वह मान-समुच्चय है जो सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है। यदि कम से कम एक हल व्यवहार्य है, तो एलपी समस्या व्यवहार्य कहलाती है।

• अव्यवहार्य हल वह मान-समुच्चय है जो सभी बाधाओं को संतुष्ट नहीं करता, यानी कोई सर्वोत्तम हल मौजूद नहीं है। यदि कोई भी हल सभी बाधाओं को नहीं मानता, तो एलपी समस्या अव्यवहार्य कहलाती है।

• व्यवहार्य क्षेत्र वह क्षेत्र है जो उन सभी संभावित मानों से घिरा होता है जो बाधाओं को संतुष्ट करते हैं, या सभी बाधाओं के प्रतिच्छेद का क्षेत्र। इसमें सभी असमताएँ, समताएँ और पूर्णांक बाधाएँ शामिल होती हैं।

• गैर-ऋणात्मकता बाधाएँ वे बाधाएँ हैं जिनमें निर्णय चरों के मान शून्य या उससे अधिक होने चाहिए। ऐसी बाधाएँ शून्य से अधिक या बराबर होती हैं।

एलपीपी समस्या का सूत्रीकरण (उदाहरण सहित)

रैखिक प्रोग्रामिंग मॉडल का सूत्रीकरण निम्न चरणों में होता है:

• निर्णय चरों की पहचान करें
• उद्देश्य फलन निर्धारित करें
• बाधाओं की पहचान करें
• गैर-ऋणात्मकता बाधाएँ परिभाषित करें

रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या में निर्णय चर, उद्देश्य फलन, और बाधाएँ—सभी रैखिक फलन होने चाहिए।

समस्या-विवरण: एक फर्नीचर विक्रेता केवल दो वस्तुओं—टेबल और कुर्सियों—का व्यापार करता है। उसके पास निवेश के लिए 50,000 रुपये हैं और अधिकतम 60 पीस के लिए भंडारण स्थान है। एक टेबल की कीमत 2,500 रुपये और एक कुर्सी की 500 रुपये है। उसका अनुमान है कि एक टेबल बेचने पर 250 रुपये का लाभ और एक कुर्सी बेचने पर 75 रुपये का लाभ होगा। वह जानना चाहता है कि उपलब्ध धन से उसे कितनी टेबलें और कुर्सियाँ खरीदनी चाहिए ताकि उसका कुल लाभ अधिकतम हो, यह मानते हुए कि वह खरीदी गई सभी वस्तुएँ बेच सकता है। (स्रोत)

इस उदाहरण में, आप देखते हैं कि—

1. विक्रेता अपना पैसा टेबलें या कुर्सियाँ, या दोनों के संयोजन में निवेश कर सकता है। आगे, विभिन्न निवेश रणनीतियों का पालन करने पर उसे अलग-अलग लाभ होगा। (स्रोत)
2. उसका निवेश अधिकतम 50,000 रुपये तक सीमित है, और उसका भंडारण स्थान भी, जो अधिकतम 60 पीस के लिए है। (स्रोत)

गणितीय सूत्रीकरण:

मान लें वह केवल टेबलें खरीदने का निर्णय लेता है और कुर्सियाँ नहीं। तो वह 50000/2500 = 20 टेबलें खरीद सकता है। इस स्थिति में उसे 250 × 20 = 5,000 रुपये का लाभ होगा। या वह केवल कुर्सियाँ खरीदे और टेबलें नहीं। तो वह 50000/500 = 100 कुर्सियाँ खरीद सकता है।

इस स्थिति में उसे 75 × 60 = 4,500 रुपये का लाभ होगा।

टेबलों और कुर्सियों के कई संयोजन हो सकते हैं जो वह खरीद सकता है।

मान लें वह X संख्या में टेबलें और Y संख्या में कुर्सियाँ खरीदता है। अतः X और Y गैर-ऋणात्मक होने चाहिए।

1. विक्रेता के पास टेबलें और कुर्सियाँ खरीदने के लिए अधिकतम 50,000 रुपये हैं, अतः—

   2500 X + 500 Y <= 50000 (निवेश बाधा) या 5 * X + Y <= 100 ……………………………………… Eq.1

1. वह अधिकतम 60 इकाइयाँ भंडारित कर सकता है।

   X + Y <= 60 ……………………………………… Eq.2

1. विक्रेता ऐसी मात्राएँ खरीदना चाहता है जिससे उसका लाभ Z अधिकतम हो, अतः समीकरण होगा—

   Max Z : 250 X + 75 Y

उद्देश्य फलन: Max Z: 250 X + 75 Y

बाधाओं के अधीन:

5 * X + Y <= 100,
X + Y <= 60 and
X,Y >= 0
संचालित द्वारा

स्रोत: http://ncert.nic.in/ncerts/l/lemh206.pdf

स्प्रेडशीट में एलपीपी हल करने की ग्राफ़िकल विधि

रैखिक प्रोग्रामिंग का उदाहरण

उद्देश्य फलन: Max Z: 250 X + 75 Y

बाधाओं के अधीन:

5 * X + Y <= 100,

X + Y <= 60 and

Where X,Y >= 0
संचालित द्वारा

चरण 1: आइए नीचे दिखाए अनुसार Excel में फलन लिखते हैं।

चरण 2: उद्देश्य फलन और बाधाएँ स्प्रेडशीट में लिखने के बाद, बाधाएँ C1 और C2 के मानों की गणना करें। आप एक अन्य चर का मान शून्य रखकर मान निकाल सकते हैं। जैसे C1 के लिए, X = 0 पर Y का मान Y = 100 होगा और Y = 0 पर X का मान X = 20 होगा। इसी प्रकार, बाधा C2 के लिए भी।

चरण-3: अब, मानों की गणना के बाद, ग्राफ़ प्लॉट करें। C1 बाधा के मान चुनें, Insert में जाएँ और Smoothed Lines के साथ Scatter चार्ट प्लॉट करें। आपका चार्ट कुछ इस प्रकार दिख सकता है।

यदि यह इस तरह दिखता है, तो चिंता न करें, इसे बदलने के लिए नीचे दिए चरणों का पालन करें। चार्ट पर राइट-क्लिक करें, Select Data में जाएँ, वहाँ दो सीरीज़ दिखेंगी, Series 2 हटाएँ और Series 1 को Edit करें।

सीरीज़ का नाम C1 रखें और इसकी X वैल्यू C1 के कॉलम A के मान तथा Y वैल्यू C1 के कॉलम B के मान कर दें। और Ok पर क्लिक करें। आपका चार्ट नीचे दिए गए जैसा दिखेगा:

चरण-4: 4. फिर से चार्ट पर राइट-क्लिक करके Select Data में जाएँ और एक और सीरीज़ जोड़ें। इसका नाम C2 रखें और X values में बाधा C2 के X कॉलम के मान तथा Y values में बाधा C2 के Y कॉलम के मान चुनें। आपका चार्ट नीचे दिए गए जैसा दिखेगा:

चरण-5: अब ग्राफ़ प्लॉट हो चुका है, और आपको व्यवहार्य क्षेत्र देखना है:

अब आपके पास व्यवहार्य क्षेत्र में 4 बिंदु (O, A, B, C) हैं। आपको सभी बिंदुओं पर उद्देश्य फलन के मान की गणना करनी है ताकि पता चल सके कि किस बिंदु पर उद्देश्य का मान अधिकतम है।

चरण-6: उद्देश्य फलन के मान निकालने के लिए, नीचे दिए चरणों का पालन करें:

प्रत्येक बिंदु के लिए उद्देश्य फलन की गणना करें:

• बिंदु O पर (X, Y) के निर्देशांक (0, 0) हैं। अतः उद्देश्य फलन का मान होगा = (2500+750) = 0
• बिंदु A पर (X, Y) के निर्देशांक (0, 60) हैं। अतः उद्देश्य फलन का मान होगा = (2500+753) = 4500
• बिंदु B पर (X, Y) के निर्देशांक (20, 0) हैं। अतः उद्देश्य फलन का मान होगा = (2503+750) = 5000

• बिंदु C पर बिंदु Z के निर्देशांक खोजने के लिए, आपको बाधा रेखाओं C1 और C2 के प्रतिच्छेद बिंदु का पता लगाना होगा। इसके लिए आप MMULT() और MINVERSE() फ़ंक्शन का उपयोग करेंगे।

• MMULT(MINVERSE(array),array) # यह दो चरों वाले समीकरणों के हल के मान देता है या, =MMULT(MINVERSE(AB17:AC18), AE17:AE18), इस सूत्र का उपयोग करने से पहले, X और Y मानों वाली पीली हाइलाइट की गई कोशिकाएँ चुनें और दो समीकरणों के प्रतिच्छेद की गणना के लिए इस फ़ंक्शन का उपयोग करें तथा CTRL+SHIFT+ENTER दबाएँ

Z के अंतिम मान:

जैसा कि आप यहाँ देखते हैं, इस रैखिक अधिकतमीकरण समस्या में आपको बिंदु B पर Z का अधिकतम मान मिला है, और अधिकतम मान 6,250 रुपये है। अतः लाभ को अधिकतम करने के लिए, विक्रेता को 10 टेबलें और 50 कुर्सियाँ खरीदनी चाहिए।

एलपीपी के उपयोग-परिदृश्य

रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग ऑपरेशंस रिसर्च में सर्वोत्तम हल खोजने के लिए किया जाता है। एलपी दिए गए प्रतिबंधों और सीमाओं में सर्वाधिक उपयुक्त हल ढूँढ सकता है। एलपी का उपयोग कृषि, इंजीनियरिंग, विनिर्माण, ऊर्जा, लॉजिस्टिक्स और आपूर्ति शृंखला जैसी सभी प्रकार की समस्याओं में लागू है।

• इंजीनियर विनिर्माण और उत्पादन उद्योग में उपलब्ध संसाधनों का अनुकूलन करने के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग लागू करते हैं, जिससे अधिकतम लाभ प्राप्त हो सके।

• लॉजिस्टिक्स और परिवहन उद्योग सबसे छोटा मार्ग/रूट, यात्रा समय, और मूल्य निर्धारण रणनीति खोजने के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग करता है।

• इंजीनियर ऊर्जा क्षेत्र में रैखिक प्रोग्रामिंग लागू करते हैं। वे विद्युत लोड, सबसे छोटी वितरण लाइनों, और विद्युत ग्रिड डिज़ाइन का अनुकूलन करते हैं।

• कृषि क्षेत्र में, इंजीनियर यह निर्धारण करने के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग कर सकते हैं कि उन्हें किस प्रकार की फसल और कितनी मात्रा में उगानी चाहिए ताकि राजस्व कुशलतापूर्वक बढ़ सके।

• खाद्य उद्योग में, रैखिक प्रोग्रामिंग स्वास्थ्य प्रबंधकों और पोषण विशेषज्ञों को आहार संबंधी आवश्यकताओं और कम-लागत खाद्य वस्तुओं के सेट की योजना बनाने में मदद कर सकती है, ताकि गैर-संचारी रोगों से बचा जा सके।

निष्कर्ष

बधाई हो, आप इस ट्यूटोरियल के अंत तक पहुँच गए हैं!

आपने रैखिक प्रोग्रामिंग के बारे में कई विवरण कवर किए। आपने सीखा कि रैखिक प्रोग्रामिंग क्या है, एलपी में प्रयुक्त बुनियादी अवधारणाएँ और शब्दावली, एलपी-समस्या का सूत्रीकरण, ग्राफ़िकल विधि से एलपी समस्याएँ हल करना, और एलपी समस्या के उपयोग-परिदृश्य।

आशा है, अब आप अपनी संस्था में निर्णय लेने या निर्णयकर्ताओं के लिए अपने परिणामों का अनुकूलन करने हेतु रैखिक प्रोग्रामिंग अवधारणाओं का उपयोग कर सकते हैं। इस ट्यूटोरियल को पढ़ने के लिए धन्यवाद!

हमारा स्प्रेडशीट्स में ग्राफ़ ट्यूटोरियल देखें।

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