Curso
Google Sheets Intermediário
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Como gestor de uma empresa, você sempre lida com recursos finitos ou limitados, e a expectativa da alta gestão é que você faça o melhor uso possível deles. De produtividade do tempo ao uso do capital, de espaço a mão de obra, e da cadeia de suprimentos à produção — quase tudo o que você faz é para otimizar a produtividade.
A maioria das companhias aéreas otimiza seus cronogramas de voos para obter a maior receita com o menor custo. Esses cronogramas envolvem diversas situações e restrições, como o número de aviões em um determinado local, combustível, tripulação e tipo de rota (rotas populares e rentáveis). Essas situações e restrições são os chamados constraints de operar aeronaves nas rotas mais populares e lucrativas. A programação linear é usada para encontrar a solução para esse problema com restrições.
Neste tutorial, você vai aprender sobre programação linear, e vamos abordar os seguintes tópicos:
- Introdução à programação linear
- Conceitos básicos de PL
- Variáveis de decisão
- Restrições
- Função objetivo
- Solução ótima
- Solução viável
- Solução inviável
- Região viável
- Restrições de não negatividade
- Formulação de problemas de PL (com exemplo)
- Método gráfico para resolver PL em planilha
- Casos de uso de PL
- Conclusão
Introdução à programação linear
Matematicamente, a programação linear otimiza (minimiza ou maximiza) a função objetivo linear de várias variáveis sujeita a condições/restrições dadas que satisfazem um conjunto de desigualdades lineares. A programação linear pode ser aplicada no planejamento de atividades econômicas como transporte de bens e serviços, fabricação de produtos, otimização de sistemas de energia elétrica e fluxos em redes. Problemas de PL podem ser resolvidos por diferentes técnicas, como o método gráfico, Simplex e o método de Karmarkar.
Conceitos básicos de PL
Vamos ver as terminologias básicas da programação linear:
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Variáveis de decisão são as variáveis usadas na função objetivo. Elas determinam o seu resultado. O tomador de decisão pode controlar o valor da função objetivo por meio das variáveis de decisão. Ao resolver qualquer problema de programação linear, primeiro você precisa identificar as variáveis de decisão.
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Restrições são um conjunto de limitações ou condições situacionais. Podem estar em forma de igualdades ou desigualdades. As restrições limitam o valor das variáveis de decisão.
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A função objetivo é uma função de lucro ou custo a ser maximizada ou minimizada. Ela é o alvo principal da tomada de decisão.
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A solução ótima é uma das soluções viáveis em que a função objetivo é máxima ou mínima, por exemplo, lucro máximo ou custo mínimo. É o melhor valor da função objetivo.
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Uma solução viável é o conjunto de valores possíveis para as variáveis de decisão que atende a todas as restrições. Um problema de PL é viável se pelo menos uma solução é viável.
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A solução inviável é o conjunto de valores possíveis para as variáveis de decisão que não atende a todas as restrições, ou seja, não há solução ótima. Um problema de PL é inviável se não existir solução que atenda a todas as restrições.
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A região viável é a área coberta por todos os conjuntos de valores que atendem às restrições — a interseção de todas elas. Inclui desigualdades, igualdades e restrições de integralidade, quando houver.
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Restrições de não negatividade impõem que as variáveis de decisão só assumam valores não negativos. Tais restrições são maiores ou iguais a zero.
Formulação de problemas de PL (com exemplo)
Formular modelos de programação linear envolve as etapas a seguir:
- Identificar as variáveis de decisão
- Definir a função objetivo
- Identificar as restrições
- Definir as restrições de não negatividade
Em um problema de programação linear, as variáveis de decisão, a função objetivo e as restrições precisam ser todas lineares.
Enunciado do problema: Um lojista de móveis trabalha com apenas dois itens — mesas e cadeiras. Ele tem Rs 50.000 para investir e espaço de armazenamento para no máximo 60 peças. Uma mesa custa Rs 2.500 e uma cadeira Rs 500. Ele estima que, com a venda de uma mesa, obtém um lucro de Rs 250 e, com a venda de uma cadeira, um lucro de Rs 75. Ele quer saber quantas mesas e cadeiras deve comprar com o dinheiro disponível para maximizar seu lucro total, assumindo que consegue vender todos os itens que comprar. (Source)
Neste exemplo, observe que —
- O lojista pode investir comprando mesas, cadeiras ou uma combinação de ambas. Além disso, ele terá lucros diferentes conforme a estratégia de investimento. (Source)
- O investimento dele é limitado a no máximo Rs 50.000, assim como o espaço de armazenamento, limitado a 60 peças. (Source)
Formulação matemática:
Suponha que ele decida comprar apenas mesas e nenhuma cadeira. Assim, pode comprar 50000/2500 = 20 mesas. Nesse caso, terá um lucro de 250 x 20 = Rs 5.000. Ou, se decidir comprar apenas cadeiras e nenhuma mesa, pode comprar 50000/500 = 100 cadeiras.
Nesse caso, ele terá um lucro de 75 x 60 = Rs 4.500.
Poderia haver muitas combinações de mesas e cadeiras que ele pode comprar.
Suponha que ele compre X mesas e Y cadeiras. Então X e Y devem ser não negativos.
-
O lojista tem um valor máximo de Rs 50.000 para comprar mesas e cadeiras, logo —
2500 X + 500 Y <= 50000 (restrição de investimento) ou 5 * X + Y <= 100 .................................... Eq.1
-
O número máximo de unidades que ele pode armazenar é 60.
X + Y <= 60 .................................... Eq.2
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O lojista quer comprar em quantidades que maximizem seu lucro Z, portanto a equação seria —
Max Z : 250 X + 75 Y
Função objetivo: Max Z: 250 X + 75 Y
Sujeita às restrições:
5 * X + Y <= 100,
X + Y <= 60 and
X,Y >= 0
Fonte: http://ncert.nic.in/ncerts/l/lemh206.pdf
Método gráfico para resolver PL em planilha
Exemplo de programação linear
Função objetivo: Max Z: 250 X + 75 Y
Sujeita às restrições:
5 * X + Y <= 100,
X + Y <= 60 and
Where X,Y >= 0
Passo 1: Vamos escrever a função no Excel como mostrado abaixo.
Passo 2: Depois de escrever a função objetivo e as restrições na planilha, vamos calcular os valores para as restrições C1 e C2. Você pode calcular definindo a outra variável como zero. Por exemplo, para C1, em X = 0, o valor de Y seria Y = 100 e, em Y = 0, o valor de X seria X = 20. O mesmo vale para a restrição C2.
Passo 3: Agora, depois de calcular os valores, vamos plotar o gráfico. Selecione os valores da restrição C1, vá em Inserir e plote um gráfico de dispersão com linhas suavizadas. Seu gráfico pode aparecer assim.
Se ficar assim, não se preocupe, siga os passos abaixo para ajustar. Clique com o botão direito no gráfico, vá em Selecionar dados; você verá duas séries, remova a Série 2 e edite a Série 1.
Nomeie a série como C1 e altere seus valores de X para os valores da coluna A de C1 e os valores de Y para os valores da coluna B de C1. Clique em OK. Seu gráfico ficará como o abaixo:
Passo 4: Novamente, vá em Selecionar dados clicando com o botão direito no gráfico e adicione outra série. Nomeie como C2 e, em valores de X, selecione a coluna X da restrição C2 e, em valores de Y, selecione a coluna Y da restrição C2. Seu gráfico ficará assim:
Passo 5: Agora que o gráfico foi plotado, você precisa observar a região viável:
Agora você tem 4 pontos (O, A, B, C) na área da região viável. É preciso calcular os valores da função objetivo em todos os pontos para ver qual ponto fornece o valor máximo da função objetivo.
Passo 6: Para calcular os valores da função objetivo, siga os passos abaixo:
Calcule a função objetivo para cada ponto:
- No ponto O, as coordenadas (X, Y) são (0, 0). Portanto, o valor da função objetivo é = (2500+750) = 0
- No ponto A, as coordenadas (X, Y) são (0, 60). Portanto, o valor da função objetivo é = (2500+753) = 4500
- No ponto B, as coordenadas (X, Y) são (20, 0). Portanto, o valor da função objetivo é = (2503+750) = 5000
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No ponto C: para encontrar as coordenadas do ponto Z, você precisa achar o ponto de interseção das retas das restrições C1 e C2. Você usará as funções MMULT() e MINVERSE() para calcular a interseção de duas equações.
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MMULT(MINVERSE(array),array) # Isso fornece os valores da solução de equações com duas variáveis. Ou, =MMULT(MINVERSE(AB17:AC18), AE17:AE18). Antes de usar essa fórmula, selecione as células de X e Y (células destacadas em amarelo) e use essa função para calcular o ponto de interseção das duas equações. Em seguida, pressione CTRL+SHIFT+ENTER
Os valores finais de Z:
Como você pode ver, neste problema de maximização linear, o valor máximo de Z está no ponto B, e o valor máximo é Rs 6.250. Portanto, para maximizar o lucro, o lojista deve comprar 10 mesas e 50 cadeiras.
Casos de uso de PL
A programação linear é aplicada para encontrar soluções ótimas em pesquisa operacional. A PL encontra a solução mais eficiente dadas as restrições e limitações. Ela é aplicável a todos os tipos de problemas, como atividades econômicas em agricultura, engenharia, manufatura, energia, logística e cadeia de suprimentos.
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Engenheiros aplicam programação linear na indústria de manufatura e produção para otimizar os recursos disponíveis, permitindo alcançar o máximo lucro.
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A indústria de logística e transporte usa programação linear para encontrar o caminho/rota mais curto, tempo de viagem e estratégias de precificação.
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Engenheiros aplicam programação linear no setor de energia. Eles otimizam a carga elétrica, as linhas de distribuição mais curtas e o desenho da rede de energia.
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No setor agrícola, a programação linear pode ser usada por engenheiros para determinar o tipo e a quantidade de culturas a plantar para aumentar a receita de forma eficiente.
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Na indústria de alimentos, a programação linear pode ajudar gestores de saúde e nutricionistas a planejar necessidades dietéticas e conjuntos de alimentos de baixo custo a fim de evitar doenças crônicas não transmissíveis.
Conclusão
Parabéns, você chegou ao fim deste tutorial!
Você viu muitos detalhes sobre programação linear. Aprendeu o que é PL, os conceitos e as terminologias usadas, como formular um problema de PL, como resolver usando o método gráfico e alguns casos de uso.
Agora, você já pode aplicar os conceitos de programação linear para tomar decisões na sua organização ou otimizar resultados para os tomadores de decisão. Obrigado por ler!
Confira nosso tutorial Graphs in Spreadsheets.
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